李 鈺，費(fèi)為銀，石學(xué)芹，李 娟

（安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

在部分信息下股票收益服從隱馬爾科夫模型的最優(yōu)交易策略

李 鈺，費(fèi)為銀，石學(xué)芹，李 娟

（安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

討論了部分信息下股票支付紅利的最優(yōu)交易策略.考慮一個(gè)多種股票模型，股票價(jià)格過程滿足隨機(jī)微分方程，股票價(jià)格的瞬時(shí)收益率由有限狀態(tài)連續(xù)時(shí)間的馬爾科夫鏈刻畫.在投資者終端財(cái)富預(yù)期效用最大化目標(biāo)下，利用隱馬爾科夫模型（HMM）濾波理論和Malliavin分析，導(dǎo)出最優(yōu)交易策略的顯式表達(dá)式.

投資組合最優(yōu)化；部分信息；紅利率；隱馬爾科夫模型（HMM）濾波；Malliavin分析

最優(yōu)消費(fèi)投資模型已被眾多國(guó)內(nèi)學(xué)者所研究，且大多數(shù)研究是基于文獻(xiàn)［1］的基本假設(shè)并加以若干改進(jìn).文獻(xiàn)［1］解決了理性的家庭投資者對(duì)持有的資產(chǎn)如何投資和消費(fèi)，以實(shí)現(xiàn)自己在整個(gè)生命周期內(nèi)累計(jì)消費(fèi)和終端財(cái)富的期望效用最大化.但是隨著金融市場(chǎng)的不斷創(chuàng)新和發(fā)展，需要對(duì)更加符合實(shí)際的模型加以研究并應(yīng)用于實(shí)際.LAKNER［2］提出了在部分信息下最優(yōu)消費(fèi)投資選擇問題，在證券價(jià)格可觀測(cè)的情況下，即資產(chǎn)價(jià)格方程組中的標(biāo)的布朗運(yùn)動(dòng)和漂移過程不能直接被觀測(cè)時(shí)，使用鞅方法推導(dǎo)出了最優(yōu)消費(fèi)投資策略.文獻(xiàn)［3］推廣了上述結(jié)論，將漂移過程建模為一個(gè)高斯過程，該模型在特殊的情況下就變成了多維的均值回復(fù)Ornstein－Uhlenbeck過程.ELLIOTT［4］討論了有限維濾子問題以及在高斯噪聲中觀測(cè)到的一個(gè)連續(xù)時(shí)間馬爾科夫鏈.SASS等［5］研究一個(gè)多種股票市場(chǎng)模型，其中瞬時(shí)收益率被建模為一個(gè)具有有限狀態(tài)的連續(xù)時(shí)間馬爾科夫鏈.依據(jù)漂移過程的非標(biāo)準(zhǔn)濾波，使用隱馬爾科夫模型（HMM）濾波結(jié)論和 Malliavin分析可以導(dǎo)出最優(yōu)交易策略的顯式表達(dá)式.這個(gè)最優(yōu)策略可以在數(shù)值上被決定，參數(shù)可以通過最大期望（EM）算法被估計(jì).HAUSSMANN等［6］將模型推廣到隨機(jī)波動(dòng)率以及依賴于某些狀態(tài)變量的更為一般的隨機(jī)利率.KARATZAS等［7］考慮到股票紅利支付，并給出了帶股票紅利支付的財(cái)富動(dòng)力學(xué).胡慧敏等［8］討論了部分信息下帶有紅利的最優(yōu)投資策略，對(duì)Lakner模型進(jìn)行了推廣，并給出了最優(yōu)投資策略的顯式表達(dá)式.

眾所周知，紅利的發(fā)放同樣也會(huì)影響投資者的最優(yōu)交易策略選擇.因此，本文在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上，對(duì)模型作了進(jìn)一步推廣，所得結(jié)論更加符合實(shí)際.

1 關(guān)于股票收益的隱馬爾科夫模型

2 最優(yōu)化和濾波結(jié)論

首先引入風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度.易知

3 最優(yōu)交易策略

本節(jié)證明文中主要結(jié)論——定理2.該定理給出了最優(yōu)交易策略的一個(gè)顯式表達(dá)式.在推論中將詳細(xì)說明冪效用下的最優(yōu)交易策略.最優(yōu)策略是由最優(yōu)折現(xiàn)終端財(cái)富的Malliavin導(dǎo)數(shù)給定.Malliavin導(dǎo)數(shù)的概念及性質(zhì)，D，D1，1等可參見文獻(xiàn)［5］.

假設(shè)2 設(shè)r遵循以下的動(dòng)力學(xué)

便可以得到冪效用下的最優(yōu)投資策略.證畢.

4 結(jié) 語

本文討論了在部分信息下帶有紅利的最優(yōu)消費(fèi)投資模型，其中股票收益服從HMM.首先定義風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度，其次利用Malliavin分析刻畫了在部分信息下的最優(yōu)投資策略，最后舉例說明在冪效用下的最優(yōu)投資策略.本文在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上，考慮帶有紅利收益率的情形，對(duì)模型作了進(jìn)一步推廣，使得相關(guān)結(jié)論更具有實(shí)際意義.

參 考 文 獻(xiàn)

［1］MERTON R C.Optimum consumption and portfolio rules in a continuous－time model［J］.J Economic Theory，1971，3（4）：373－413.

［2］LAKNER P.Utility maximization with partial information［J］.Stochast Proc Appl，1995，56（2）：247－273.

［3］LAKNER P.Optimal trading strategy for an investor：The case of partial information［J］.Stochast Proc Appl，1998，76（1）：77－97.

［4］ELLIOTT R J.New finite－dimensional filters and smoothers for noisily observed Markov chains［J］.IEEE Trans Inf Theory，1993，39（1）：265－271.

［5］SASS J，HAUSSMANN U G.Optimizing the terminal wealth under partial information：The drift process as a continuous time Markov chain［J］.Finance Stochast，2004，8（4）：553－577.

［6］HAUSSMANN U G，SASS J.Optimal terminal wealth under partial information for HMM stock returns［J］.Contemp Math，2004，351（2）：171－186.

［7］KARATZAS I，SHREVE S E.Methods of mathematical finance［M］.New York：Springer，1998.

［8］胡慧敏，費(fèi)為銀，鮑品娟.部分信息情形下帶有紅利的最優(yōu)投資模型研究［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2008，25（4）：362－366.

Optimal Trading Strategy under Partial Information and HMM for Stock Returns

LIYu，F(xiàn)EIWei－yin，SHIXue－qin，LIJuan
（School of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University，Wuhu Anhui 241000，China）

An optimal trading strategy is characterized under partial information with the dividend payment.A multi－stock market model is considered where prices satisfy a stochastic differential equation with instantaneous rates of return modeled as a continuous time Markov chain with finitely many states.For the investor's objective of maximizing the expected utility of the terminal wealth，an explicit representation of the optimal trading strategy is derived by using hidden Markov models（HMM）filtering theory and Malliavin calculus.

portfolio optimization；partial information；dividend；hidden Markov models （HMM）filtering；Malliavin calculus

F 224.9

A

1671－0444（2012）06－0758－05

2011－10－28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71171003）；安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（090416225）；安徽省高校自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（KJ2010A037）

李 鈺（1987—），女，安徽蕪湖人，碩士，研究方向?yàn)榻鹑诠こ?E－mail：anhuiliyu＠yeah.net

費(fèi)為銀（聯(lián)系人），男，教授，E－mail：wyfei＠dhu.edu.cn