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        余模的AuslanderReiten平移*-

        2012-09-15 06:46:14祝家貴黎奇升魏麗娟
        吉首大學學報(自然科學版) 2012年2期
        關(guān)鍵詞:吉首同態(tài)同構(gòu)

        祝家貴,黎奇升,魏麗娟

        (1.巢湖學院數(shù)學系,安徽合肥 238000;2.吉首大學數(shù)學與計算機科學學院,湖南吉首 416000;3.湖南理工學院數(shù)學學院,湖南岳陽 414000)

        余模的AuslanderReiten平移*

        祝家貴1,黎奇升2,魏麗娟3

        (1.巢湖學院數(shù)學系,安徽合肥 238000;2.吉首大學數(shù)學與計算機科學學院,湖南吉首 416000;3.湖南理工學院數(shù)學學院,湖南岳陽 414000)

        設(shè)Γ是域k上的余代數(shù),對函子作進一步研究,其中表示MΓ中由擬有限余表示余模確定的完全子范疇.證明了當Γ是半完備余代數(shù)時,τ是范疇與之間的等價,其中是內(nèi)射(投射)穩(wěn)定范疇是中有限維射內(nèi)射(投射)余模作成的完全子范疇.

        余代數(shù);余模;轉(zhuǎn)置;平移

        1 問題的提出

        設(shè)Γ是域k上的一個余代數(shù),MΓ表示右-Γ余模范疇,對于M ∈MΓ,如果對每個有限維F∈MΓ有 dimkComΓ(F,M)<+∞,那么稱M是擬有限的,用表示MΓ中由擬有限余模確定的完全子范疇.對于M∈MΓ,如果M的極小內(nèi)射余表示0→M→I0→I1滿足Ii是擬有限內(nèi)射余模(i=0,1),那么稱M是擬有限余表示的,用表示MΓ中由擬有限余表示余模確定的完全子范疇.如果M的極小投射表示滿足Pi是擬有限的投射余模(i=0,1),那么稱M是擬有限表示的,用表示MΓ中由擬有限表示余模確定的完全子范疇.文獻[1]中引進了一個函子,其中Γop表示Γ的反余代數(shù),如果既不可分解又不是內(nèi)射的且dimkTrM<+∞,證明了在范疇MΓ中幾乎分裂序列0→M→E→DTrM→0的存在性,其中D=Homk(,k);如果Γ是右半完備余代數(shù),且對每個單模S∈MΓ,dimk(Soc(I(S)/S))<+∞,其中I(S)是S的內(nèi)射包,Soc是基座,那么對每個有限維M∈MΓ,以上幾乎分裂序列存在且dimkDTrM<+∞.筆者對函子Tr及τ=DTr作進一步研究,簡化了文獻[1]關(guān)于函子Tr的引進方法,證明了函子τ是范疇與之間的等價,其中是內(nèi)射(投射)穩(wěn)定范疇是中有限維射內(nèi)射(投射)余模作成的完全子范疇.為方便起見,用Inj MΓ(PMΓ)表示MΓ中所有內(nèi)射(投射)余模作成的類.

        2 轉(zhuǎn)置函子Tr

        如果M,N∈MΓ,那么記M到N的右Γ-余模同態(tài)全體為ComΓ(M,N).現(xiàn)需要Hom函子的對偶概念,Cohom函子hΓ(,),它是右正合加法函子[2].

        引理1[3]設(shè),那么M 是不可分解內(nèi)射的充要條件是存在一個本原冪等元e ∈Γ*=Homk(Γ,k),使得M?Γe作為右Γ-余模同構(gòu).

        事實上,如果I∈MΓ是不可分解內(nèi)射余模,那么由引理1,存在本原冪等元e∈Γ*使得I?Γe,這時It=hΓ(I,Γ)?hΓ(Γe,Γ)?eΓ.由于eΓ是Γ作為右Γop-余模的直和項,從而eΓ是擬有限內(nèi)射的Γop-余模.對于一般情況,只需利用函子(-)t的可加性.

        記TrM=Ker ft,稱為M的轉(zhuǎn)置(transpose).現(xiàn)在有一個右Γop-余模正合列:

        由于內(nèi)射包,繼而極小內(nèi)射余表示在同構(gòu)意義下是唯一確定的,因此右Γop-余模TrM 在同構(gòu)意義下是唯一的.

        轉(zhuǎn)置函子Tr的主要性質(zhì)歸納如下(參考文獻[1]中的命題3.2).

        (ⅰ)右Γop-余模TrM沒有非0的內(nèi)射直和項;

        (ⅲ)M是內(nèi)射的充要條件是TrM=0,如果M不是內(nèi)射的,那么TrM是不可分解的且Tr(TrM)?M;

        其中u:E1′→E0′是右Γop-余模同態(tài).用(-)t函子作用,得到M以下形式的內(nèi)射余表示:

        這與M 內(nèi)射余表示的極小性矛盾.

        應(yīng)用函子(-)t到(ⅱ)中的正合列,可以得到行正合的交換圖:

        事實上,假定同態(tài)w存在,考慮以下交換圖:

        因為f′(u0-wf)=0,所以Im(u0-wf)?Ker f′=Img′,于是存在v:I0→M′使得g′v=u0-wf,但g′vg=(u0-wf)g=u0g=g′u,從而vg=u(g′是單同態(tài)),因此u∈I(M,M′),從而F(u0,u1)=0.反過來,如果F(u0,u1)=0,那么由u0,u1誘導的同態(tài)u通過內(nèi)射余模分解.因為g是一個單同態(tài),從而存在v:I0→M′使得u=vg.現(xiàn)在(u0-g′v)g=u0g-g′vg=u0g-g′u=0,由此推出存在一個同態(tài)使得wf=u0-g′v.因此f′wf=f′(u0-g′v)=f′u0.

        還有一個“行正合”的圖:

        應(yīng)用函子(-)t得到以下交換圖:

        令Tru:TrM′→TrM是使得以上左方塊圖交換的唯一的同態(tài),由此推出是一個對偶函子.

        3 Auslander-Reiten平移

        轉(zhuǎn)置Tr將右Γ-余模變成右Γop-余模,現(xiàn)希望在右Γ-余模范疇

        內(nèi)構(gòu)造一個范疇等價,這需要與標準對偶函子D=Homk(-,k)合成.

        關(guān)于標準對偶D=Homk(-,k)在有限維余模范疇中的基求性質(zhì),有類似文獻[5]中定理5.13的的結(jié)論,讀者可以直接給出證明.

        引理2 設(shè)Γ是一個余代數(shù),D=Homk(-,k):f.d.M?!鷉.d.MΓop是標準對偶,那么以下結(jié)論成立:

        (1)0→L→uN→hM→0在f.d.MΓ中是正合的在f.d.MΓop中是正合的.

        (2)設(shè)E,P∈f.d.MΓ,那么E∈Inj MΓ?D(E)∈PMΓop,P∈PMΓ?D(P)∈Inj MΓop.

        (3)余模S∈f.d.MΓ是單的?D(S)∈f.d.MΓop是單的.

        (4)單同態(tài)u:M→E是f.d.MΓ中的一個內(nèi)射包?滿同態(tài)D(u):D(E)→D(M)是f.d.MΓop中的一個投射蓋;滿同態(tài)h:P→M是f.d.MΓ中的一個投射蓋?單同態(tài)D(h):D(M)→D(P)是f.d.MΓop中的一個內(nèi)射包.

        定義1 令τ=DTr和τ-1=TrD,稱τ為Auslander-Reiten平移.稱為Nakayama函子.

        (ⅱ)由M的極小投射分解P1→P0→M→0,用D去作用,得到DM的極小內(nèi)射分解0→DM→DP0→DP1.再用(-)t=hΓ(-,Γ)去作用,有0→Tr(DM)→(DP1)t→(DP0)t→(DM)t→0.由于對每個M∈MΓ,(DM)t=hΓ(DM,Γ)?hΓ(DΓ,DDM)?hΓ(DΓ,M)?υ-1M,因此以上同構(gòu)誘導以下正合列:

        由這個命題可以立即給出一個余模其內(nèi)射(投射)維數(shù)至多是1的判定方法.

        證明 (ⅰ)由命題1(?。糜艺虾应裕?=hΓ(DΓ,-)作用到正合列→0,得到行正合的交換圖:

        因此υ-1τM=hΓ(DΓ,τM)?Coker f=0?inj.dim(M)≤1.

        (ⅱ)由命題1(ⅱ),用υ=DhΓ(-,Γ)去作用正合列,得到以下交換圖:

        因此υ(τ-1M)=DhΓ(τ-1M,Γ)?Ker f=0?pro.dim(M)≤1.

        (?。┯嗄&覯=0?M是內(nèi)射余模;

        (ⅱ)余模τ-1N=0?N是投射余模;

        (ⅲ)如果M不是內(nèi)射余模,那么τM是不可分解的非投射余模,且τ-1τM ?M;

        (ⅳ)如果N不是投射余模,那么τ-1N是不可分解的非內(nèi)射余模,且ττ-1N?N;

        (ⅴ)如果M和N不是內(nèi)射余模,那么M?N?存在同構(gòu)τM?τN;

        (ⅵ)如果M和N不是投射余模,那么M?N?存在同構(gòu)τ-1M?τ-1N.

        證明 (ⅰ)τM=DTrM=0?TrM=0?M是內(nèi)射余模.

        (ⅱ)τ-1M=Tr(DM)=0?DM是內(nèi)射余模?N是投射余模.

        (ⅲ)M不是內(nèi)射的,那么TrM是不可分解的,從而D(TrM)=τM是不可分解的.如果τM是投射的,那么τ-1(τM)?M=0,矛盾.

        (ⅳ)N不是投射余模,那么DN是不可分解的、非投射的Γop-余模[4],從而τ-1N=TrDN是不可分解、非內(nèi)射的Γ-余模.

        (ⅴ)和(ⅵ)是顯然的結(jié)論.

        推論2 Auslander-Reiten平移τ和τ-1確定了以下范疇等價

        [1] CHIN W,KLEINER M,QUINN D.Almost Split Sequence for Comodules[J].J.Algebra,2002,249:1-19.

        [2] TAKEUCHI M.Morita Theorems for Categories of Comodules[J].J.Fac.Sci.Univ.Tokyo,1977,24:629-644.

        [3] CUADRA J,TORRECILLAS G J.Idemoptents and Morita-Takeuchi Theory[J].Comm.in Algebra,2002,30(5):2 405-2 426.

        [4] LIN I-P.Semiperfect Coalgebra[J].J.Algebra,1977,49:357-373.

        [5] ASSEM I,SIMSON D,SKOWRONSKI A.Elements of the Representation Theory of Associative Algebras[M]//Techniques of Representation Theory.London Mathematical Society Student Texts 65,2006.

        Auslander-Reiten Translations for Comodules

        ZHU Jia-gui1,LI QI-sheng2,WEI Li-juan3
        (1.Department of Mathematics,Chaohu College,Hefei 238000,China;2.School of Mathematics and Computer Science,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China;3.School of Mathematics,Hunan Institute of Science and Technology,Yueyang 414000,Hunan China)

        LetΓbe a coalgebra over a field k.Further discussion of the functorτ=DTr:is car-ried out,wheredenotes the full subcategory of MΓdetermined by the quasi-finitely copresented co-modules.IfΓis a semisimple coalgebra,it is proved that the functorτ:f.d.is a categories equivalence,whereis the injectively(projectively)stable category and f.d.is the full subcategory ofdetermined by the finite dimensional injective(projective)comodules.

        coalgebra;comodule;transpose;translation

        O153.3

        A

        10.3969/j.issn.1007-2985.2012.02.001

        (責任編輯 向陽潔)

        1007-2985(2012)02-0001-06

        2012-01-07

        湖南省教育廳重點科學研究項目(08A057)

        祝家貴(1961-),男,安徽六安人,巢湖學院數(shù)學系教授,博士,主要從事同調(diào)代數(shù)、Hopf代數(shù)、代數(shù)表示論

        研究;黎奇升(1964-),男,湖南桑植人,吉首大學數(shù)學與計算機科學學院教授,博士,主要從事同調(diào)代數(shù)、代數(shù)K-理

        論、算子代數(shù)研究.

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