李 軍，陳予恕

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們對(duì)電力的需求越來(lái)越旺盛，這使得汽輪發(fā)電機(jī)組的研制、生產(chǎn)向巨型化、大容量的方向發(fā)展，相應(yīng)的汽輪發(fā)電機(jī)組的振動(dòng)問題也越來(lái)越突出。在實(shí)際的汽輪發(fā)電機(jī)組中，由于質(zhì)量不平衡和外激勵(lì)等多種因素的存在，從而導(dǎo)致汽輪發(fā)電機(jī)組的彎扭耦合振動(dòng)問題越來(lái)越突出。所以在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，有必要考慮系統(tǒng)的彎扭耦合振動(dòng)問題。在最近幾十年，有一批關(guān)于轉(zhuǎn)子彎扭耦合振動(dòng)方面的研究出版Al-Hussain等[1－2]分別應(yīng)用拉格朗日函數(shù)，建立了考慮平行不對(duì)中和傾角不對(duì)中的彎扭耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在平行不對(duì)中的研究中得出:平行不對(duì)中能引起扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和側(cè)向振動(dòng);在傾角不對(duì)中的研究中，以傾角不對(duì)中對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響為研究對(duì)象，得出:傾角不對(duì)中增加或者耦合剛度增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域也相應(yīng)的增加。Papadopoulos等[3－4]建立了三自由度Timoshenko梁的彎扭耦合振動(dòng)方程，研究了自由振動(dòng)軸的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，分析表明:彎曲振動(dòng)對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)有很大的影響。劉占生等[5]建立了Jeffcott轉(zhuǎn)子的非線性彎扭耦合模型，并對(duì)該系統(tǒng)在較寬的參數(shù)域內(nèi)進(jìn)行了分岔分析，得出不平衡量是判斷什么時(shí)候發(fā)生彎扭組合共振的決定條件。彎扭組合共振可能引起系統(tǒng)潛在的不穩(wěn)定，應(yīng)該盡量避免系統(tǒng)參數(shù)選在彎扭組合共振區(qū)間。

我國(guó)的電力需求逐年增加，有時(shí)需要長(zhǎng)距離和大容量的輸送電能。為了提高傳輸效率和減少電路的損耗，常常應(yīng)用串聯(lián)補(bǔ)償線路。然而這將有可能引起次同步諧振(sub-synchronous resonance)。次同步諧振是嚴(yán)重的電網(wǎng)問題，當(dāng)滿足次同步諧振的條件時(shí)，電網(wǎng)和發(fā)電機(jī)將發(fā)生劇烈的能量交換，可以引起汽輪發(fā)電機(jī)組軸系的大幅振動(dòng)。因此專家學(xué)者對(duì)次同步諧振現(xiàn)象做了大量的研究。IEEE次同步諧振工作小組[6－7]分別于1977年和1985年給出了適合計(jì)算機(jī)計(jì)算的次同步諧振模型。向玲等[8－10]以串聯(lián)補(bǔ)償電力系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立了機(jī)電耦合作用下的軸系扭轉(zhuǎn)模型，結(jié)論表明:補(bǔ)償度是次同步能否持續(xù)的重要因素，補(bǔ)償度越高，電力系統(tǒng)中的次同步諧振電流越大，次同步諧振發(fā)生的危害性越大。劉超等[11]研究了軸系在次同步諧振作用下的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)以及危險(xiǎn)部分的疲勞壽命，分析了次同步諧振的振幅和擾動(dòng)頻率對(duì)軸系疲勞壽命的影響。

在以往次同步諧振對(duì)汽輪發(fā)電機(jī)組軸系振動(dòng)的研究中，考慮軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的文獻(xiàn)較多，考慮彎扭耦合振動(dòng)的文獻(xiàn)并不多見，周桐等[12]建立了考慮彎扭耦合作用時(shí)，汽輪發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子軸系和電網(wǎng)耦合次同步的非線性模型，分析了在不同偏心條件下彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的相互影響，并給出了彎曲剛度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，向玲等[13]分析了次同步諧振機(jī)電扭振相互作用的原因，并設(shè)計(jì)了汽輪發(fā)電機(jī)組模擬系統(tǒng)的次同步諧振試驗(yàn)，分析表明，次同步諧振下軸系的彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是相互作用的。在次同步諧振情況下，引起扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振幅增加的同時(shí)，彎曲振動(dòng)的幅值也會(huì)相應(yīng)的隨之變化。本文所建立的低壓缸轉(zhuǎn)子和發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子彎扭耦合振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型。主要考慮在次同步諧振作用下，轉(zhuǎn)子軸系的彎扭耦合振動(dòng)問題，應(yīng)用平均法得到系統(tǒng)的分岔方程，應(yīng)用奇異性理論分析了系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷集和分岔特性。最后應(yīng)用數(shù)值算法分析了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。分析結(jié)果可以為該系統(tǒng)的參數(shù)選擇和故障診斷提供理論依據(jù)。

圖1 轉(zhuǎn)子模型Fig.1 Model of rotor system

1 建立模型

以汽輪發(fā)電機(jī)組的低壓缸和發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子為研究對(duì)象，如圖1所示，將發(fā)電機(jī)和低壓缸轉(zhuǎn)子簡(jiǎn)化為兩個(gè)圓盤，兩個(gè)圓盤之間通過(guò)等效的無(wú)質(zhì)量有有限剛度的元件相連接，考慮轉(zhuǎn)子的彎扭耦合振動(dòng)。另外當(dāng)串聯(lián)電容補(bǔ)償?shù)碾娏ο到y(tǒng)受到擾動(dòng)發(fā)生電感電容諧振，其諧振頻率與汽輪發(fā)電機(jī)組的軸系扭振某一振型的頻率之和接近或等于系統(tǒng)的同步頻率時(shí)，電氣系統(tǒng)與汽輪發(fā)電機(jī)軸系之間可能會(huì)產(chǎn)生次同步頻率功率交換。因此本文考慮了次同步諧振對(duì)汽輪發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子軸系的影響。

系統(tǒng)的坐標(biāo)向量為{q}=[x1，y1，θ1，x2，y2，θ2]T，其中 x1，y1，x2和 y2分別為圓盤 1 和圓盤 2 在 x和y方向的彈性位移，θ1，θ2分別為兩圓盤的彈性扭轉(zhuǎn)角，e1和 e2為兩個(gè)盤的偏心，和是彈性角速度。

系統(tǒng)的動(dòng)能為:

其中:φi=ωt+θi(i=1，2)，ω 為轉(zhuǎn)子的同步頻率。

系統(tǒng)的勢(shì)能為:

應(yīng)用拉格朗日函數(shù)L=T－V，和拉格朗日方程:

并對(duì)微分方程進(jìn)行無(wú)量綱化處理，令X1=x1/c，Y1=y1/c，X2=x2/c，Y2=y2/c且 τ=ωt，其中 c為軸承半徑間隙，可得系統(tǒng)的無(wú)量綱方程:

無(wú)量綱參數(shù)如下:

其中:m1，m2分別為兩個(gè)等效圓盤的質(zhì)量，J1，J2分別為兩個(gè)等效圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，k1，k2，k'分別為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的剛度系數(shù)、低壓缸轉(zhuǎn)子的剛度系數(shù)和兩盤之間的剛度系數(shù)。c1，c2，c'分別為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的阻尼系數(shù)、低壓缸轉(zhuǎn)子的阻尼系數(shù)和兩盤之間的阻尼系數(shù)。kt1，kt2，k't分別為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)、低壓缸轉(zhuǎn)子的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)和兩盤之間的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)。ct1，ct2，c't分別為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)、低壓缸轉(zhuǎn)子的扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)和兩盤之間的阻尼系數(shù)。Fx1，F(xiàn)x2，F(xiàn)y1，F(xiàn)y2分別為x方向和y方向的外力，Mt1為電網(wǎng)次同步諧振引起的作用于發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子上的扭轉(zhuǎn)力矩，并且υ=ωfωfs，ωf是同步頻率，ωfs電力系統(tǒng)的固有頻率。

從方程(4)可以看出，系統(tǒng)的彎扭耦合主要是由不平衡質(zhì)量引起的，并且由于不平衡質(zhì)量的存在，系統(tǒng)是非線性的。

2 解析分析

應(yīng)用平均法[14]求解系統(tǒng)的響應(yīng)，引入如下的變換:

可以將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為典則形式:

其中:向量F(Z)包含阻尼和非線性力。

模型(6)的無(wú)阻尼線性系統(tǒng)為:

方程(7)不含阻尼項(xiàng)，所以矩陣A僅含有純虛根± iω1，± iω2，± iω3，± iω4，± iω5，± iω6。方程(7)的齊次部分的解可以寫為:

其中:Pmi和Qmi為實(shí)常數(shù)。

方程(7)齊次部分的共軛方程可以描述為:

方程(9)的解可寫為:

引入下列變換:

其中:φmi=PmicosΨi－ QmisinΨi，(m=s，i=1;m=k，i=2;m=j，i=3)并且是方程(7)的特解。如果Ai=cosst且，方程(11)、(12)和(13)是方程(7)線性齊次部分的解，因此:

因?yàn)榇嬖诜蔷€性部分，所以Ai≠cosst和2，3)。將方程(11)、(12)和(13)代入方程(6)可以得到:

方程(8)和(10)存在正交性:

其中:

其中:

λ1和λ2是彎曲的前兩階固有頻率，λ3是扭轉(zhuǎn)的第一階固有頻率。

方程組(7)的齊次部分的解為:

其中:φ是解的實(shí)部，φ*為解的虛部。

對(duì)方程(18)、(19)和(20)應(yīng)用K－B變換

在次同步諧振的情況下，υ和λ3的關(guān)系如下:

應(yīng)用平均法，可以得到方程(23)的第一次近似解:

從方程(22)和(23)可以得到系統(tǒng)的分岔方程。

令 a3=x和2λ3－2υ/ω =λ，分岔方程轉(zhuǎn)化為:

其中:λ是分岔參數(shù)，α和β是開折參數(shù)，它們是系統(tǒng)參數(shù)的組合。

根據(jù)奇異性理論[15]，可得系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷集:

系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷集和分岔圖如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)遷集和分岔圖Fig.2 The transition sets and bifurcation diagrams

從圖2可以看出:轉(zhuǎn)遷集將參數(shù)平面α－β分為4個(gè)不同的區(qū)間，在四個(gè)區(qū)間有四種不同的分岔模式。當(dāng)α＞0，β＜0時(shí)為次同步諧振在轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)方向的振動(dòng);當(dāng)α≥0，β≥0時(shí)，沒有振動(dòng)響應(yīng)，也就是說(shuō)在這個(gè)區(qū)間沒有周期解;在α＜0，β＜0時(shí)，在共振區(qū)間振幅無(wú)窮大，在非共振區(qū)間振幅相對(duì)較小，參數(shù)盡量避免選在共振區(qū)間;當(dāng)α＜0，β＞0振幅為無(wú)窮大，系統(tǒng)參數(shù)不能選在該區(qū)間。在轉(zhuǎn)遷集上，有兩種不穩(wěn)定的分岔行為，α＜0，β=0是區(qū)間α＜0，β＞0和區(qū)間α＜0，β＜0的之間的過(guò)渡;α=0，β＜0是區(qū)間α＞0，β＜0和區(qū)間α＜0，β＜0分岔模式的過(guò)渡。對(duì)于實(shí)際的低壓缸發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，僅能取到 α≥0，β≤0這個(gè)區(qū)間。當(dāng)α＞0，β=0時(shí)，為沒有受到電網(wǎng)對(duì)機(jī)組的次同步諧振情況;當(dāng) α＞0，β＜0時(shí)，為系統(tǒng)受到次同步諧振影響引起的振動(dòng)模式。

3 數(shù)值分析

采用4階龍格庫(kù)塔法對(duì)非線性方程(6)進(jìn)行數(shù)值分析，系統(tǒng)的參數(shù)選擇如下:

發(fā)電機(jī)和低壓缸的在不同方向上的響應(yīng)曲線如圖3和圖4所示。

圖3 發(fā)電機(jī)幅頻曲線圖Fig.3 Amplitude-frequency curves of generator

從選擇的系統(tǒng)參數(shù)可以推出:

從圖3和圖4可以看出:次同步頻率在扭轉(zhuǎn)固有頻率附近時(shí)，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的振幅大幅度增加。此外，由于偏心量引起的彎扭耦合現(xiàn)象的存在，在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振幅增加的同時(shí)，彎曲振動(dòng)的振幅也隨之增加。從圖3、圖4和相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果可以得出:在扭轉(zhuǎn)固有頻率附近，考慮彎扭耦合振動(dòng)比不考慮彎扭耦合振動(dòng)彎曲振動(dòng)的振幅增加了 5.22個(gè)百分點(diǎn)(即5.22%，其中:A(f1)為考慮彎扭耦合振動(dòng)彎曲振動(dòng)的最大幅值，A(f2)為僅考慮彎曲振動(dòng)彎曲振動(dòng)的幅值)。在已經(jīng)發(fā)表的次同步諧振文獻(xiàn)中，研究軸系振動(dòng)問題多集中在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方面。從上面的分析中可以得出:在次同步諧振機(jī)電扭轉(zhuǎn)相互作用情況下，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的振幅變化比較明顯，在扭轉(zhuǎn)方向的危害極大，彎曲振動(dòng)的振幅也有相應(yīng)的變化。扭轉(zhuǎn)的大幅度變化會(huì)引起彎曲方向振幅的增加，從而增加了彎曲方向破壞的可能性。因此在次同步諧振的情況下，僅考慮扭轉(zhuǎn)是不全面的，應(yīng)該將彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)同時(shí)考慮。另外將數(shù)值結(jié)果和解析結(jié)果比較發(fā)現(xiàn):數(shù)值結(jié)果的振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)遷集中α＞0，β＜0區(qū)間內(nèi)的分岔模式。此結(jié)果可為該系統(tǒng)設(shè)計(jì)和參數(shù)選擇提供理論依據(jù)。

圖4 低壓缸幅頻曲線圖Fig.4 Amplitude-frequency curves of low pressure cylinder

4 結(jié)論

本文對(duì)低壓缸和發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子軸系的彎扭耦合振動(dòng)問題進(jìn)行了研究，得到以下結(jié)論:

(1)偏心是引起彎扭耦合的原因，偏心量越大彎扭耦合越劇烈。應(yīng)盡量減小偏心，從而降低彎扭耦合的作用效果。

(2)在次同步諧振的情況下，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的振幅變化比較明顯，在扭轉(zhuǎn)方向的危害極大，彎曲振動(dòng)的振幅也有相應(yīng)的變化。扭轉(zhuǎn)的大幅度變化會(huì)引起彎曲方向振幅的增加，從而增加了彎曲方向破壞的可能性。因此在次同步諧振的情況下，僅考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是不全面的，應(yīng)該將彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)同時(shí)考慮更為合理。

(3)應(yīng)用奇異性理論得到了系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷集，在不同的參數(shù)區(qū)域內(nèi)有不同的分岔模式。有些分岔模式可能會(huì)引起系統(tǒng)的破壞，因此在系統(tǒng)的設(shè)計(jì)階段應(yīng)盡量避開這樣的參數(shù)區(qū)域。這為系統(tǒng)設(shè)計(jì)和參數(shù)選擇提供理論基礎(chǔ)。

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