陳紹青，王 永，魏璀璨，姚太克

(中國科學技術大學 自動化系，合肥 230027)

近年來振動控制問題得到了人們的廣泛關注。其中，隔振技術是振動控制的一個重要的研究方向[1]。按是否需要能源，隔振又可分為主動隔振與被動隔振。由于主動隔振能夠克服被動隔振難以有效抑制低頻振動的缺點，因此近年來日益受到重視[2－3]。

工程實踐中存在著眾多多頻線譜激勵下的振動控制問題。其中，包含振動頻譜為一系列諧波分量以及多個獨立的簡諧波分量的情況[4]。對于此類振動問題，僅對基頻或某頻率分量振動進行控制并不能有效降低結構振動的水平，因此需要對多個線譜同時進行控制。

國內外對多線譜振動抑制問題已經(jīng)開展了一些研究。在被動隔振方面，動力吸振器在許多結構振動控制問題中取得了良好的效果，但其有效吸振頻帶往往較小[5]，可以采用多自由度動力吸振器方法[6]或者多個單自由度動力吸振器進行一對一頻率調諧的方法[5]消除結構的多頻振動，但這類方法的缺點是要求的附加質量往往較大，且不便于調節(jié)。在主動隔振方面，趙冉等[7]針對電磁懸浮主動隔振系統(tǒng)，設計了自適應滑模單頻隔振算法，通過仿真實驗驗證了算法的有效性;段小帥等[8]基于自行研制的磁懸浮隔振器，提出了采用自尋優(yōu)前饋控制及時域濾波x-LMS(Filtered-X Least Mean Square)算法[9]的方案，較好地解決了隔振器的單頻振動控制問題;張國慶等[10]針對多頻線譜振動提出一種多通道解耦LMS自適應濾波方法，較好地解決了成倍頻關系的多頻諧波振動的控制問題。此外，基于頻域的自適應濾波方法對于多頻振動的控制較為有效，但是算法實現(xiàn)較為復雜[4]。

本文提出一種多頻線譜激勵下的自收斂LMS控制方法，通過多個窄帶帶通濾波器對多頻激勵信號及誤差信號進行解耦，采用多個并行的自收斂變步長歸一化LMS自適應濾波器，得到合成的多頻振動控制量，控制一個單自由度的作動器，對多頻振動進行隔離。將本文的方法應用于某型磁懸浮隔振器的隔振實驗中，成功實現(xiàn)了對非倍頻關系線譜激勵下多頻振動的有效抑制。

1 自適應前饋控制算法

基于有限脈沖響應(Finite Impulse Response，F(xiàn)IR)控制器的自適應前饋控制是振動工程領域中使用較為廣泛的一種振動主動控制方法。其中，濾波x－LMS算法是目前為止應用最廣泛的窄帶振動消除方法。但這類算法由于需要辨識次級通道模型可能存在以下的問題:① 增加算法實現(xiàn)的復雜度;② 次級通道辨識若存在較大誤差，將影響控制器的性能;③ 當次級通道為時變時，需要在系統(tǒng)中加入輔助輸入以完成通道的在線辨識，這將影響最終的收斂結果[11－12]。

Zhou等[13]對濾波x－LMS算法進行了幾何分析，指出當次級通道模型與真實模型相位誤差不大于±90°，且步長因子滿足一定條件時，算法始終是收斂的。進而Zhou等[11－12]將濾波 x－LMS算法的幾何分析結果推廣到了無需次級通道模型的情況，提出了一種能夠自動判別權值更新方向的LMS控制算法，但該算法往往收斂較慢，不利于實際應用。

1.1 自收斂變步長歸一化LMS算法

LMS算法的原理如圖1所示。P(z)、S(z)分別代表初級通道和次級通道，W(z)是自適應濾波器，x(n)是參考信號，v(n)是目標點處附加的零均值噪聲，它與x(n)無關，e(n)為誤差信號。定義參考信號向量x(n)=[x(n)x(n－1) … x(n－M)]T，其中M是自適應濾波器的階次。自適應濾波器系數(shù)的更新公式為:

其中:μ是一個小的正實數(shù)。

對于一個單頻輸入Xω(n):

其中:∠Sω代表Sω的角度代表Sω的幅值。根據(jù)文獻[11]的討論結果，可以得到當步長滿足。

圖1 LMS算法原理圖Fig.1 Block diagram of LMS algorithm

且∠Sω在±90°的范圍內時，Wω(n)的更新公式依然適用，不需要次級通道模型最終也能收斂到最優(yōu)值。如果∠Sω在±90°的范圍外，自適應濾波器就會發(fā)散。此時，只需改變更新式(1)μ前的符號，Wω(n)的更新公式仍然收斂，即:

當然也可能有角度差剛好等于±90°的情況，此時只需對參考信號進行延遲輸入處理即可。

文獻[14]中作者對Zhou的算法進行了改進，建立起步長因子μ與誤差e之間的指數(shù)函數(shù)關系，實現(xiàn)變步長算法;同時考慮到歸一化能夠改善LMS算法的魯棒性，使系統(tǒng)具有更好的穩(wěn)定性，提出了變步長歸一化的步長因子:

其中:l為歸一化數(shù)據(jù)的長度，α，β可根據(jù)實際情況選取。

無需次級通道模型的自收斂LMS控制算法流程如下[14]:

(1)初始化自適應濾波器的系數(shù)向量為零矢量，初始化用于評價信號能量的采集數(shù)據(jù)個數(shù)N、定步長μ、浮動因子δ，歸一化數(shù)據(jù)長度 l，變步長因子系數(shù)α，β。

(2)先不更新自適應濾波器的系數(shù)，計算:

(3)采用定步長μ按式(1)更新自適應濾波器，測量誤差信號能量 ξ2，如果|e(i)|＞(1+δ)emax則停止更新，并改變μ的符號。

(4)根據(jù)式(1)更新自適應濾波器，進而生成作動器的控制量。

(5)根據(jù)傳感器采集的信號，按式(5)更新變步長因子μ(n)，并令式(1)中的μ=μ(n)，然后返回第(4)步，繼續(xù)循環(huán)。

1.2 多頻振動控制應用分析

上述LMS控制算法是在單頻輸入信號條件下展開分析的，利用信號的正交性可將相關結論推廣到窄帶甚至寬帶輸入信號的情況。考慮頻域下的LMS算法權值更新式，在頻域的每個子帶中(子帶大小與FFT的頻率分辨率有關):

其中:

將式(7)代入式(6)得:

對式(8)兩邊取期望，并假設信號Xω(n)是平穩(wěn)的且與濾波器權值不相關，各通道定常，則:

其中:Px=E{|Xω(n)|2}。將式x展開得:

隨著迭代次數(shù)n的增大，式(10)滿足如下條件時收斂:

即:

展開可得:

式(13)與(3)的條件是等價的。在頻域下只要所有頻率點均滿足式(13)即可，則對于多頻或者寬頻輸入信號，收斂步長應滿足:

注意到當式(14)中Re{S(jω)}＜0，則對應次級通道相位在±90°的范圍外的情況(變?yōu)?，3象限上)，顯然若在所有輸入頻率內Re{S(jω)}符號不統(tǒng)一，這種單收斂步長的算法將變得不穩(wěn)定。故算法在輸入信號頻率通帶的次級通道相位響應應滿足:

的條件。

當輸入的多頻或寬頻信號中部分頻率的次級通道相位響應不滿足式(15)時，算法執(zhí)行過程中不論如何變更步長因子的符號也無法得到收斂解;而當滿足式(15)的相位條件時，假如輸入信號各頻率成分能量相差很大，滿足收斂條件(14)的μ值過小，將導致收斂速度過慢?？傊?，由于算法中只有一個變步長因子，其選取難以兼顧多個頻率振動控制的需求，應用范圍是有限的。

1.3 時域多通道解耦的自適應濾波算法結構

針對上述自收斂LMS控制算法在處理多頻及寬頻振動控制問題上的限制和不足，提出一種時域多通道解耦的自適應濾波算法結構。即采用多個并行的自收斂變步長歸一化LMS自適應濾波器，采用帶通濾波器對多頻參考信號及誤差信號進行解耦，使得每個通帶內輸入信號的次級通道相位響應滿足式(15)的條件。多通道解耦算法的結構如圖2所示。

簡單起見，假設待控制對象的振動頻譜由N條離散的線譜組成，假定N=3，對應的頻率分別為f1、f2、f3。圖中X為與減振目標點振動相關的參考信號，也包含頻率成分f1、f2、f3;d(t)為施加到減振對象的外部擾動;W1(z)、W2(z)、W3(z)為三個并行的自收斂變步長歸一化LMS自適應濾波器;假定f1、f2、f3頻率間隔足夠大，可以設計帶通濾波器filter1、filter2、filter3，通帶分別為[fL1fH1]、[fL2fH2]、[fL3fH3]，并滿足:

圖2 多通道解耦算法結構圖Fig.2 Block diagram of multi-channel decoupling algorithm

通過各個帶通濾波器提取譜線對應頻率成分的時域信號，采用自收斂變步長歸一化LMS算法獨立地調整各個控制濾波器系數(shù)，最終合成多頻線譜振動的控制信號。由式(16)、式(17)知，各個自適應濾波器之間是相互獨立的，可以針對不同頻率成分的能量大小選取不同的步長因子，從而對各頻率成分都起到有效的抑制作用。

此外，即使是對于寬頻甚至更復雜頻譜的振動控制問題，只要多通道解耦的各個濾波器的參數(shù)選擇合適，運用該方法應能比單收斂步長控制方法收斂速度更快，得到更好的振動隔離效果。

圖3 磁懸浮隔振器機理模型Fig.3 The model of a magnetic suspension isolator

1.4 磁懸浮隔振器電磁力模型

本文涉及的磁懸浮隔振器為主被動復合式隔振器，該隔振器在被動隔振單元的基礎上并聯(lián)一個主動電磁作動單元，以對設備和結構施加作用力，其機理模型如圖3，其中K為彈簧剛度，m為隔振器負載重量，f為激振力，x為負載位移，F(xiàn)為電磁力，C為彈簧阻尼。通過基于MTS809的實驗建模方法[15]，可得隔振器上下電磁鐵的電磁力公式:

其中:F上，F(xiàn)下分別代表上、下電磁鐵產(chǎn)生的磁力，i為輸入到電磁鐵功率放大器的驅動電流，g為磁隙大小。

為了在磁懸浮隔振系統(tǒng)中應用自收斂變步長歸一化LMS算法，需要加入電磁力反解過程[14]。在控制過程中，需要根據(jù)氣隙值的大小在兩個電磁力公式之間切換。假定系統(tǒng)未受擾動時位移傳感器的輸出是零，如果采樣時刻位移傳感器的輸出為負值，表明彈簧繼續(xù)壓縮，隔振器下方的基礎受到向下的壓力。此時需要下電磁鐵工作，使銜鐵吸引下電磁鐵以對基礎產(chǎn)生向上的作用力，此時在控制算法中選擇下電磁鐵的模型進行計算。上電磁鐵與位移傳感器輸出正值的關系類似。

2 實驗系統(tǒng)及方案

磁懸浮隔振器的隔振實驗平臺如圖4所示。

圖4 磁懸浮隔振實驗平臺系統(tǒng)示意圖Fig.4 Block diagram of the experimental platform

整個實驗系統(tǒng)由兩大部分構成:一部分是系統(tǒng)的機械部分，包括安裝基礎、負載、激振器和磁懸浮隔振器，它們分別擔當了控制對象，擾動源和執(zhí)行機構的角色;另一部分是系統(tǒng)的電控部分，包括加速度傳感器、信號采集與調理模塊、控制器、功率放大器等。

其中，負載為重量約為500 kg的質量塊，安裝基礎為由3個配重質量構成的約1 000 kg的質量塊，安裝基礎底部的彈性支撐為5個上海環(huán)星減振器廠的ZTE2－320型彈簧阻尼隔振器，其與安裝基礎構成的系統(tǒng)的固有頻率約為2.8 Hz。

設計實驗步驟如下:

(1)實驗系統(tǒng)安裝:按照圖4所示連接隔振系統(tǒng)各個部件。PC機通過PCI1710板卡采集四路信號:基礎加速度信號用于生成誤差信號，相對位移信號用于計算電磁作動器的氣隙大小，負載加速度信號用于監(jiān)測負載加速度的變化，阻抗頭用于監(jiān)測激振力信號。激振模塊信號發(fā)生器的輸出信號用作參考信號;通過PCI1720板卡輸出兩路信號，它們經(jīng)過功率放大器后驅動上下兩塊電磁鐵。

(2)3頻激勵下的主動隔振實驗測試:采用PC機生成6 Hz、13 Hz和32 Hz的不成倍頻關系的3頻數(shù)字激振信號，經(jīng)D/A轉換成模擬信號，驅動激振器激勵實驗系統(tǒng)。濾波器的通帶分別為[4 Hz，8 Hz]、[10 Hz，16 Hz]、[28 Hz，36 Hz]。系統(tǒng)采樣頻率設為 1 000 Hz，實驗時間為120 s，實驗過程中前、后20 s不施加振動主動控制，前20 s為起振過程，中間80 s施加振動主動控制。

3 實驗結果分析

圖5所示為實驗過程中與激振器聯(lián)接的阻抗頭采集到的激振力時域信號(31 s到32 s)，圖6所示為激振力的頻譜圖，可見激振力中除6 Hz、13 Hz、32 Hz的不同能量的頻率成分分量外，還包含由于機械系統(tǒng)非線性引起一些小諧波分量。

圖5 3頻激振時激振力時域曲線Fig.5 Time sequences of exciting force

圖6 3頻激振時激振力頻譜Fig.6 Frequency spectra of exciting force

圖7 3頻激振時基礎加速度響應Fig.7 Acceleration response of target point

圖8 主動隔振前后基礎加速度頻譜Fig.8 Frequency spectra of acceleration response before＆after control

實驗效果如圖7所示，采用減振目標點的加速度響應來評價主動隔振效果，其計算公式為L=10log，式中a1為控制后目標點的加速度響應幅值，a2為控制前目標點的加速度響應幅值，a2為振動加速度的信號能量，計算得主動隔振效果約為14.52 dB。由圖8和表1易見，采用多通道解耦的自收斂變步長歸一化LMS算法，在單個磁懸浮隔振器的控制作用下，6 Hz、13 Hz、32 Hz的振動得到了顯著的抑制，分別下降了15.5 dB、16.54 dB、7.05 dB，由于機械系統(tǒng)非線性引起的其他諧波分量振動也得到抑制，基礎的振動水平大大降低，充分驗證了控制器和隔振器的有效性。

表1 主動隔振在各主要頻率成分處的減振效果Tab.1 Effect of active control on main frequencies

4 結論

本文主要研究了多頻線譜激勵下的振動控制問題，通過引入帶通濾波器進行多通道解耦，將自收斂變步長歸一化LMS算法拓展到了多頻振動控制的情況，利用多個并行的自適應濾波器實現(xiàn)了各線譜振動的有效抑制。上述算法在某型磁懸浮隔振器上得到了成功應用，充分驗證了該方法的有效性。

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