趙 妍，王小珊

(1.皖南醫(yī)學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 蕪湖 241002;2.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241003)

Marcinkiewicz積分交換子的Sharp極大函數(shù)估計和連續(xù)性

趙 妍1，王小珊2

(1.皖南醫(yī)學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 蕪湖 241002;2.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241003)

文章主要研究了Marcinkiewicz積分交換子與加權(quán)Lipschitz函數(shù)在加權(quán) Lp空間中的Sharp極大函數(shù)估計和連續(xù)性.

Marcinkiewicz積分交換子;加權(quán)Lipschitz函數(shù);Sharp極大函數(shù)

1 引言

設(shè) Sn－1是Rn(n≥2)上的單位球面，Ω∈L1(Sn－1)是零次齊次函數(shù)且滿足

定義Marcinkiewicz積分

其中

設(shè) b是一個局部可積函數(shù)，由 μΩ和 b生成的Marcinkiewicz積分交換子定義為

關(guān)于 μΩ及有著豐富的結(jié)果.2011年，文[1]研究了Marcinkiewicz算子交換子與加權(quán)BMO函數(shù)的 Lp(α)的有界性，同時，文[2]研究了強(qiáng)奇異積分算子的多線性交換子的Sharp極大函數(shù)估計和連續(xù)性.最近，Lee和Rim在消失性條件(1)和某種對數(shù)型Lipschitz條件下得到了Marcinkiewicz積分的一些性質(zhì)[3]，這種對數(shù)型條件比之前的Lipschitz條件更弱，敘述如下:令 n≥2，若存在 c＞0及 δ＞1，使

對 y1，y2∈Sn－1一致成立，則稱(2)為對數(shù)型條件.

基于這些工作，本文利用Sharp極大函數(shù)技術(shù)研究了Marcinkiewicz與加權(quán)Lipschitz函數(shù)在 Lp空間的有界性.

2 預(yù)備知識及定理

本文中，Q表示Rn中的方體，kQ表示與 Q同中心，邊長為其 k倍的方體，記 Qk=2kQ.給定方體 Q和局部可積函數(shù) f，令

Ap權(quán)定義為:對于1＜p＜∞

A(p，q)定義為:對于1＜p，q＜∞

注1 由H?lder不等式，可以得到 A(p，q)?Ap，1＜p，q＜∞.

給定權(quán)函數(shù) w，對1＜p＜∞，加權(quán)Lebesgue空間 Lp(w)定義為滿足以下條件的函數(shù) f:

對0＜β＜1，加權(quán)Lipschitz空間 Lipβ(w)定義為滿足以下條件的函數(shù) b的全體:

注2 (1)若 b∈Lipβ(w)，w∈A1，x∈Q，則

(2)若 b∈Lipβ(w)，w∈A1，則對任何 Q

文[1]研究了在(1)(2)條件下Marcinkiewicz積分與 b∈BMO((αβ－1)1/p)生成的交換子是從 Lp(α)到 Lp(β)的有界算子.文[2]研究了強(qiáng)奇異積分算子與 b∈Lipβ(w)生成的多線性交換子從 Lp(w)到 Lq(w1－mq)的有界性.受其啟發(fā)，本文得到如下結(jié)果:

3 定理的證明

為證明定理，需要下列引理.

引理3[4,6]對任意方體 Q，b∈Lipβ(w)，0＜β＜1，w∈A1，有

引理4[7](Kolmogoro不等式) 設(shè) S是弱(1，1)型算子，0＜γ＜1，|E|＜∞，則存在一個僅依賴于 γ的常數(shù)，使得

引理5 若 w∈A1，則對 r＞1及任何方體 Q，有

證明 由 Ap權(quán)的性質(zhì)知，對于 r＞1及 w∈A1有 w∈Ar，據(jù) Ap權(quán)定義知，對任何方體 Q，有

即

引理7 設(shè) f∈Lloc(Rn)，則|f(x)|≤Mη(f)(x)，(η＞0)，a.e.

證明 由 Lebesgue微分定理知

而

上式兩邊關(guān)于 r取極限(r→0)得:

從而，對于 η＞0，有:

故

定理1的證明 我們只需證明對任意方體 Q，有

故

對于 I1，選取 r＞1，由H?lder不等式，

由引理3及引理5得:

對于 I2，由 μΩ的弱(L1，L1)有界性及Kolmogoro不等式有:

對于 I3，我們記

由引理6，得:

對于 J1，Ω有界，當(dāng) x，x0∈Q，z∈(4Q)c時，|z－x|～|z－x0|，由Marcinkiewicz積分不等式:

而

對于 J11，類似于 I1可得:

對于 J12，由注1(1)及H?lder不等式可得:

所以

對于 J2，類似于 J1可得:

下面估計 J3:當(dāng) x，x0∈Q，z∈(4Q)c時，有|z－x|～|z－xo|，所以

由條件(1.2)知:

所以

由Minkosvski不等式，得:

類似于 J1的估計可得:

因此由H?lder不等式可得:

證畢!

定理2的證明 在定理1中選取 r＜p，由引理1，7，2可得:

證畢!

致謝:感謝導(dǎo)師安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院束立生教授的悉心指導(dǎo)!

[1]何月香，王月山.Marcinkiewicz積分交換子與加權(quán)BMO函數(shù)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2011，54(3):513－520.

[2]劉嵐吉吉.強(qiáng)奇異積分算子的多線性交換子的Sharp極大函數(shù)估計和連續(xù)性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2011，54(3):503－512.

[3]LEE J，RIM K S.Estimates of Marcinkiewicz integrals with bounded homogeneous kernels of degree zero[J].Integr equ oper theor 2004，48(2):213－223.

[4]GARCIA－CUERVA J，RUBIO de FRANCIA J L.Weighted norm inequalities and related topics，North－Holland math studie [M].Amsterdam:North－Holland Publishing Co，1985.

[5]MUCKENHOUPT B，WHEEDEN R L.Weighted norm inequalities for fractional integral[M].Trans Amer Math Soc，1974，192 261－274.

[6]GARCIA－CUERVA J.Weighted Hp spaces[J].Dissert Math，1979，162:1－45.

[7]JAVIER Duoandikoetxea.Fourier analysis[M].Trans Spanish，1995:102.

Abstract:In this paper，we mainly discuss the Marcinkiewicz integral commutators with weighted Lipschit functions in weighted Lpspace Sharp maximal function estimates and continuity.

Key words:Marcinkiewicz integral commutator;weighted Lipschitz function;Sharp maximal function

Sharp M aximal Function Estimate and Continuity for Commutators of M arcinkiew icz Integrals

ZHAO Yan1，WANG Xiao－shan2
(1.Department of Basic Courses，Wannan Medicial College，241002，Wuhu，Anhui，China; 2.College of Mathematics and Computer Science，Anhui Normal University，241003，Wuhu，Anhui，China)

O 174.2

A

2095－0691(2012)03－0008－07

2012－06－14

國家自然科學(xué)基金資助項目(11101001)

趙 妍(1981－ )，女，安徽當(dāng)涂人，助教，研究方向:調(diào)和分析.