喬林峰，王 俊

(陸軍軍官學(xué)院，安徽 合肥 2300311)

近年來，關(guān)于利用偏微分方程方法進(jìn)行圖像處理方面的研究已在多個(gè)不同領(lǐng)域顯有成效，在圖像去噪、圖像分割、圖像復(fù)原等方面都提出了很多經(jīng)典模型及算法.這些模型在圖像處理方面都取得了非常不錯(cuò)的成績.

本文針對(duì)四階PDE模型過多損失邊緣信息和純各向異性擴(kuò)散模型在平滑區(qū)域產(chǎn)生階梯效應(yīng)的缺點(diǎn)，提出了一種新的模型.該模型適用于去除高斯噪聲和椒鹽噪聲，并在有效去除噪聲的同時(shí)，既抑制了階梯效應(yīng)又很好地保持了圖像的邊緣和紋理細(xì)節(jié)信息，同時(shí)該模型的算法實(shí)現(xiàn)簡單，穩(wěn)定性也很好.

1 純各向異性擴(kuò)散模型

Perona和Malik于1990年在文獻(xiàn)［1］中提出了P－M擴(kuò)散方程:

該方程在圖像去噪的過程中能很好保持邊緣信息.式中g(shù)稱為傳導(dǎo)函數(shù)，一般取為:

式中，k為一臨界參考值.

圖像處理的很多應(yīng)用領(lǐng)域?qū)υ撃Ｐ驮趫D像特性信息的保護(hù)作用都有所關(guān)注，然而該模型的初值問題可能會(huì)出現(xiàn)“病態(tài)”問題［2］，同時(shí)，該模型對(duì)椒鹽類噪聲和強(qiáng)邊緣附近的其它噪聲的處理不是很好.

Alvarez和Morel對(duì)P－M擴(kuò)散方程進(jìn)行了改進(jìn)，并提出了一種“純”各向異性擴(kuò)散方程［3］:

進(jìn)一步，有:

這樣，方程(2)的擴(kuò)散項(xiàng)轉(zhuǎn)化為ξ方向上的擴(kuò)散項(xiàng).在運(yùn)算過程中，為了避免圖像中平坦區(qū)域的梯度值可能為零，該模型采用了參數(shù)提升梯度，即

進(jìn)一步，利用有限差分格式對(duì)方程(2)進(jìn)行離散化，令迭代次數(shù)為k，空間步長為h，時(shí)間步長為 Δt，u(i，j)=ui，j，u0(i，j)=u0i，j，則

得該方程的離散顯示差分方程為:

該模型擴(kuò)散只是沿著垂直于圖像的梯度矢量方向進(jìn)行，可以看出其具有較強(qiáng)的邊緣保護(hù)和去除椒鹽類噪聲的能力.

2 四階PDE圖像去噪模型

Yu－Li和 M.Kaveh等人在文獻(xiàn)［4］中提到了一個(gè)四階PDE.此方程克服了低階PDE在圖像處理中存在的一些缺點(diǎn)，既有效保持了去噪的效果，又在一定程度上保持了圖像的細(xì)節(jié)和紋理特征.方程如下:

其中，f是正的非增函數(shù)，文獻(xiàn)中取其為:

其中λ為常數(shù).

在這里，我們?nèi)圆捎糜邢薏罘指袷綄?duì)其離散化.令迭代次數(shù)為k，空間步長為h，時(shí)間步長為Δt ，u(i，j)=ui，j，u0(i，j)=u0i，j，則得到該四階PDE的顯示差分格式為:

該四階PDE模型能避免產(chǎn)生“階梯”效應(yīng)，并能在很大程度上恢復(fù)和保護(hù)平滑區(qū)域信息和細(xì)小紋理.

3 基于純各向異性擴(kuò)散和四階PDE的混合模型

3.1 模型提出

針對(duì)以上純各向異性擴(kuò)散模型和四階PDE模型在圖像去噪的特點(diǎn)討論，我們提出了混合的偏微分去噪模型:

式中，θ∈［0，1］為權(quán)重函數(shù).設(shè)m，n分別為純各向異性擴(kuò)散模型和四階PDE的解，則凸組合

即為(6)式的解.由圖像處理的實(shí)際情況可知，對(duì)于邊緣和平坦區(qū)域，應(yīng)突出純異性擴(kuò)散的作用，故θ應(yīng)趨于1;對(duì)于漸變區(qū)域，應(yīng)突出四階PDE的作用，故θ應(yīng)趨于0.所以，權(quán)函數(shù)的遞歸表達(dá)式我們構(gòu)造如下:

其中u=θkm+(1-θk)n，c為正數(shù).

3.2 求模型的數(shù)值解

本文所提出的模型數(shù)值解的算法步驟為:

1)初始化:令 θ∈［0，1］，c和 p(收斂精度)，記m0=ur，n0=ur，其中ur為加入了混合噪聲的圖像，其大小為M×N.

2)循環(huán)計(jì)算:k=0，執(zhí)行如下過程.

3)根據(jù)(3)式計(jì)算

4)根據(jù)(5)式計(jì)算

5)根據(jù)(8)式計(jì)算θk+1.

6)根據(jù)(7)式進(jìn)行凸組合:uk+1= θk+1mk+1+(1- θk+1)nk+1.

7)mk+1=uk+1，nk+1=uk+1.

9)結(jié)束.

4 仿真實(shí)驗(yàn)及其結(jié)果分析

為了有效驗(yàn)證本文的方法，測試對(duì)象我們選取了256×256的圖像，對(duì)本文提出的混合模型以及四階PDE模型和純各向異性擴(kuò)散模型在不同強(qiáng)度的高斯噪聲、椒鹽噪聲下的去噪效果進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)并做了比較.在這里，我們用信噪比(SNR)和歸一化的均方誤差(NMSE)作為其評(píng)價(jià)指標(biāo):

u(x，y)和u'(x，y)分別代表處理前的圖像和處理后的圖像.

利用數(shù)學(xué)軟件Matlab，我們對(duì)原始圖像添加了方差為0.02的高斯噪聲和密度為0.1﹪的椒鹽噪聲，然后用純各向異性擴(kuò)散模型、四階PDE模型和本文混合去噪模型進(jìn)行了去噪處理.三種模型的去噪效果比較圖如圖1所示.

圖1 三種模型的去噪效果比較圖

從圖1可以看出，純各向異性擴(kuò)散模型盡管對(duì)混合噪聲去除得比較徹底，但圖像的紋理細(xì)節(jié)卻受到較大破壞，與原始圖像中的河流和街道區(qū)域進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，有一部分的細(xì)節(jié)信息已經(jīng)丟失;四階PDE模型雖然對(duì)圖像的紋理細(xì)節(jié)起到了一定程度的保護(hù)，但圖中仍殘留著去噪后留下的一些麻點(diǎn)和椒鹽噪聲，對(duì)視覺效果有一定的影響.本文提出的混合去噪模型，既對(duì)椒鹽噪聲和高斯噪聲起到了很好的抑制，又保持了原始圖像中的細(xì)節(jié)信息和大量紋理.

與此同時(shí)，我們在測試圖像中分別加入4種不同強(qiáng)度的高斯和椒鹽混合噪聲，再利用純各向異性擴(kuò)散模型、四階PDE模型以及本文提出的混合去噪模型進(jìn)行處理，然后對(duì)去噪后圖像的歸一化均方誤差和信噪比進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(見表1)，其中M表示椒鹽噪聲密度，F(xiàn)表示高斯噪聲方差.從表1中數(shù)據(jù)可以看出，本文提出的算法對(duì)于處理加入不同強(qiáng)度噪聲的圖像，客觀效果均好于其他兩個(gè)模型，且算法的穩(wěn)定性也比較好.

表1 三種模型處理圖像中不同混合噪聲的歸一化均方誤差和信噪比統(tǒng)計(jì)比較

［1］Perona P，Malik J.Scale － space and edge detection using anisotropic diffusion［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis Machine Intelligence，1990，12(7):629－639.

［2］Catte F，Lion J，Morel M.Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion［J］.SIAM Journal on Numerical Analysis，1992(29):182 －193.

［3］Alvarez L，Morel JM.Formalization and computational aspects of image analysis［M］.United States of America:Cambridge University Press，1994:1 －59.

［4］Whitaker R，Pizer S.A multi－ scale approach to nonuniform diffusion［J］.Computer Vision，Graphics，and Image Processing:Image Understanding，1993，57(1):99－110.

［5］張亶，陳剛.基于偏微分方程的圖像處理［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［6］陸君安，尚濤，謝進(jìn)，等.偏微分方程的 Matlab解法［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2004.

［7］岡薩雷斯.數(shù)字圖像處理:第2版［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2002:1－3.

［8］陳祖墀.偏微分方程［M］.合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002.