劉 飛，梁 霖，徐光華，2，針 釗，黃付中

(1.西安交通大學機械工程學院，西安 710049;2.西安交通大學機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710054;3.大連機床(數(shù)控)股份有限公司技術(shù)中心，遼寧 大連 116620)

基于動態(tài)測量模型的圓度誤差分離方法研究*

劉 飛1，梁 霖1，徐光華1，2，針 釗1，黃付中3

(1.西安交通大學機械工程學院，西安 710049;2.西安交通大學機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710054;3.大連機床(數(shù)控)股份有限公司技術(shù)中心，遼寧 大連 116620)

針對精密加工過程中影響圓度誤差分離精度的問題，在軸截面的測量坐標系中，根據(jù)傳感器和軸截面的運動關(guān)系建立起傳感器輸出的動態(tài)測量模型，通過對圓度誤差分離算法的推導來研究其近似條件，并分析討論了角度參數(shù)及周期采樣點數(shù)對誤差分離的影響;在此基礎(chǔ)上，提出了一種提高分離精度的誤差分離方法，并通過實例驗證了誤差分離的有效性。

圓度誤差;誤差分離;動態(tài)模型

0 引言

圓度誤差作為評價圓柱體零件的一個重要指標，在機械產(chǎn)品制造、航空航天和自動化檢測領(lǐng)域中起著非常重要的作用。對于精密回轉(zhuǎn)體加工來說，如何有效的控制加工截面的圓度誤差將成為保障零件成形質(zhì)量的基本要求，而誤差分離技術(shù)可以準確的獲得圓度誤差值。

從日本學者首次提出三點法圓度誤差分離技術(shù)(EST)以來，國內(nèi)外已經(jīng)有許多學者對圓度誤差分離技術(shù)進行了大的研究［1-8］，并取得了可喜的研究成果。圓度誤差分離技術(shù)一般分為反向法、多步法和多點法。由于反向法利用重復定位，獲得測量值樣本數(shù)有限，故不能保障測量精度的一致性;多步法的操作相對復雜，主要用于回轉(zhuǎn)軸重復精度較高的離線測量;而多點法只需零件在傳感器的測量范圍內(nèi)做回轉(zhuǎn)運動，不需要對傳感器進行轉(zhuǎn)位操作，適合在機測量。為此，許多學者又對圓度誤差分離方法進行了進一步的研究。但是，目前的研究缺乏對三點法原理進行深入分析研究及適用條件，這就限制了在機精密圓度誤差的檢測應用。

本文通過對傳感器和軸截面的運動關(guān)系，建立起動態(tài)測量模型，對三點法誤差分離的推導來研究其適用條件，并分析討論了角度參數(shù)及周期采樣點數(shù)對誤差分離的影響;在此基礎(chǔ)上，提出了一種提高分離精度的誤差分離方法，并通過實例驗證了分離的有效性。

1 圓度誤差分離的動態(tài)測量模型

1.1 三點法圓度誤差分離的算法

圓度測量三點法基本原理為:圍繞主軸的測量截面上布置交于一點的三個傳感器S1、S2和S3，如圖1所示，且此三個傳感器與水平位置的夾角分別為0°、α 和 β。

圖1 三點法傳感器布置示意圖

那么，以三支傳感器的交點為坐標原點建立測量坐標系，那么傳感器得到的測量數(shù)據(jù)分別為:

式中:Sm(θ)為第m個傳感器的測量值(m=1、2、3);r(θ)、r(θ+α)和r(θ+β)分別為第m個傳感器對應的的圓度誤差;δx(θ)和δy(θ)分別為回轉(zhuǎn)誤差在X軸和Y軸上的分量。將式(1)中的三組測量值分別乘以權(quán)系數(shù)a、b、c并相加得到如式(2)所示的組合信號S(θ):

若要分離出圓度誤差r(θ)，則需要a+bcosα+ccosβ =0和bsinα +csinβ =0。當取a=1時，求解出a、b、c，并代入式(2)化簡可得 S(θ)=ar(θ)+br(θ+α)+cr(θ+β)，其離散化形式為S(i)=ar(i)+br(i+p)+cr(i+q)，其中 i= θN/2π，p= αN/2π，q=βN/2π。根據(jù)離散化的傅里葉變換及時延相移特性可得 Sf(k)=rf(k)(1+bej2πpk/N+cej2πqk/N)，其 k=0，1，2，…，N-1，令g(k)=1+bej2πpk/N+cej2πqk/N，則:

其中g(shù)(k)為權(quán)函數(shù);對其進行傅里葉反變換，可得分離的圓度誤差r(i):

1.2 三點法測量的動態(tài)模型

上述算法強調(diào)的是基本原理，而在測量過程中，由于軸截面的運動，其傳感器的輸出為動態(tài)信號，那么其動態(tài)測量模型可以表示如下，仍以三個傳感器測量軸線的交點o為坐標原點，建立測量坐標系xoy，某時刻軸截面在測量坐標系中的位置如圖2所示。

圖中o'為被測截面的回轉(zhuǎn)中心，被測截面的轉(zhuǎn)動角θ= ωt，設(shè)∠o'ox=.Ω，r(θ)為被測截面在θ處，截面圓輪廓的回轉(zhuǎn)中心到截面圓輪廓的距離，反映的是圓輪廓信息，δ(θ)為測量截面在轉(zhuǎn)動角度θ后oo'之間的距離，測量時傳感器固定，被測對象的運動方向為順時針旋轉(zhuǎn)，可以看出三個傳感器的感知距離分別為oA、oB和oC，根據(jù)幾何關(guān)系三個傳感器的輸出表達式為:

圖2 傳感器輸出的幾何原理

展開得到:

式中:Si(θ)為第 i個傳感器的感知量(i=1、2、3);δx(θ)為回轉(zhuǎn)運動誤差δ(θ)在測量坐標系xoy中x軸上的分量;δy(θ)為回轉(zhuǎn)運動誤差 δ(θ)在測量坐標系xoy中y軸上的分量;r(θ+φi+τi)是和傳感器實際數(shù)據(jù)相關(guān)的二乘心到對應截面輪廓的距離(i=1、2、3);Ω是oo'與x軸的夾角，其隨著o'位置的不同而變化。而上式中 r(θ+ φi+ τi)的τi(i=1、2、3)為未知變動量，無法得到它與r(θ+φi)之間的關(guān)系，因此，當回轉(zhuǎn)誤差較小時可用r(θ+φi)代替r(θ+φi+τi)，因為:

通常Si(θ)和r(θ+φi+τi)為相同數(shù)量級，而δ(θ)則要小一個數(shù)量級，那么，當 δ(θ)足夠小時，τi趨近于0，則上式可化簡為:

當各個傳感器與水平位置的夾角取φ1=0，φ2= α+φ1=α，φ3=β+φ1=β時，即為式(1)所示的基本方程。

通過上述推導可見，考慮到軸截面的動態(tài)運行過程，三點法誤差分離方法實際上是圓度誤差的近似計算，那么，在實際應用中需要滿足上述近似條件才能取得較好的結(jié)果。

2 圓度誤差分離的影響因素分析

從基本方程可知，若測量參數(shù)選擇不當也會使圓度誤差分離結(jié)果失真。而從應用角度來說，傳感器角度和周期采樣點數(shù)無疑是兩個重要影響因素。

2.1 角度誤差因素影響

由式(3)可以看出，當權(quán)函數(shù)g(k)=0時，此式是一個不定式，在此情況下使r(k)=0，即圓度誤差中第k階諧波被抑制，便會導致分離結(jié)果失真。容易證明總有g(shù)(1)=0，即第1階諧波總是被抑制的，而恰好消除了安裝偏心的影響。而當p，q和N具有大于1的公因數(shù)w時下式成立。

式中，m為任意整數(shù)。因此，只要選擇合適的p和q，使得p、q、N三個數(shù)有大于1的最大公因數(shù)時，就可以使除k=1以外的所有g(shù)(k)≠0，從而避免除一階以外的諧波被抑制掉。而p和q實際反映的是傳感器角度α和β，則不同參數(shù)選取將影響分離效果。

設(shè)截面圓輪廓形狀為橢圓，被測對象徑向截面的周期采樣點數(shù)N為256，α =70.3°、β =180°。在此參數(shù)設(shè)置條件下，其誤差分離結(jié)果如圖3所示，其中黑色曲線為原始圓輪廓，紅色圓圈為分離的圓輪廓。由圖中的對比可見:分離的圓度輪廓信號并不是很理想，原始和分離的圓輪廓相關(guān)系數(shù)僅為0.546，分離結(jié)果比較差。圖4為原始圓輪廓和分離的圓輪廓的頻譜對比圖，從可以看出:分離出來的圓度輪廓沒有完全的包含原來的圓度輪廓信息中所包含的主要頻率信息。

圖3 圓輪廓的對比

圖4 輪廓的頻譜圖像對比

用最小二乘圓法對圓度誤差進行評定:原始圓輪廓的圓度誤差為3.233μm;分離的圓輪廓圓度誤差為2.497μm。兩個評定結(jié)果偏差較大，分離結(jié)果失真。

圖5所示為該角度參數(shù)下對權(quán)函數(shù)模|g(k)|的影響，其中權(quán)函數(shù)的模|g(k)|有64個零值，使得圓度輪廓信號中的主要奇次諧波被抑制，因此造成了圓度誤差分離的失真。

圖5 角度參數(shù)對權(quán)函數(shù)模的變化

若α不變而β=171.6°時，那么它對權(quán)函數(shù)模的影響如圖6所示，由此可見，權(quán)函數(shù)模|g(k)|的取值很少為零，因此，在此角度參數(shù)下權(quán)函數(shù)不產(chǎn)生諧波抑制，可以提取出理想的圓度誤差。

圖6 角度參數(shù)對權(quán)函數(shù)模的變化

通過以上分析可知，在實際應用中，需要對角度參數(shù)的選取有一個全局性的把握，以避免實際測量時的盲目性。

2.2 周期采樣點數(shù)誤差因素

在實際測量中，機床主軸旋轉(zhuǎn)時往往存在速度波動，即造成周期采樣點數(shù)存在誤差，那么會對諧波一致產(chǎn)生影響。

設(shè)定實際周期采樣點數(shù)N為2048點，而周期點數(shù)變化范圍為［2020，2070］，即偏差大概在實際點數(shù)的百分之一范圍內(nèi)，圖7為周期采樣點數(shù)的誤差對誤差分離精度的影響變化曲線，圖中曲線為分離的圓輪廓和原始圓輪廓的相關(guān)系數(shù)取值。

由此可見，當計算所用的周期采樣點數(shù)和實際的周期采樣點數(shù)都為2048點時，相關(guān)系數(shù)為0.9929，相似程度較高，誤差分離的精度很高，而當使用的周期采樣點數(shù)大于或小于實際點數(shù)時，相關(guān)系數(shù)都呈現(xiàn)下降趨勢，即精度損失呈變大趨勢。

圖7 周期采樣點數(shù)誤差對分離結(jié)果的影響

3 提高分離精度的測量算法

考慮到傳感器角度和周期采樣點數(shù)對分離結(jié)果的較大影響，在結(jié)合動態(tài)測量模型，本文提出了一種提高分離精度的圓度誤差分離方法，其基本思想就是在被測件截面上貼裝一個磁性金屬標記作為測量基準(如圖8所示)，以此基準來準確測量周期采樣點數(shù)和角度值，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合三點法誤差分離，可實現(xiàn)圓度誤差的有效分離，具體步驟如下:

圖8 角度測量示意圖

(1)通過數(shù)據(jù)采集獲得時間序列Xi，并對數(shù)據(jù)波形中的突變點按式(11)計算出被測對象的周期采樣點數(shù)，其中M為突變點的個數(shù);

(2)分別在傳感器S1、S2和S3所采集到的數(shù)據(jù)中確定突變點A的中心位置。采用式(12)、(13)便可以計算出角度參數(shù)pA和qA。

式(12)和(13)中，S1A、S2A和S3A分別為傳感器信號中突變點A的中心位置;αA、βA分別為用突變點A確定的傳感器S1與S2、S3之間的夾角;pA、qA分別為用突變點A確定的傳感器S1與S2、S3之間的夾角參數(shù);

(4)在精確獲得傳感器角度參數(shù)后，根據(jù)三點法誤差分離方法，計算權(quán)函數(shù)，并通過傅里葉反變換分離出圓度誤差。

4 實驗測試分析

為了驗證誤差分離方法的可行性，現(xiàn)對一直徑為40mm的圓柱形棒料進行了實驗測試。傳感器及安裝支架的定位如圖9所示，標定好傳感器的測量基準，并在被測件上貼上角度標記，機床轉(zhuǎn)速為200 rpm，采樣頻率為2000Hz。

圖9 傳感器及保持支架的安裝

圖10所示為傳感器測量波形，其中突變點A為角度標記點，計算得到角度精確的P和Q，進而換算成角度值，即S1與S2之間的夾角.α=118.21°，S1與S3之間的夾角β=241.58°。

圖10 傳感器夾角的精確測量

對測量的角度參數(shù)進行諧波抑制驗證，若產(chǎn)生諧波抑制嚴重，則放棄此角度參數(shù)，重新選擇傳感器安裝位置，直到滿足測量要求為止。圖11所示為測量的角度參數(shù)的權(quán)函數(shù)變化波形，可以看出權(quán)函數(shù)的模 |g(k)|除了k=1外沒有零點，即不會產(chǎn)生諧波抑制作用，所以此角度參數(shù)符合測量要求。

最后，通過誤差分離計算得到被測件的圓輪廓并將其疊加在測試基圓上，如圖12所示。用最小二乘法評定分離出來的圓度誤差為41.85μm，為了驗證分離結(jié)果的可靠性，將此被測對象用圓度儀進行了測量，測量結(jié)果為41.37μm，兩次測量值偏差為0.5μm。由于傳感器分辨率以及傳感器安裝同心誤差的影響，可認為結(jié)果基本一致。由此可見，基于三點法圓度誤差可實現(xiàn)圓度誤差的在機測量。

圖11 角度參數(shù)諧波抑制檢驗

圖12 誤差分離得到的圓度輪廓

5 結(jié)論

對三點法圓度誤差分離技術(shù)在應用中存在的問題進行了研究與探討，提出了一種誤差分離的模擬與分析方法。并分析討論了角度參數(shù)和周期采樣點數(shù)對誤差分離精度的影響，最后通過實例驗證了誤差分離的有效性。

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Study of Roundness Error Separation based on Dynamic Measuring Model

LIU Fei1，LIANG Lin1，Xu Guang-hua1，2，ZHEN Zhao1，HANG Fu-zhong3
(1.School of Mechanical Engineering，Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710049，China;2.The State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering，Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710054，China)

Aiming at the accuracy of roundness error separation in precision machining，according to the relationship between axisymmetric body and sensors，the dynamic measuring model for motion of axisymmetric body cross section is built，meanwhile the mathematic expression of sensors output is deduced to analyze the approximate condition of error separation.Then，the effect factors of angular error and periodic sampling error which effect error separation result are discussed.Thus a method of roundness error separation which improving accuracy of separation is proposed，and test results show that the modeling study is very effective for roundness error separation and suppressing effects of errors in workpiece machining.

roundness error;error separation;dynamic model

TH165.3

A

1001-2265(2012)12-0092-04

2012-02-13;

2012-04-12

機床重大專項項目資助(2009ZX04001-051)

劉飛(1979—)，男，河北隆堯人，西安交通大學機械工程學院博士研究生，主要研究方向為機械故障診斷、精密測量技術(shù)，(E-mail)lf.7902@stu.xjtu.edu.cn。

(編輯 趙蓉)