黃 寬，殷愛華，馮虎田

(南京理工大學機械工程學院，南京 210094)

基于擬蒙特卡洛法的滾珠絲杠可靠性分析*

黃 寬，殷愛華，馮虎田

(南京理工大學機械工程學院，南京 210094)

討論了滾珠絲杠可靠性計算和分析問題，提出了滾珠絲杠可靠性分析的計算方法;雖然蒙特卡洛方法具有程序結構簡單，計算效率與問題維數(shù)無關的優(yōu)點，但工程結構的失效概率往往很小，要獲得準確的結果就需要大量的樣本，因而計算效率低。針對這一問題，采用Halton序列代替?zhèn)坞S機數(shù)，并結合了重要抽樣技術建立了可靠性分析的擬蒙特卡洛方法。該方法不但可以大幅度減少抽樣點數(shù)目，還能夠得到確定性的估計值。編制了實用的計算機程序，利用它可以迅速準確地得到滾珠絲杠可靠性的設計信息，為滾珠絲杠的可靠性設計提供了理論依據(jù)。

可靠性;擬蒙特卡洛法;Halton序列;滾珠絲杠

0 引言

結構可靠性分析的關鍵是聯(lián)合概率密度函數(shù)在失效域上的積分運算，即求解如下多元變量區(qū)域積分問題:

式中:Pf為結構失效概率;χ為基本隨機變量;fx(x)為基本變量的聯(lián)合概率密度;G(x)≤0表示結構失效。一般情況下，式(1)是一個高維積分，直接進行計算是困難的，所以工程中常用的方法主要有一次(二次)可靠度方法和基于蒙特卡羅(Monte Carlo，MC)的數(shù)值模擬法［1］。由于MC方法具有相對精確的特點，可以用于各種解析方法計算結果準確性的校核。而機械零部件的可靠性靈敏度設計是在可靠性設計基礎上進行機械零部件的靈敏度設計。事實上，若某因素的變異性對機械零部件失效有較大的影響，則在設計制造過程中要嚴格加以控制，使其變化較小保證機械零部件有足夠的安全可靠性［2］。目前可靠度的分析方法主要有解析法和數(shù)值方法，解析法是指基于一次二階矩法、高階矩法的可靠性設計。這種方法要求結構功能函數(shù)具有顯式表達式，但對于非線性程度較高的功能函數(shù)其計算精度不高，這個不足可以通過數(shù)值模擬方法加以解決，傳統(tǒng)的蒙特卡洛方法雖然可以達到計算可靠性的目的，但對于小失效概率問題，求解時需要抽取大量的樣本才能獲得足夠的精度，計算效率低［3］。

針對傳統(tǒng)蒙特卡洛方法效率低這一問題，有許多學者通過各種方法來提高其抽樣效率，如拉丁超立方抽樣，通過引入降低方差技巧的重要抽樣方法［3］，分層抽樣方法，系統(tǒng)抽樣等。雖然上述方法已經(jīng)有效地提高了蒙特卡洛方法的計算效率，但是有時其效率還是無法滿足工程大型結構可靠性問題的需求。原因是其概率誤差ε與N－1/2成正比，其中N為抽樣點的數(shù)目，因此要提高一位精確度就需要增加百倍工作量，誤差的收斂速度比較緩慢。擬蒙特卡洛方法是通過引入單位超立方體上低偏差點集來取代傳統(tǒng)蒙特卡洛法中的偽隨機數(shù)序列的方法，如Faure序列、Halton序列、Sobol序列等。本文通過引入低偏差點集Halton序列來實現(xiàn)蒙特卡洛方法。

1 低偏差點集

低偏差點集側重于點集的均勻性，偽隨機數(shù)序列側重于點集的隨機性。在此類研究中GLP(Good Lattice Point)點集、H-W(Hua-Wang)點集和Halton序列具有較小偏差，本文主要介紹Halton序列。

1.1 Halton序列生成

設R為任意質(zhì)數(shù)，則任意自然數(shù)s都有唯一的R進制表示:

式中:M=［lns/lnR］，方括號表示取整運算;si∈{0，1，…，R －1}(i=0，1，2，…，M);RM≤s ＜ RM+1，定義R的根式逆運算如下:

式中:對任意整數(shù) s＞ 0，ψR(s)∈［0，1］。

稱點集{ψR1(s)，ψR2(s)，…，ψRn(s)}(其中 s=1，2，…N)為Halton序列，n表示維數(shù)。圖1，圖2分別表示偽隨機數(shù)序列與Halton序列抽樣點同為100時在單位面積上的分布圖。

1.2 點集均勻性檢驗

圖1 單位面積上偽隨機數(shù)序列

圖2 單位面積上的Halton序列

χ2在此問題中應服從χ2(k－1)的分布。因此可以假定一個顯著性水平值來進行檢驗?？梢詮摩?表查得(k－1)個自由度的顯著水平為α時的ta值。計算出來的χ2小于ta，則認為在α的顯著水平下，原隨機數(shù)在［0，1］區(qū)間是均勻分布的假設是正確的。

將樣本的取值范圍分布在10個等寬區(qū)間，即分成:0 ～1/10，1/10 ～2/10，…，8/10 ～9/10，9/10 ～1，10個區(qū)間。統(tǒng)計實際落在每隔區(qū)間內(nèi)的樣本個數(shù)，結果如表1所示。

表1 隨機數(shù)頻率檢驗

(續(xù)表)

則χ2=0.4。從χ2表查得χ2(9)在顯著性水平為0.01是的值為21.666。χ2遠小于χ2(9)，因此該隨機數(shù)是均勻分布的。

2 滾珠絲杠接觸疲勞強度的可靠性

2.1 滾珠絲杠工作壽命的分析

當滾珠螺旋傳動在一定載荷下工作時，一個滾珠從進入螺紋滾道承載區(qū)到離開滾道，然后又重復循環(huán)下去，承載著周期性的重復接觸應力作用，經(jīng)過一段時間后，接觸表面會產(chǎn)生疲勞點蝕，使傳動精度下降，影響正常工作。由于螺母一般遠比絲杠短，循環(huán)次數(shù)就多，壽命也就短得多。因此可靠性分析時以螺母為對象。

根據(jù)Hertz理論，其強度條件為:

式中，σH——接觸應力(N/mm2);

F0——單個滾珠的法向載荷(N);

E——材料的縱向彈性模量(N/mm2);

［σ］H——材料的許用接觸應力(N/mm2);

R——螺紋滾道半徑(mm);

rb—— 滾珠半徑(mm);

α—— 系數(shù)。

從公式(4)可以看出，當其他條件不變時，σH的大小與單個滾珠承受的法向載荷F0有關。當工作滾珠數(shù)減少時，每個滾珠分擔的F0值就增大，如果所引起的接觸應力σH＞［σ］H，就會產(chǎn)生疲勞點蝕。當滾珠數(shù)目增多時，重量加大，導致運行阻力增加，降低了滾珠的流暢性，因此滾珠數(shù)目不能過多。

2.2 設計變量的選取

由公式(4)可知，對于滾珠絲杠傳動，主要的影響參數(shù)有:滾珠半徑、螺紋滾道半徑、材料的縱向彈性模量、單個滾珠的法向載荷。所以選擇滾珠絲杠的螺紋滾道半徑R、滾珠半徑rb、單個滾珠的法向載荷F0作為獨立設計變量。即 S=g［x1，x2，x3］T=g［R，rb，F(xiàn)0］T。且 R，rb，F(xiàn)0均滿足正態(tài)分布。

2.3 可靠度的計算公式

應力s和強度S為正態(tài)分布時，其干涉隨機變量Z=S－s也服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為:

可靠度為:

由于正態(tài)分布的對稱性，上式可靠度的積分值也可寫成:

上式的積分上限:

式(9)把應力分布參數(shù)、強度分布參數(shù)和可靠度三者聯(lián)系起來，β稱為聯(lián)結系數(shù)或可靠度系數(shù)。當已知β，從標準正態(tài)分布表中可查出R的值。

2.4 可靠性的計算

采用蒙特卡洛法進行可靠性的計算，其具體計算步驟如下:

(1)確定零件強度S與其影響因素之間的函數(shù)關系 S=g［x1，x2，…，xn］T。

(2)確定零件強度函數(shù)中每一個變量xi的概率密度函數(shù)f(xi)和累積概率分布函數(shù)F(xi)。

(3)對強度函數(shù)中的每一種變量xi，在［0，1］之間生成許多均勻分布的低偏差點集Halton序列F(xij):

式中，i—— 變量個數(shù)，i=1，2，…，n;

j—— 模擬次數(shù)，j=1，2，…，m;

對于給定的F(xij)，可由上式解出相應的xij。

(4)計算零件強度函數(shù)S的統(tǒng)計特征量。將每一次模擬得到的隨機數(shù)值代入函數(shù)的方程中，得

因此得到強度函數(shù)S的均值和標準差:

(5)求出應力的均值μs和標準差σs。把應力和強度的均值和標準差代入公式(9)求出β。根據(jù)公式(8)從正態(tài)分布表查出可靠性R的值。

3 應用實例

結合陜西漢江機床有限公司的HJG-S6658-01-501重載滾珠絲杠(螺紋滾道部分法向剖面圖見圖3)，并通過HJS-055重載滾珠絲杠試驗儀(見圖5)測出重載滾珠絲杠在模擬實際工況時所受的軸向力。

圖3 螺紋滾道部分法向剖面圖

圖4 程序流程圖

圖5 HJS-055重載滾珠絲杠試驗儀

實驗中，通過測試軟件(測試軟件主界面見圖6)測得重載滾珠絲杠單個滾珠的法向載荷的均值為520.477N，均方差為0.339。其螺紋滾道半徑R、滾珠半徑rb、單個滾珠的法向載荷F0、許用應力均滿足正態(tài)分布，即

根據(jù)可靠性計算步驟得出程序流程圖(圖4)，利用MATLAB編程算出HJG-S6658-01-50的可靠度為99.62%。滿足使用要求。

圖6 測試軟件主界面

4 結束語

采用低偏差點集(Halton序列)替換偽隨機序列，提高樣本的均勻性，減少了樣本數(shù)，提高了計算效率。

通過對漢江機床有限公司的HJG-S6658-01-50滾珠絲杠的接觸應力分析，結果證實低偏差點集的擬蒙特卡洛法的高效率、高精度，并且為滾珠絲杠可靠性設計提供了新的方法。

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The Reliable Analysis of Ball-screw Based on Quasi-Monte Carlo

HUANG Kuan，YIN Ai-hua，F(xiàn)ENG Hu-tian
(Nanjing University of Science＆ Technology，Nanjing 210094，China)

The paper discusses the question that contains the computing and analysis of the ball-screw，proposes a method that useed to analyse and calculate the ball-screw’s reliability.Although the program structure of Monte Carlo is easy and computing efficiency has nothing to do with program dimension，the probability of failure of engineering structure is often small.If want to acquire a accuracy result，we need a lot of examples，so the computing is ineffizient.Aiming at this question，adopting Halton array to replace random number and combining important sampling technology to establish Quasi-Monte Carlo of fail-safe analysis.This method not only cuts the number of sampling points，but also can get the estimate of certainty.Programing the practical computer programs，utilizing it can get design information of the reliablity of ball-screw quickly and accurately.For the reliability design of ball-screw provides theoretics basis.

reliability;Quasi-Monte Carlo;halton array;ball-screw

TH122

A

1001-2265(2012)02-0001-04

2011-08-03

國家科技重大專項(2009ZX04011-034)

黃寬(1987—)，男，江蘇鎮(zhèn)江人，南京理工大學機械工程學院碩士研究生，研究方向為機械結構可靠性分析，精密機電測控技術;通訊作者:黃寬(1987—)，男，江蘇鎮(zhèn)江人，南京理工大學機械工程學院碩士，研究方向為機械結構可靠性分析，精密機電測控技術，(E-mail)huangkuan0102@126.com。

(編輯 趙蓉)