何周理 徐緋， 段敏鴿

(1.西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，西安 710072;2.上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院，上海 200232)

連續(xù)碳(及碳化硅)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料具有較高的比強(qiáng)度、比剛度以及耐高溫、耐腐蝕、抗氧化、低密度等優(yōu)點(diǎn)，因此，已越來越廣泛地應(yīng)用于航空、航天等高溫領(lǐng)域。

在固體力學(xué)和材料力學(xué)領(lǐng)域中，某些材料參數(shù)通過試驗(yàn)直接測量十分困難。但卻可以通過試驗(yàn)測量得到與這些材料參數(shù)直接相關(guān)的其它物理量，再考慮通過反演計(jì)算得到所需的材料參數(shù)值。常用的反演方法主要包括:Monte Carlo［1］法、模擬退火法［2］、遺傳算法［3］、改進(jìn)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法［4］等等。上述的幾種反演方法屬于完全非線性反演法，具備全局搜索能力，但是計(jì)算量往往很大，計(jì)算效率不高。所以對于單個(gè)或者未知參數(shù)較少時(shí)的反演情況，上述方法并非最佳選擇。本文將介紹一種計(jì)算效率較高的Kalman濾波反演法。

1960年，Kalman提出了用遞歸方法解決離散數(shù)據(jù)線性濾波問題。此后，由于數(shù)字計(jì)算技術(shù)的進(jìn)步，Kalman濾波技術(shù)得到了廣泛的應(yīng)用，特別是在自主及協(xié)助導(dǎo)航領(lǐng)域。Kalman濾波可由一系列遞歸數(shù)學(xué)公式描述，它們提供了一種高效的方法來估計(jì)過程的狀態(tài)，并使估計(jì)均方誤差最?。?］。其應(yīng)用廣泛且功能強(qiáng)大，即使對相應(yīng)模型的性質(zhì)不確定，可以估計(jì)信號的過去和當(dāng)前狀態(tài)，甚至將來的狀態(tài)?；谝陨螷alman濾波反演方法的優(yōu)點(diǎn)，促使其正逐漸走進(jìn)研究者的視野，如結(jié)合邊界元利用擴(kuò)展的Kalman濾波方法對材料彈性和熱彈性參數(shù)［6］進(jìn)行反分析;利用Kalman濾波方法對金屬材料的Gurson模型參數(shù)［7，8］進(jìn)行反演確定;利用擴(kuò)展的 Kalman濾波對單一載荷下裂紋斷裂參數(shù)和動(dòng)態(tài)界面分層參數(shù)進(jìn)行反演確定［9，10］;大體積混凝土結(jié)構(gòu)位移場參數(shù)［11］的反演等等

本工作介紹了Kalman濾波反演方法的基本原理，并且結(jié)合SiC(SCS-6)/Ti復(fù)合材料的單纖維頂出試驗(yàn)，成功地反演出了碳化硅纖維鈦基復(fù)合材料的界面參數(shù)。論證了Kalman濾波反演法具有較好的收斂性和較高的精確性。并且通過不同的測量噪音證明了其具有一定的消除噪音的能力。通過例證還可看出，Kalman濾波反演方法可在一定程度上簡化實(shí)驗(yàn)方案［12］。

1 纖維頂出試驗(yàn)研究

單纖維頂出試驗(yàn)［13］是從細(xì)觀上對纖維增強(qiáng)基體復(fù)合材料界面性能進(jìn)行研究的一種試驗(yàn)手段，主要用于獲得纖維和基體交界處的界面性能，比如界面的剪切強(qiáng)度、拉伸強(qiáng)度以及斷裂能等等。單纖維頂出試驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)示意圖和試驗(yàn)結(jié)果曲線如圖1、圖2所示，實(shí)驗(yàn)機(jī)通過壓頭施加壓力把纖維從基體中頂出，同時(shí)測量出壓頭的支反力和位移。

從試驗(yàn)曲線可以看出初始載荷隨位移呈線性增加，當(dāng)載荷增加到Fmax時(shí)，表示界面剪切應(yīng)力達(dá)到最大值，界面開始脫粘，此后載荷開始直線下降。由試驗(yàn)曲線可以獲得2個(gè)重要的參數(shù)Fmax以及與Fmax對應(yīng)的位移δmax。然后根據(jù)公式:

上式中d是纖維的直徑，L是試樣的長度，通過上式計(jì)算得到界面的試驗(yàn)剪切強(qiáng)度。由于在上述試驗(yàn)中獲得的界面剪切強(qiáng)度τ為纖維脫粘時(shí)整個(gè)界面的剪切應(yīng)力平均值，然而在實(shí)際情況中，纖維脫粘時(shí)沿纖維軸向的拉伸應(yīng)力和剪切應(yīng)力分布都是不均勻的，所以上述試驗(yàn)中獲得的界面剪切強(qiáng)度并非材料界面的真正剪切強(qiáng)度［14］。為了得到纖維增強(qiáng)復(fù)合材料界面的真實(shí)剪切強(qiáng)度，很多研究者運(yùn)用有限元模擬計(jì)算來反演界面剪切強(qiáng)度。如文獻(xiàn)［9］中關(guān)于正問題的研究，成功地用cohesive單元模擬單纖維頂出試驗(yàn)，得到了纖維脫粘時(shí)切應(yīng)力沿界面的分布，通過有限元計(jì)算得到的力-位移曲線和試驗(yàn)的結(jié)果基本一致。在本文的研究中我們用反問題思路，即考慮界面剪切強(qiáng)度和斷裂能量都為未知參數(shù)，通過參考文獻(xiàn)［15］中試驗(yàn)得到的力-位移曲線結(jié)果，結(jié)合Kalman濾波反演技術(shù)來反演計(jì)算未知的兩個(gè)參數(shù)。

有限元模型，試驗(yàn)?zāi)Ｐ涂煽闯奢S對稱模型所以在模擬計(jì)算中用軸對稱條件進(jìn)行簡化。簡化后的有限元模型及尺寸如圖3所示，圖中顯示了對稱軸和界面的位置，分別標(biāo)識(shí)了壓頭端和簡支座端，對稱軸采用對稱邊界條件，簡支端限制Z向位移，加載端Z向位移0.09mm。

圖3 簡化的有限元模型Fig.3 the FEA model

2 Kalman濾波原理簡介

簡單來說，Kalman濾波是一個(gè)優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法，用遞歸的方法解決離散數(shù)據(jù)線性濾波問題。Kalman濾波應(yīng)用廣泛且功能強(qiáng)大，他的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過30年，包括機(jī)器人導(dǎo)航、控制、傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達(dá)系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等等。近年來更被應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖像處理，例如頭臉識(shí)別、圖像分割及圖像邊緣檢測等等。Kalman濾波器的基本工作原理主要由時(shí)間更新(預(yù)測)和量測更新(校正)兩部分組成，原理公式如表1中所示。

式(2)表示由k－1時(shí)刻的狀態(tài)變量xk－1遞推k時(shí)刻的狀態(tài)變量xk;式(3)表示估計(jì)誤差協(xié)方差的遞推公式;式(4)表示量測向量zk在狀態(tài)變量xk時(shí)的函數(shù)表達(dá)。其中P－k為先驗(yàn)估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣，R為量測噪音協(xié)方差矩陣;A表示差分方程的增益矩陣，B代表可選的控制輸入u∈Rl的增益矩陣，wk－1表示過程激勵(lì)誤差;h表示狀態(tài)變量xk對量測變量zk的增益函數(shù)，向量vk表示量測誤差。估計(jì)誤差協(xié)方差Pk和量測誤差協(xié)方差R都隨著時(shí)間步k的變化而不同。Hk為k時(shí)刻量測變量值對狀態(tài)變量(待估參數(shù))的一階偏導(dǎo)數(shù):

當(dāng)Kalman濾波的過程激勵(lì)噪音wk=0、增益矩陣A為單位矩陣I、控制輸入u=0時(shí)，Kalman

濾波的狀態(tài)更新方程簡化為為:

Kalman濾波器向估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣更新方程為:

表1 Kalman濾波原理(-代表先驗(yàn)，^代表估計(jì))Kalman filter principle table(-is priori state estimate，^denote estimate)

3 Kalman濾波反演步驟

(1)首先假設(shè)待估參數(shù)的初值:取狀態(tài)變量的初值為x0和誤差協(xié)方差初值為P0。

(2)把第k步的狀態(tài)變量值和已知的各材料參數(shù)代入到有限元模型計(jì)算中，得到計(jì)算量測向量;并且提取有限元結(jié)果計(jì)算出Hk。

(4)根據(jù)第k步的值計(jì)算Kalman增益矩陣Kk+1。

(6)檢驗(yàn)更新的誤差協(xié)方差矩陣的最大特征值是否達(dá)到預(yù)設(shè)的精度ε。

(7)如果沒有達(dá)到精度要求則重復(fù)反演計(jì)算步驟2－6;如果達(dá)到精度要求則停止濾波反演計(jì)算。

4 實(shí)例證明

4.1 例證1

在第1節(jié)中已經(jīng)說明了單纖維頂出試驗(yàn)得到的是復(fù)合材料界面的平均性能，而非界面的真實(shí)性能。本例將使用Kalman濾波反演法來求解真實(shí)的剪切強(qiáng)度τb，設(shè)界面的剪切強(qiáng)度τb為未知參量，即狀態(tài)向量為xk=τbk;以壓頭支反力的最大值為Kalman濾波的量測標(biāo)準(zhǔn)，即量測向量為zk=Fmax。本例中狀態(tài)向量只有一個(gè)參數(shù)，所以屬于一維的Kalman濾波反演計(jì)算。在反演計(jì)算中，力的單位為N，剪切強(qiáng)度的單位為MPa，位移的單位為mm。

表2 Kalman濾波器的參數(shù)設(shè)置Table 2 The initial parameters of Kalman filter

Kalman濾波反演計(jì)算的每一步更新中必須已知試驗(yàn)量測向量Zk+1和Hk的值，所以針對不同的狀態(tài)變量xk，結(jié)合有限元計(jì)算可得到所需的計(jì)算量測向量z－k和Hk，然后可以使Kalman濾波反演計(jì)算向后一步一步進(jìn)行預(yù)估校正。當(dāng)即估計(jì)誤差的協(xié)方差小于等于1時(shí)，認(rèn)為找到合適的反演結(jié)果。把上述初始估計(jì)和誤差協(xié)方差矩陣代入Kalman濾波反演計(jì)算中。當(dāng)經(jīng)過10次反演計(jì)算后最終誤差矩陣協(xié)方差為0.999，反演結(jié)果為 200.8MPa，反演數(shù)值曲線如圖4所示。

把得到的參數(shù)xk=τbf=200.8 MPa代入到數(shù)值模擬計(jì)算中，計(jì)算得到的力-位移曲線如圖5所示，與試驗(yàn)得到的力-位移曲線相比較，兩者基本吻合，證明了此方法的可行性和精確性。

4.2 例證2

運(yùn)用Kalman濾波反演法確定單纖維增強(qiáng)復(fù)合材料界面的多個(gè)未知參數(shù)。界面的剪切強(qiáng)度τb和斷裂能均為未知參量，即狀態(tài)向量為xk=［τ，G］T，所以本例的計(jì)算屬于二維的Kalman濾波反演計(jì)算。在反演計(jì)算中以壓頭的壓力和對應(yīng)的下壓位移為反演的量測標(biāo)準(zhǔn)，即量測向量為zk=［Fmax，δ］。在計(jì)算中，力的單位為N，剪切強(qiáng)度的單位為MPa，位移的單位為mm，斷裂能的單位為N/mm。本例進(jìn)行計(jì)算的初始參數(shù)設(shè)置如下。

初始狀態(tài)變量:

初始估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣:

觀測誤差的協(xié)方差矩陣:

過程激勵(lì)噪聲方差矩陣:

把上面的的各個(gè)值結(jié)合有限元計(jì)算可得到反演所需的Zk和Hk，然后按照Kalman濾波反演計(jì)算的步驟一步一步向后進(jìn)行反演計(jì)算。當(dāng)(即估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣的最大特征值小于等于1時(shí))，認(rèn)為反演值達(dá)到要求的精度，找到了合適的反演結(jié)果。本例中的觀測誤差協(xié)方差矩陣為:R=diag(2.5，2.5)，當(dāng)經(jīng)過44次反演計(jì)算后得到結(jié)果為xk=［τ，G］T為［200.555，3.9548］T，最終的誤差協(xié)方差為過程激勵(lì)噪聲方差矩陣:P44=diag(0.9983，0.001)，得到參數(shù) τ和 G的反演曲線如圖5所示。

把反演得到的參數(shù)τ和G代入到有限元計(jì)算中的界面模型中，進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，最后計(jì)算得到的力－位移曲線如6圖所示，并且和試驗(yàn)得到的力－位移曲線相比較。由圖6中可以看出，最后的反演結(jié)果計(jì)算得到的曲線和試驗(yàn)得到的曲線基本重合，所以反演的結(jié)果為精確值。另外隨著反演的參數(shù)增多，濾波次數(shù)明顯增多。

4.3 例子3

研究量測噪音誤差對反演結(jié)果的影響，例2中其它各參數(shù)不變，而僅僅把量測噪音誤差協(xié)方差分別設(shè)為 diag(1，1)，diag(5，5)和 diag(16，16)，相對應(yīng)的試驗(yàn)誤差分別為2%，4.5%和8%的情況。按照例2的步驟進(jìn)行Kalman濾波反演計(jì)算，得到的結(jié)果如表3示。

圖6 剪切強(qiáng)度(τ)(a)和斷裂能(G)(b)的反演曲線Fig.6 The inverse analysis of shear strength(τ)(a)and the fracture energy(G)(b)

表3 不同的量測噪音協(xié)方差Kalman濾波反演結(jié)果Table 3 The results of influence of noise by Kalman filter

圖7 反演結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比Fig.7 Comparison of inverse analysis and experimental results

表3說明Kalman濾波反演計(jì)算具有一定的消除噪音的能力，由不同的測量噪音誤差協(xié)方差得到的反演結(jié)果具有一致性;但是隨著噪音的增大，濾波的次數(shù)要明顯增多。

5 結(jié)論

通過對SiC(SCS－6)/Ti單纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的界面參數(shù)計(jì)算研究表明:

(1)Kalman濾波反演方法不論對于單個(gè)參數(shù)反演還是多個(gè)參數(shù)反演都是可行的，由圖4和圖6可知Kalman濾波反演法的收斂性較好。

(2)圖3和圖7的例證結(jié)果表明反演得到的結(jié)果和試驗(yàn)得到的結(jié)果［9］吻合很好，說明Kalman濾波反演方法具有較高的精度。

(3)Kalman濾波反演方法可以引入不同的量測噪音協(xié)方差矩陣，說明實(shí)驗(yàn)噪聲的影響，這也是該方法作為材料參數(shù)反演計(jì)算的一個(gè)重要特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)。

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