劉利敏，王宣濤

（河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南新鄉(xiāng)453007）

離散時間模型的指數(shù)效用無差別定價

劉利敏＊，王宣濤

（河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南新鄉(xiāng)453007）

利用鞅方法證明了完全市場的指數(shù)效用函數(shù)無差別定價為無套利定價，討論了不完全市場中指數(shù)效用函數(shù)無差別定價計算的關(guān)鍵問題，得到三叉樹模型的指數(shù)效用無差別定價為特定鞅測度下未定權(quán)益期末收益的變異條件期望.

完全市場；不完全市場；指數(shù)效用函數(shù)；無差別定價

效用無差別定價是一種未定權(quán)益定價的新方法，首先由HODEGES，NEUBERGER［1］提出.近年來，關(guān)于指數(shù)效用函數(shù)無差別定價的研究獲得了很多成果.例如，劉利敏［2］，MUSIELA［3］，李玉萍［4］，BENTH［5］，BECHERER［6］，閆海峰［7－8］等探討了連續(xù)時間模型的指數(shù)效用無差別定價；MUSIELA［9］，劉利敏［10］等則研究了特殊離散時間模型未定權(quán)益的指數(shù)效用無差別定價.由于針對離散時間模型的系統(tǒng)研究比較少，因此本文擬利用鞅方法對離散時間模型的完全市場指數(shù)效用無差別定價進(jìn)行討論，應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃方法研究特殊模型的不完全市場效用無差別定價.

1 完全市場的指數(shù)效用無差別定價

對于離散時間模型，存在T＋1個交易日0，1，…，T，T為未定權(quán)益的到期日.市場中的信息流F＝｛Ft｝.市場中存在兩種資產(chǎn)：一是無風(fēng)險資產(chǎn)Bt，二是風(fēng)險資產(chǎn)St＝（S1（t），S2（t），…，SN（t））.交易策略α（t）＝（α0（t），α1（t），…，αN（t））構(gòu)成的集合記為Αt，財富過程記為X＝｛Xt｝.

假設(shè)市場是完全的無摩擦的金融市場，則市場中存在唯一的等價鞅測度Q.給定未定權(quán)益CT，考慮如下最優(yōu)投資組合問題：

記上述最優(yōu)投資問題的價值函數(shù)為VCT（Xt／Bt，XT－CT）.若CT＝0，則記為V0（Xt／Bt，X）.

定義1 給定未定權(quán)益CT，滿足V0（Xt／Bt，XT）＝VCT（Xt／Bt＋υt／Bt，XT－CT）的υt稱為未定權(quán)益CT在t時刻的指數(shù)效用無差別定價.

定理1 在離散的完全市場中未定權(quán)益CT在t時刻的指數(shù)效用無差別定價為υt／Bt＝EQ（（CT／BT）｜Ft）.

其中LT＝QT／PT.由一階條件得

2 不完全市場的指數(shù)效用無差別定價

由于指數(shù)效用無差別定價計算的關(guān)鍵在于求解最優(yōu)問題

其中Χ≡｛XT∈Rk：EQ（（XT／BT）｜Ft）＝Xt／Bt，Q∈Μ｝，Μ是等價鞅測度的集合，其對應(yīng)的價值函數(shù)記為VCT（Xt／Bt，XT－CT）.

如果模型是不完全的，則風(fēng)險中性概率測度集合包含無窮多個元素.由于Μ是一個線性子空間，因此存在著珡Μ（即Μ的閉集）中的有限個獨立變量Q（1），Q（2），…，Q（J），使得Μ中的每一個元素能表示為這J個變量的線性組合，且權(quán)重之和為1；從而對于所有的Q∈Μ，EQ（XT／BT）＝Xt／Bt成立當(dāng)且僅當(dāng)EQ（j）（XT／BT）＝Xt／Bt，于是Χ≡｛XT∈Rk：EQ（j）（（XT／BT）｜Ft）＝Xt／Bt，j＝1，…，J｝.由此可得最優(yōu)組合問題（5）表示為

問題（6）能通過引入拉格朗日乘子求解，同時J對應(yīng)于狀態(tài)價格密度Lj≡Q（j）／P使得

但是，由于拉格朗日乘子的增多，（7）式的最優(yōu)財富過程較為復(fù)雜，故很難得到價值函數(shù)的顯式解.

3 一個例子

由于問題（5）的價值函數(shù)很難得到顯式解，因此不完全市場的無差別定價難以求出；然而，對于一些特殊的模型，可以利用動態(tài)規(guī)劃方法求出其無差別定價，三叉樹模型就是其中一種.

在一個單時期三叉樹模型中，假設(shè)無風(fēng)險資產(chǎn)恒為1，風(fēng)險資產(chǎn)在0時刻的價值表示為S0，期末時刻為ST.設(shè)Ω＝｛ω1，ω2，ω3｝，對任意i＝1，2，3，pi＝P｛ωi｝＞0，ST（ω1）＝，ST（ω2）＝S0，ST（ω3）＝，其中0＜ξd＜1＜.假設(shè)投資者的初始財富為X0＝x，投資者在初始時刻購買α份股票，則期末時刻投資者的財富為XT＝β＋αST＝（x－αS0）＋αST＝x＋α（ST－S0）.給定未定權(quán)益CT，記

本文以南方某區(qū)域為例進(jìn)行分析，同時以全國該領(lǐng)域平均水平為依據(jù)進(jìn)行相關(guān)原則制定。由于篇幅限定，本文不再一一列舉相關(guān)數(shù)據(jù)。針對文中的評價對象，主要依據(jù)南方地區(qū)數(shù)據(jù)為依據(jù)，一些定量數(shù)據(jù)主要通過國家統(tǒng)計局、氣象局、行業(yè)協(xié)會等獲得；針對一些定性的指標(biāo)主要通過模糊評判集的方法進(jìn)行量化[4]，在百分制中以20為單位進(jìn)行劃分五個區(qū)間，即0～20，>20～40，>40～60，>60～80，>80～100，從而將定性指標(biāo)量化在該區(qū)間中，以表示該地區(qū)的對應(yīng)指標(biāo)發(fā)展情況。19個電能替代領(lǐng)域排名如表3所示。最后依據(jù)綜合排名前十一位為大力發(fā)展電能替代技術(shù)。

且問題（8）和（9）的最優(yōu)策略分別記為α0和αCT.

未定權(quán)益在T時刻的收益為CT＝C（ST），記CT（ωi）＝ci∈R，i＝1，2，3.首先計算VCT（x）.由于

其中A＝p2／［q－qp13－q（1－q）q－1＋p2］，BT＝｛ω1，ω3｜ST｝，由Q的定義可以得到υ＝γ－1· ln ［EQ（）］.

定理2 單時期三叉樹模型的指數(shù)效用無差別定價為υ＝γ－1ln ［）］，其中Q滿足（12）式.

在多時期的三叉樹模型中，假設(shè)有T＋1個交易日.隨機(jī)過程St，t＝0，1，…，T表示被交易的風(fēng)險資產(chǎn)在t時刻的價格，假設(shè)St＞0，ξt＋1＝St＋1／St，其中ξt＋1＝，1，，0＜＜1＜ξ.｛St：t＝0，1，…，T｝是概率空間（Ω，（Ft），P）上的一維隨機(jī)過程，且Ft＝σ（St）.設(shè)Xt表示［t－1，t］的財富過程，X0＝x，αt表示在［t－1，t］時間段進(jìn)行交易的資產(chǎn)份額，則Xt＝Xt－1＋αt（St－St－1）.記

則t時刻的效用無差別價格υt是一個Ft適應(yīng)的隨機(jī)變量，滿足

現(xiàn)在定義一個新的測度Q，滿足t＝0，1，…，T時，

Q（St＝｜Ft－1）＝qtAt，Q（St＝St－1｜Ft－1）＝1－At，Q（St＝｜Ft－1）＝（1－qt）At，（15）其中At＝（1－q］／＋p2t］，qt＝（－＋1）／（），p1t＝P（St＝｜Ft－1），p2t＝P（St＝St－1｜Ft－1），p3t＝P（St＝｜Ft－1）.令Bt＝｛ξt＝或ξt＝｝，＝σ（Bt），下面定義一個新的迭代函數(shù).對于任意Ft適應(yīng)過程Zt，滿足

定理3 假設(shè)測度Q滿足（15）式，如果pq1ttqt－qtp13t－qt（1－qt）qt＝p2t，則在t時刻未定權(quán)益CT的無差別定價為

而且υT還滿足如下迭代關(guān)系：

證明 首先證明當(dāng)t＝T－1時，（17）式成立，剩下的利用數(shù)學(xué)歸納法證明.因為

VCT（XT－1，T－1；T）＝e－γXT－1supαT［－－］，與單階段類似，得VCT（XT－1，T－1；T）＝－e－γXT－1－h(huán)T－1＋，V0（XT－1，T－1；T）＝，其中qT＝［－（1－k2）＋（1＋k1）］／［（1－k2）（）］，hT－1＝－ln［·（1－qT）－1＋qT＋p2T］，λT－1（CT）＝＝γ－1ln［EQ（eγEQ（CT｜FT－1）｜FT－1］.由（14）式可得（17）式成立.

下面證明（18）式.只須證明t＝T－2，s＝T－1時（18）式成立，其余可通過數(shù)學(xué)歸納法證明.由（13）式得（XT－2，T－2；T）＝supEP（｜FT－2），將－γ－1hT－1＋υT－1作αT－1為CT－1，利用（XT－1，T－1；T）的計算方法直接得到（XT－2，T－2；T）＝，其中μ（C）＝γ－1ln［E（）｜F］.又由（14）式T－2TQT－2

可得

由于

故代入（19）式可得T－2時刻的無差別價格為υT－1＝γ－1ln［EQ（eγEQ（υT－1｜FT－2）｜FT－2］.證畢.

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Abstract：It is shown that the indifference pricing is arbitrage－free pricing by the martingale approach.The key problems about the exponential utility function indifference pricing are considered in the incomplete market，and the indifference pricing is expressed as the conditional variation expectation of contingent claim under the specific martingale measure at the terminal date.

Keywords：complete market；incomplete market；the exponential utility function；indifference pricing

（責(zé)任編輯 時 光）

The indifference pricing of the exponential utility function in the discrete time model

LIU Li－min＊，WENG Xuan－tao
（Coll of Math ＆Inf Sci，Henan Norm Univ，Xinxiang 453007，China）

O 211.6；F 830.9

A

1007－824X（2012）02－0020－04

2010－11－11

河南省教育廳軟科學(xué)研究基金資助項目（2009A630026）

＊聯(lián)系人，E－mail：llim2004＠163.com