葉建芳

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310036）

Morita Context 的（I，k）－正則性

葉建芳

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310036）

證明了若環(huán)T是具有一對(duì)零同態(tài)的Morita context環(huán)（A，B，M，N，ψ，φ），則有T／L?A／I⊕B／J，其中L＝（I，J，M，N）是環(huán)T的理想，I，J分別是A，B的理想；同時(shí)證明了一對(duì)具有零同態(tài)的Morita context環(huán)T＝（A，B，M，N）是（L，k＋l）－正則環(huán)，如果其中的環(huán)A和B分別是（I，k）－，（J，l）－正則環(huán)，這里L(fēng)＝（I，J，M，N）是環(huán)T的理想，且任意給定的k，l∈N.

（I，k）－正則性；Morita context環(huán)；上三角矩陣環(huán)；形式上三角；零同態(tài)

Morita context T＝（A，B，M，N，ψ，φ）包含兩個(gè)環(huán)A，B，兩個(gè)雙模ANB，BMA和一對(duì)雙模同態(tài)ψ：N?BM→A，φ：M?AN→B滿足下列條件：

容易驗(yàn)證

按照普通的矩陣加法定義以及下面的乘法定義

本文中，所有的環(huán)均是有單位元的結(jié)合環(huán)，用字母A，B表示，環(huán)R的Jacobson根J（R）記為J，U（R）表示環(huán)R中的單位的集合，通常用字母T表示具有一對(duì)零同態(tài)的Morita context環(huán)（A，B，M，N，ψ，φ）.

值得一提的是，具有一對(duì)零同態(tài)的Morita context環(huán)不一定是形式三角矩陣環(huán)，下面例子1可以說明：

，容易驗(yàn)證在普通的矩陣乘法意義下，N是（A，B）－雙模且M是（B，A）－雙模.令

證明 證明過程詳見［6，引理1］.

回憶：環(huán)R是半正則環(huán)是指R／J是正則環(huán)，且冪等元模J可提升；環(huán)R是半k正則環(huán)是指，對(duì)于任意元素a∈R，存在冪等元e∈Rak使得ak（1－e）∈J（R）成立，其中k是任意固定的正整數(shù)；如果用環(huán)R的理想I代替J（R），且滿足上式，則稱環(huán)R是（I，k）－正則環(huán).

定理1 若環(huán)T是一個(gè)Morita context環(huán)（A，B，M，N，ψ，φ）且ψ＝φ＝0，那么T／L?A／I⊕B／J，其中I，J分別是環(huán)A和環(huán)B的理想，

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［2］Haghany A.Morita contexts and torsion theories［J］.Math Japon，1995，42：137－142.

［3］王堯，任艷麗.具有一對(duì)零同態(tài)的Morita context環(huán)：Ⅰ［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2006，44（3）：318－324.

［4］王堯，任艷麗.具有一對(duì)零態(tài)射的Morita context環(huán)：Ⅱ［J］.數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，2007，27（4）：687－692.

［5］盧燕驊.關(guān)于Morita context環(huán)的若干研究［D］.杭州：浙江大學(xué)，2007.

［6］Chen Huanyin.Stronglyπ－regular Morita contexts［J］.Bull Korean Math Soc，2003，40（1）：91－99.

The（I，k）－Regularity of Morita Context

YE Jian－fang
（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

This paper identified that if ring T is a Morita context（A，B，M，N，ψ，φ）with zero pairings，then T／L?A／I⊕B／J，where L，I，J are the ideals of ring T，A，B respectively.It also proved that Morita context ring T＝（A，B，N，M）with zero parings is（L，k＋l）－regular if ring A and B are（I，k）－，（J，l）－regular respectively，where L＝（I，J，M，N）is an ideal of ring T，and some given k，l∈N.

（I，k）－regularity；Morita context ring；triangular matrix ring；triangular matrix in form；zero pairings

O153.3 MSC2010：16E50；16Y99

A

1674－232X（2012）03－0245－04

10.3969／j.issn.1674－232X.2012.03.011

2011－05－25

葉建芳（1985—），女，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生，主要從事非交換環(huán)理論研究.E－mail：yejianfangjiayou＠163.com