馬 銳，陳予恕

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001）

含裂紋故障多自由度齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

馬 銳，陳予恕

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001）

為探討齒輪系統(tǒng)裂紋故障的非線性動(dòng)力學(xué)機(jī)理，研究含裂紋故障的四自由度齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，考慮時(shí)變嚙合剛度及非線性間隙的影響，建立含裂紋故障的齒輪四自由度嚙合耦合動(dòng)力學(xué)模型，分析裂紋故障對(duì)系統(tǒng)嚙合剛度的影響；采用諧波平衡法給出系統(tǒng)的解析解，分析裂紋故障及齒輪系統(tǒng)參數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響.結(jié)果表明，裂紋故障能夠引起齒輪系統(tǒng)的幅值跳躍、分岔現(xiàn)象和系統(tǒng)共振，從而為齒輪箱的設(shè)計(jì)及裂紋故障的診斷提供依據(jù).

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)；裂紋故障；時(shí)變嚙合剛度；非線性間隙；諧波平衡法

0 引言

對(duì)齒輪箱故障的研究較多，但多數(shù)研究的重點(diǎn)在實(shí)測(cè)信號(hào)的故障識(shí)別與檢測(cè)［3－8］，而對(duì)故障機(jī)理的研究較少.另外，對(duì)齒輪動(dòng)力學(xué)機(jī)理的研究較多，一般在齒輪系統(tǒng)無故障情況下對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、混沌和分岔等機(jī)理［9－11］進(jìn)行研究.文獻(xiàn)［12－13］通過有限元法分析裂紋擴(kuò)展，研究裂紋對(duì)系統(tǒng)模態(tài)的影響等動(dòng)力學(xué)行為.Wu Shiyan等［14］分析齒輪裂紋程度對(duì)嚙合剛度的影響，并通過剛度的變化分析裂紋演化的故障機(jī)理.Fakher C等［15］考慮裂紋對(duì)齒輪嚙合剛度的影響.馬銳等［16］建立含裂紋故障的齒輪副扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，分析齒輪裂紋故障引起的動(dòng)力學(xué)特征.

齒輪裂紋故障主要影響系統(tǒng)的嚙合剛度，因此筆者將只考慮剛度的變化，不考慮傳動(dòng)軸等振動(dòng)的影響，建立含裂紋故障的齒輪—轉(zhuǎn)子—軸承模型，利用諧波平衡法獲得系統(tǒng)的各諧波解，分析裂紋故障演化、傳動(dòng)誤差及非線性間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響.

1 裂紋齒輪系統(tǒng)

1.1 嚙合剛度

當(dāng)輪齒出現(xiàn)裂紋時(shí)，勢(shì)必影響齒輪的嚙合剛度，以齒輪裂紋擴(kuò)展（見圖1）為例，采用文獻(xiàn)［15］的嚙合剛度計(jì)算方法得到裂紋對(duì)輪齒剛度（見圖2）的影響，以裂紋輪齒進(jìn)入嚙合時(shí)為初始.依據(jù)圖1定義裂紋程度h＝pc／（2L）×100%，其中pc為裂紋深度，L為裂紋初始點(diǎn)到中心位置的長度.由圖2可以看出，裂紋故障的存在對(duì)嚙合剛度的影響很大，這里對(duì)裂紋故障僅考慮剛度變化，并為計(jì)算方便，將嚙合剛度kg進(jìn)行傅里葉展開：

圖1 輪齒裂紋的擴(kuò)展路徑

式中：ωe為嚙合頻率，ωe＝z1ω1＝z2ω2，z1，z2為齒數(shù)，ω1，ω2為恒定角速度；al，bl為諧波系數(shù).

圖2 齒輪嚙合剛度隨裂紋的變化

1.2 裂紋齒輪模型

齒輪—轉(zhuǎn)子—軸承模型簡圖見圖3，軸承及軸可以等效為阻尼和剛度，其中線性阻尼系數(shù)為c1及c2，剛度為k1及k2，F(xiàn)1與F2為作用在軸承上的外力.模型考慮靜傳動(dòng)誤差，將靜傳動(dòng)誤差e（τ）假設(shè)為以嚙合頻率為周期的周期函數(shù)：

式中：fm為平均靜傳動(dòng)誤差；f1為靜傳動(dòng)誤差諧波系數(shù).

基于假設(shè)，非線性齒輪—轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)的嚙合耦合動(dòng)力學(xué)模型表示為

其中傳遞誤差定義為

一是鼓勵(lì)并引導(dǎo)礦山企業(yè)做大做強(qiáng)，以成品化、產(chǎn)業(yè)化、基地化為目標(biāo)，大力延伸礦產(chǎn)開發(fā)產(chǎn)業(yè)鏈，重點(diǎn)加強(qiáng)砂石礦產(chǎn)開發(fā)與水泥、混凝土等建筑工業(yè)的深度融合，推動(dòng)石料原礦向建筑構(gòu)件、混凝土等成品化方向延伸發(fā)展。

式中：cg為嚙合阻尼系數(shù)；kg（τ）為輪齒嚙合的時(shí)變剛度；M1，M2為齒輪的扭矩；F1，F(xiàn)2為作用在軸承上的力；m1，m2為齒輪質(zhì)量；I1，I2為齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；r1，r2為齒輪基圓半徑；k1，k2為軸承剛度；c1，c2為軸承阻尼；fg（y）為齒側(cè)間隙非線性描述函數(shù)，可以擬合為fg（y）＝y(tǒng)＋ny3［17］，其中n為非線性間隙系數(shù).

對(duì)方程（3）進(jìn)行化簡得

圖3 彈性支撐齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

通過線性變換將方程（5）進(jìn)行變換：

得到2個(gè)耦合及1個(gè)非耦合方程：

2 動(dòng)力學(xué)分析

由于裂紋動(dòng)力學(xué)方程中的諧波項(xiàng)較多，因此應(yīng)用諧波平衡法分析多自由度裂紋齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為比較簡便.由于高階諧波的能量較一階諧波的小，因此僅考慮一階諧波的情況.由式（7）可以發(fā)現(xiàn)第3個(gè)方程對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的分析無影響，因此只討論前2個(gè)方程的解.

設(shè)式（7）前2個(gè)方程的解是以頻率ω周期變化，展開成傅里葉級(jí)數(shù)：

將式（8）及式（9）代入式（7），令等式左右兩邊各階諧波系數(shù)相等，得到包含已知和未知系數(shù)的6階代數(shù)方程組.通過Newton－Raphson解未知數(shù)u＝［A0，A1，A2，B0，B1，B2］.

圖4 無故障及故障響應(yīng)曲線

討論系統(tǒng)參數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響，不同F(xiàn)0對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響見圖5，即齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)誤差的影響.由圖5可以看出，F(xiàn)0較小時(shí)，xrms1在Ω2處的幅值較Ω1處的小很多，系統(tǒng)非線性不明顯；當(dāng)F0增大時(shí)，Ω2處的幅值增加較快，逐漸超過Ω1處的幅值，并出現(xiàn)明顯的幅值跳躍，Ω1處僅在較大F0的作用下非線性特性明顯.xrms2在Ω2處的幅值始終比Ω1處的大很多.另外，F(xiàn)0也會(huì)引起系統(tǒng)的內(nèi)共振現(xiàn)象.系統(tǒng)的F0較大，即系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差較大，對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生幅值跳躍、內(nèi)共振等現(xiàn)象，因此在加工及安裝齒輪系統(tǒng)時(shí)，要減小傳動(dòng)誤差的影響.

圖5 F0對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)影響

非線性間隙系數(shù)對(duì)齒輪系統(tǒng)的影響見圖6.由圖6可以看出，間隙影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也會(huì)造成幅值跳躍及內(nèi)共振現(xiàn)象，因此對(duì)齒側(cè)間隙要做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，控制非線性的發(fā)生.

圖6 n對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響

3 結(jié)論

（1）考慮裂紋故障對(duì)齒輪系統(tǒng)剛度變化引起的內(nèi)部激勵(lì)的影響，建立含裂紋故障的齒輪—轉(zhuǎn)子—軸承模型，將模型簡化后得到2個(gè)耦合及1個(gè)非耦合的方程，為解析計(jì)算帶來方便.

（2）提出由諧波平衡法獲得齒輪系統(tǒng)的各諧波解，分析裂紋故障的演化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力行為的影響，以及裂紋故障引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定、幅值跳躍及分岔線性，并且隨著裂紋程度的加深，其共振區(qū)的幅值增大明顯，引起系統(tǒng)的內(nèi)共振.

（3）分析傳動(dòng)誤差及非線性間隙對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力行為的影響，發(fā)現(xiàn)非線性間隙及傳動(dòng)誤差引起系統(tǒng)的非線性.對(duì)于部件較多的多自由度系統(tǒng)，設(shè)計(jì)不合理時(shí)將引起系統(tǒng)的內(nèi)共振現(xiàn)象，在工程中應(yīng)盡量避免.

（4）對(duì)齒輪進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，控制加工精度，及時(shí)發(fā)現(xiàn)故障，為齒輪系統(tǒng)裂紋故障的診斷提供依據(jù).

［1］ 陳予恕.機(jī)械故障診斷的非線性動(dòng)力學(xué)原理［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2007，43（1）：25－34.

［2］ 丁康，李巍花，朱小勇.齒輪及齒輪箱故障診斷實(shí)用技術(shù)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

［3］ 趙擊文，馮志華，孔凡讓.基于混沌理論的設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)應(yīng)用研究［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2004，17（1）：78－81.

［4］ 王洪剛，鄭海起，馬吉?jiǎng)?，?變速箱故障聲壓信號(hào)的小波包分解與診斷［J］.振動(dòng)與沖擊，2001，20（2）：61－63.

［5］ 何田，林意洲，郜普剛，等.局部均值分解在齒輪故障診斷中的應(yīng)用研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2011，30（6）：196－201.

［6］ 劉樹林，趙海峰，齊波，等.基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解及自相關(guān)分析的微弱信號(hào)提取方法［J］.大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，31（5）：80－84.

［7］ 叢蕊，高學(xué)良，劉樹林，等.EMD和關(guān)聯(lián)維數(shù)在往復(fù)壓縮機(jī)故障診斷中的應(yīng)用［J］.大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，32（2）：86－89.

［8］ 呂鳳霞，別鋒鋒，曾文，等.基于振動(dòng)可視化的機(jī)械系統(tǒng)級(jí)故障診斷方法［J］.大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，35（4）：77－82.

［9］ Liu Haixia，Wang Sanmin，Guo Jiashun.Solution domain boundary analysis method and its application in parameter spaces of nonlinear gear system［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2011，24（3）：507－513.

［10］ 郜志英，沈允文.間隙非線性齒輪系統(tǒng)周期解結(jié)構(gòu)及其穩(wěn)定性研究［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2004，40（5）：17－22.

［11］ 李潤方，王建軍.齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)——振動(dòng)、沖擊、噪聲［M］.北京：科學(xué)出版社，1997.

［12］ Urala，Heber G.Three－dimensional，parallel，finite elementsimulation of fatigue crack growth in a spiral bevel pinion gear［J］.Engineering Fracture Mechanics，2005（72）：1148－1170.

［13］ Li C J，LEE H.Gear fatigue crack prognosis using embedded model，gear dynamic model and fracture mechanics［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2005（19）：836－846.

［14］ Wu Shiyan，Zuo M J，Anand P.Simulation of spur gear dynamics and estimation of faultgrowth［J］.Journal of sound and vibration，2008，317：608－624.

［15］ Fakher C，Tahar F.Analytical modeling of spur gear tooth crack and influence on gear mesh stiffness［J］.European Journal of Mechanics A／Solids，2009，28：461－468.

［16］ 馬銳，陳予恕.含裂紋故障齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)研究［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011，47（21）：84－90.

［17］ Theodossiades S，Natsiavas S.Non－linear dynamics of gear－pair systems with periodic stiffness and backlash［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，229（2）：287－310.

Dynamic analysis of multi－freedom gear system with cracked failure／2012，36（3）：110－114

MA Rui，CHEN Yu－shu
（School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin，Heilongjiang150001，China）

This study focuses on the dynamic characteristics of the four－freedom gear system with local crack defectto explore the crack nonlinear dynamic mechanism.The dynamic model of the gear system with crack defect，time－variantmesh stiffness and nonlinear clearance are established to investigate the effectof crack defecton mesh stiffness.The dynamic characteristics with the evolvementof crack and other system parameters are studied by employing harmonic balance method，which reveals the amplitude jump，bifurcation phenomenon and internal resonance.The results obtained herein can provide a theoretical basis for the design and crack faultdiagnosis of gearbox.

gear system；cracked failure；time－variantmesh stiffness；nonlinear clearance；harmonic balance method

book=3,ebook=48

TH132.4

A

1000－1891（2012）03－0110－05

2012－03－20；編輯：任志平

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（10632040）

馬 銳（1982－），女，博士研究生，主要從事非線性動(dòng)力學(xué)、機(jī)械設(shè)備故障診斷方面的研究.