王海靜，薛世峰，高存法，仝興華

（1.南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院，江蘇南京 210016； 2.中國石油大學(xué)儲運與建筑工程學(xué)院，山東青島266555； 3.山東大學(xué)威海分校機電與信息工程學(xué)院，山東威海 264209）

非均質(zhì)各向異性油藏水平井流入動態(tài)

王海靜1，薛世峰2，高存法1，仝興華3

（1.南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院，江蘇南京 210016； 2.中國石油大學(xué)儲運與建筑工程學(xué)院，山東青島266555； 3.山東大學(xué)威海分校機電與信息工程學(xué)院，山東威海 264209）

為分析滲透率非均質(zhì)性對水平井流入動態(tài)的影響，根據(jù)質(zhì)量和動量守恒定律，建立全耦合的非均質(zhì)各向異性盒式油藏滲流與水平井筒變質(zhì)量流的耦合模型；通過坐標(biāo)變換建立各向異性油藏水平井非均質(zhì)表皮計算模型，將非均質(zhì)滲透率場轉(zhuǎn)化為等效均質(zhì)滲透率場和沿井筒變化的非均質(zhì)表皮；應(yīng)用源函數(shù)法和勢的疊加原理得到油藏滲流模型的解，給出基于模型離散的順序迭代解耦方法.結(jié)果表明：滲透率非均質(zhì)性對水平井流量剖面和采油指數(shù)影響較大.水平井流量分布規(guī)律與近井滲透率變化規(guī)律基本相同；高滲區(qū)流量大，低滲區(qū)流量??；在等效滲透率相同的情況下，隨著近井非均質(zhì)性的增強，水平井平均采油指數(shù)逐漸降低，平均流量分布不均衡因數(shù)逐漸增大.該研究為非均質(zhì)各向異性油藏水平井產(chǎn)能預(yù)測和完井參數(shù)優(yōu)化提供了依據(jù).

非均質(zhì)性；各向異性；油藏；水平井；耦合模型；滲透率場；源函數(shù)法；勢的疊加原理；采油指數(shù)；不均衡因數(shù)；流量分布；等效滲透率

0 引言

隨著世界范圍內(nèi)油氣資源需求量的不斷增長以及鉆完井技術(shù)的日益完善，水平井成為高效開發(fā)油田的重要手段，在油氣勘探開發(fā)中得到越來越廣泛的應(yīng)用.儲層非均質(zhì)性是影響水平井開發(fā)效果的重要因素，由此引發(fā)的儲量動用不均衡、局部邊底水過早突破是水平井開采過程中遇到的主要問題，越來越受到人們的關(guān)注.結(jié)合非均質(zhì)油藏地質(zhì)條件開展水平井流入動態(tài)研究，對于水平井產(chǎn)能預(yù)測以及完井方案設(shè)計具有重要意義.油藏內(nèi)的流體經(jīng)過水平井筒采出的過程按其流動規(guī)律可以劃分為油藏滲流與井筒變質(zhì)量管流兩部分.

1989年，Dikken B J［1］首次將井筒紊流壓降引入水平井產(chǎn)能計算，分析水平井產(chǎn)能隨長度的變化規(guī)律，指出在水平井油藏模擬和設(shè)計中應(yīng)該考慮井筒壓力損失的影響.隨后，人們在水平井筒管流與油藏滲流的耦合方面開展大量研究.Ouyang L［2］和Penmatcha V R［3］等基于源函數(shù)法，建立非穩(wěn)態(tài)的均質(zhì)盒式油藏水平井筒—油藏流動耦合模型，分析井斜角和產(chǎn)液量等因素對水平井瞬態(tài)流量和壓力剖面的影響.劉想平［4］、蘇玉亮［5］等根據(jù)鏡像反映原理和勢的疊加原理，分別提出均質(zhì)無限大油藏裸眼水平井和射孔水平井的穩(wěn)態(tài)井筒—油藏耦合模型及求解方法，分析井筒壓降對水平井穩(wěn)態(tài)流量剖面的影響.李松泉等［6］應(yīng)用Green函數(shù)，建立非穩(wěn)態(tài)的均質(zhì)盒式氣藏水平井筒—油藏流動耦合模型，分析不同階段井筒壓降對水平井流量剖面的影響.目前關(guān)于水平井流入動態(tài)的研究大多針對均質(zhì)油藏，而對非均質(zhì)油藏的研究鮮有報道.在建立非均質(zhì)油藏—井筒耦合模型的基礎(chǔ)上，筆者分析滲透率非均質(zhì)性對水平井流入動態(tài)的影響，首先建立適用于非均質(zhì)各向異性盒式油藏單相微可壓縮流體不穩(wěn)定流的油藏—井筒全耦合微分模型；然后提出滲透率非均質(zhì)性定量評價方法，將非均質(zhì)滲透率場轉(zhuǎn)化為等效均質(zhì)滲透率場和沿井筒變化的非均質(zhì)表皮；采用源函數(shù)法求解油藏滲流方程，給出耦合模型的離散形式和解耦方法；通過算例驗證文中模型及方法的準(zhǔn)確性，分析滲透率非均質(zhì)性對水平井壓力／流量剖面以及產(chǎn)能的影響.

1 油藏—井筒耦合模型

盒式油藏中有1口水平井（見圖1），井筒與油藏邊界平行，長度為L，半徑為rw.假設(shè)儲層孔隙度φ為常數(shù)，滲透率各向異性.流體單相微可壓，作等溫不穩(wěn)定流動.以井筒趾端O為原點，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，使Ox軸與井筒軸線重合，Oy，Oz平行于油藏邊界.

1.1 油藏滲流方程

根據(jù)質(zhì)量守恒定律和Darcy滲流定律，建立油藏滲流控制方程：

圖1 盒式油藏水平井系統(tǒng)

式中：p為流體壓力；kx，ky，kz分別為x，y，z方向的滲透率；φ為孔隙度，無因次；μ為流體黏度；ct為綜合壓縮系數(shù)；t為時間.

1.2 井筒變質(zhì)量流方程

定義“比流量”q為單位長度井筒的徑向流入量，單位為m3／（s·m），則水平井筒變質(zhì)量流的質(zhì)量守恒方程和動量守恒方程為

式中：ρ為流體密度；v為井筒截面平均流速；A為井筒橫截面積；α為動量修正因數(shù)［7］；f為考慮井壁入流影響的摩擦因數(shù)［8］；d為井筒內(nèi)徑.

1.3 初邊值條件

假設(shè)整個系統(tǒng)初始壓力均勻分布，即

式中：p0為油藏初始壓力.

油藏外邊界為定壓或封閉，即

井筒趾端邊界封閉，即

井筒跟端邊界定壓或流量.當(dāng)水平井以定壓力生產(chǎn)時，有

式中：L為井筒長度；pwf為井筒跟端壓力.

當(dāng)水平井以定產(chǎn)量生產(chǎn)時，有

式中：B為體積因數(shù)；Q為油井產(chǎn)量.

1.4 耦合模型

方程（1－3）構(gòu)成非均質(zhì)各向異性油藏中水平井的油藏—井筒耦合模型，含有3個未知量：壓力p，比流量q和井筒截面平均流速v.水平井油藏—井筒耦合問題就是求方程（1－3）滿足初邊值條件（4－8）的解.

定解問題（1－8）由于具有較強的非線性，很難采用解析法求解，尤其在非均質(zhì)油藏中.根據(jù)實際情況對模型進(jìn)行適當(dāng)簡化處理后，可以采用半解析方法求解.

2 非均質(zhì)性定量評價

儲層滲透率屬區(qū)域化變量，其分布具有結(jié)構(gòu)性和隨機性雙重特點.Durlofsky L J研究指出，滲透率非均質(zhì)性對油井產(chǎn)能的影響可以分解為全局影響和近井影響［9］.其中，全局影響體現(xiàn)為一個大尺度的全局等效均質(zhì)滲透率K＝｛kx，ky，kz｝，近井影響體現(xiàn)為一個以井筒為軸心、半軸長為各方向滲透率相關(guān)長度一半的橢圓形影響區(qū)（見圖2），并給出近井非均質(zhì)表皮計算模型.然而，在推導(dǎo)非均質(zhì)表皮時，Durlofsky L J直接應(yīng)用Hawkins的各向同性油藏中表皮的計算方法，忽略滲透率各向異性對近井流動形態(tài)和壓降的影響，嚴(yán)重影響該模型在各向異性油藏的精度.

為建立各向異性條件下的非均質(zhì)表皮計算模型，假設(shè)近井非均質(zhì)影響橢圓與等壓線重合，并作坐標(biāo)變換將各向異性影響區(qū)轉(zhuǎn)化為等效各向同性影響區(qū)：

圖2 近井非均質(zhì)影響區(qū)示意

取等效各向同性平面內(nèi)橢圓形井筒的等效半徑為兩半軸長的平均值，根據(jù)Hawkins方法，建立各向異性油藏非均質(zhì)表皮計算模型：

式中：Kh，y為近井非均質(zhì)影響區(qū)y方向的等效滲透率；rh，y為非均質(zhì)影響橢圓的y半軸；rw為井筒半徑.

3 耦合模型解法

3.1 模型簡化

式中：上標(biāo)“′”為坐標(biāo)變換后參數(shù).

基于勢的疊加原理，得到用源函數(shù)表示的定解問題（1）、（4－5）的井筒壓力解：

式中：G（M′wf，M′w，t－τ）為等效各向同性油藏中井筒軸線上一點M′w在井壁M′wf處的瞬時源函數(shù)［11］，隨著油藏邊界條件的不同而不同；St為由儲層非均質(zhì)性、污染、完井引起的總表皮系數(shù)，St＝Sh＋Sd＋Sc，無因次.其中，污染表皮系數(shù)Sd和完井表皮系數(shù)Sc的計算見文獻(xiàn)［14－16］.

當(dāng)井筒流量分布達(dá)到穩(wěn)定時，式（12）寫成

此時，井筒內(nèi)流動為穩(wěn)定流，可以忽略質(zhì)量守恒方程（2）和動量守恒方程（3）中的時間導(dǎo)數(shù)項，偏微分方程簡化為常微分方程.若同時假設(shè)流體不可壓縮，則式（2）和式（3）簡化為

3.2 模型離散

簡化后的油藏—井筒耦合模型（13－15）形式更簡潔，各未知量之間的關(guān)系更清楚.由于模型方程具有非線性特征，仍然無法直接求解.因此，采用離散方法，將對連續(xù)變量的求解轉(zhuǎn)化為對有限個離散變量的求解.將井筒離散為n個微元Li（i＝1，2，…，n），從趾端開始依次編號（見圖1）.將各井筒微元看作是流量均勻的線匯，取井壁中點Mwf，i（i＝1，2，…，n）作為其壓力計算點.根據(jù)式（13），建立各井筒微元的壓力計算公式：

式中：pw，i為第i個井筒微元的壓力；qj為第j個井筒微元的比流量；ΔLj為第j個井筒微元的長度；G（M′wf，i，L′j，t－τ）為等效各向同性油藏中井筒微元線匯L′j在第i個微元井壁中點M′wf，i處的瞬時源函數(shù)［11］，隨油藏邊界條件的不同而不同；St，i為第i個井筒微元的總表皮.

同樣，根據(jù)式（6）、式（14－15），得到井筒變質(zhì)量流的離散方程：

式中：vi為第i個井筒微元中點處的截面平均流速；vi，i＋1為第i和i＋1個井筒微元交點處的截面平均流速.

內(nèi)邊界條件式（7－8）的離散形式：

控制方程（16－18）與邊界條件式（20）或式（21）構(gòu)成離散形式的油藏—井筒耦合模型.

3.3 解耦方法

油藏—井筒耦合模型（16－18）與式（20）或式（21），共3n個方程，3n個未知量，分別是各井筒微元的壓力pi、比流量qi和截面速度vi（i＝1，2，…，n），方程組有唯一解.鑒于模型的弱耦合特點，采用順序迭代法求解.

（1）在定壓生產(chǎn)條件下，給壓力賦初值pwf，根據(jù)式（16－18）和式（20）循環(huán)計算比流量、截面速度和壓力，直到滿足計算精度為止；

（2）在定產(chǎn)量生產(chǎn)條件下，給比流量賦初值BQ／L，根據(jù)式（16－18）和式（21）循環(huán)計算速度、壓差、比流量，直到滿足計算精度為止.

4 算例分析

4組對數(shù)正態(tài)分布，平均值為1μm2，變異因數(shù)Cv分別為0，0.2，0.4和0.6的近井水平滲透率見表1.

定義近井滲透率非均質(zhì)性定量評價指標(biāo)“變異因數(shù)”Cv為標(biāo)準(zhǔn)差與平均值之比，即

表1 近井水平滲透率分布

采用文中模型和方法，計算100d時水平井筒的壓力及流量分布，流量剖面已經(jīng)穩(wěn)定.井筒壓力分布見圖3.受管壁摩擦和徑向入流影響，井筒內(nèi)存在壓力損失，趾端壓力高，跟端壓力低.由于油井定產(chǎn)量生產(chǎn)，4種滲透率情況下的跟、趾端壓差基本相同，約為0.02MPa.4種情況下的井筒壓力有所不同.第3組滲透率時井筒壓力最高，第2組時井筒壓力最低，其他組的井筒壓力介于二者之間.井筒壓力與變異因數(shù)之間無明顯對應(yīng)關(guān)系.

井筒流量剖面見圖4.均質(zhì)情況下（第1組滲透率），井筒兩端流量較高，中間流量較低，流量剖面呈現(xiàn)較明顯的端部效應(yīng).由于井筒壓力損失與生產(chǎn)壓差相比較小，跟、趾端流量差異較小，流量剖面的均衡性較好.非均質(zhì)情況下（第2、3、4組滲透率），水平井流量剖面出現(xiàn)明顯波動，均衡性較差.高滲區(qū)流量大，低滲區(qū)流量小，流量分布規(guī)律與滲透率基本相同.滲透率變化幅度越大，則流量剖面波動越明顯.對文中模型計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果進(jìn)行比較（見圖4），2種方法得到的流量剖面變化規(guī)律基本一致.與有限元計算結(jié)果相比，文中模型計算結(jié)果略有不同，但最大誤差不超過8%，可以滿足油藏工程設(shè)計的需要.

圖3 井筒壓力剖面

圖4 井筒流量剖面

為定量評價近井非均質(zhì)性對油井產(chǎn)能和井筒流量剖面均衡性的影響，定義采油指數(shù)PI和不均衡因數(shù)Cu：

近井非均質(zhì)性對產(chǎn)能的影響見圖5，其中每個點代表同一變異因數(shù)下100組滲透率實現(xiàn)的采油指數(shù)平均值，誤差線代表標(biāo)準(zhǔn)誤.由圖5可以看出，隨著變異因數(shù)的增大，平均采油指數(shù)逐漸降低.當(dāng)變異因數(shù)從0增加到2.0時，采油指數(shù)大約降低9%.此外，隨著變異因數(shù)的增大，采油指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤逐漸增大，即產(chǎn)能的離散程度逐漸增強.

近井非均質(zhì)性對流量剖面均衡性的影響見圖6，其中每個點代表同一變異因數(shù)下100組滲透率實現(xiàn)的不均衡因數(shù)平均值，誤差線代表標(biāo)準(zhǔn)誤.由圖6可以看出，當(dāng)變異因數(shù)為0時，即均質(zhì)情況下，不均衡因數(shù)為0.012，僅由井筒壓力損失引起，流量剖面的均衡性較好.隨著變異因數(shù)的增大，標(biāo)準(zhǔn)誤和平均流量不均衡因數(shù)逐漸增大，即隨著非均質(zhì)性的增強，平均流量不均衡性逐漸增強.

圖5 非均質(zhì)性對產(chǎn)能的影響

圖6 非均質(zhì)性對流量剖面均衡性的影響

5 結(jié)論

（1）建立非均質(zhì)油藏滲流與井筒變質(zhì)量流的耦合模型，提出基于非均質(zhì)表皮和源函數(shù)的解耦方法.該模型考慮儲層非均質(zhì)性、滲透率各向異性、井筒壓力損失、近井地層損害和完井工藝對產(chǎn)能的影響，適用于非均質(zhì)各向異性盒式油藏水平井的產(chǎn)能評價與動態(tài)預(yù)測.

（2）滲透率非均質(zhì)性對水平井流量剖面和采油指數(shù)影響較大.水平井流量分布規(guī)律與近井滲透率變化規(guī)律基本相同.高滲區(qū)流量大，低滲區(qū)流量小.在等效滲透率相同的情況下，隨著近井非均質(zhì)性的增強，水平井平均采油指數(shù)逐漸降低，平均流量分布不均衡因數(shù)逐漸增大.

（3）文中提出的非均質(zhì)性定量評價方法為非均質(zhì)各向異性油藏水平井產(chǎn)能預(yù)測提供了一個簡單、快捷的途徑；與數(shù)值模擬方法相比，該簡化方法能夠滿足一般油藏工程設(shè)計的精度要求，但有待進(jìn)一步改進(jìn).

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Inflow performance for horizontal wells in heterogeneous，anisotropic reservoirs／2012，36（3）：79－85

WANG Hai－jing1，XUE Shi－feng2，GAO Cun－fa1，TONG Xing－h(huán)ua3
（1.College of Aerospace Engineering，Nanjing University of Aeronautics ＆Astronautics，Nanjing，Jiangsu210016，China；2.College of Pipeline ＆Civil Engineering，China University of Petroleum，Qingdao，Shandong266555，China；3.College of Mechanical，Electrical ＆Information Engineering，Shandong University atWeihai，Weihai，Shandong264209，China）

The process of oil recovery with horizontal wells is a coupling process of reservoir flow and wellbore variable－mass flow.The influence of reservoir heterogeneity cannotbe ignored.A fully coupled reservoir／wellbore model for horizontal wells in heterogeneous，anisotropic reservoirs is developed.The heterogeneous permeability field is represented by a homogenous permeability field of equivalentpermeability with a heterogeneity skin varying along the well.On this basis，the solution for the reservoir flow model is obtained by source function method and superposition principles.The solution methodology based on model discretization is presented.The inflow performance of horizontal wells in heterogeneous reservoirs is studied.Permeability heterogeneity has a greatimpacton flux profile and productivity of horizontal wells.The flux distribution along the well is basically the same as the near－permeability distribution.The flux in high permeability zone is bigger than thatin low－permeability zone.Equivalentpermeability being the same，with the increase of near－well heterogeneity，the average productivity of horizontal wells decreases，while the average unbalance of flux distribution increases.This study provides a theoretical basis for the productivity prediction and completion optimization of horizontal wells in heterogeneous，anisotropic reservoirs.

heterogeneity；anisotropy；reservoir；horizontal well；coupling model；permeability；source function method；superposition principle；productivity index；unbalance factor；flux distribution；equivalentpermeability

book=3,ebook=40

TE355

A

1000－1891（2012）03－0079－07

2012－01－17；編輯：任志平

國家科技重大專項（2008ZX05031－02－03）

王海靜（1983－），女，博士研究生，主要從事油氣田地下工程力學(xué)方面的研究.