琚宏昌，陳玲玲，張 璇

(廣西工學(xué)院鹿山學(xué)院土木工程系，廣西柳州545616)

0 引言

可以采用多種不同的方法對復(fù)合材料體彈性常數(shù)進(jìn)行預(yù)測.國內(nèi)外學(xué)者提出了多種基于平均意義上的細(xì)觀力學(xué)方法來預(yù)測復(fù)合材料有效性能，較為成熟的方法有：Eshelby等效夾雜理論、稀疏分布模型、Mori-Tanaka方法、自洽方法、微分法、廣義自洽法等，這些方法可以大致分為兩類，即混合方法［1］和微觀力學(xué)方法［2－8］.

筆者基于細(xì)微觀力學(xué)的觀點(diǎn)及Eshelby等效夾雜理論，提出了一種復(fù)合材料總體有效彈性常數(shù)進(jìn)行估計(jì)的綜合方法，以有效彈性常數(shù)Voigt估計(jì)和Reuss估計(jì)分別作為均勻化對比材料，可以得到比Hashin-Shtrikman上下限更緊的新上下限.

1 有效彈性常數(shù)估計(jì)的綜合方法

1.1 有效彈性常數(shù)估計(jì)的經(jīng)典方法

設(shè)一含有n個夾雜的復(fù)合材料體，n個夾雜的彈性剛度張量分別為 L1，L2，…，Ln，基體的彈性剛度張量為L0，n個夾雜所占的體積分?jǐn)?shù)分別為 c1，c2，…，cn，基體的體積分?jǐn)?shù)為 c0.顆粒復(fù)合材料體積分?jǐn)?shù)存在下列關(guān)系：

Voigt估計(jì)采用并聯(lián)模型.假定在載荷作用下，各組成部分(n個夾雜及基體)的變形相同，都等于復(fù)合體的平均應(yīng)變，即 εr=，(r=1，2，…，n)，復(fù)合材料體的平均應(yīng)力為

各組成部分的彈性本構(gòu)關(guān)系為

將方程(3)代入方程(2)，得到

式中：L為復(fù)合材料體的平均彈性剛度張量，其表達(dá)式為

上式表示復(fù)合材料體的平均彈性剛度張量是其各組成部分彈性剛度張量按體積的加權(quán)平均.

Reuss估計(jì)采用串聯(lián)模型.假定在載荷作用下，各組成部分(n個夾雜及基體)的應(yīng)力相同，都等于復(fù)合體的平均應(yīng)力，即σr=，(r=1，2，…，n)，顆粒復(fù)合材料體的平均應(yīng)變?yōu)?/p>

各組成部分的彈性本構(gòu)關(guān)系為

將式(7)代入式(6)，得到

上式表示復(fù)合材料體的平均彈性柔度張量是其各組成部分彈性柔度按體積的加權(quán)平均.

最近三十多年，提出了大量的微結(jié)構(gòu)模型來預(yù)測材料的總體彈性常數(shù)，而這些不均勻多相異質(zhì)材料依賴于材料的微結(jié)構(gòu).所有這些模型均基于Eshelby等效夾雜(EEI)方法.這些方法包括由Wakashima and Tsukamoto［5］基于修正的 EEI方法并結(jié)合 Mori-Tanaka方法［6］的估計(jì)，由Ravichandran［7］提出的單位胞元近似數(shù)值方法及Voronoi胞有限元方法(VCFEM)［8］等等.

1.2 有效彈性常數(shù)估計(jì)的綜合方法

與其它有效彈性常數(shù)估計(jì)方法不同，L可以通過以下的方法—綜合法來求解.文獻(xiàn)［1］存在下列關(guān)系：

基于 Eshelby 等效夾雜理論［9］，和亦可用均勻?qū)Ρ炔牧?HCM)的形式表示出來，這種對比材料具有與多相材料相同的微幾何特點(diǎn)，但其材料彈性常數(shù)為Lc，即在HCM中，具有

式(11)可以更進(jìn)一步表示為

εr'是指r相中相應(yīng)于的擾動應(yīng)變，修正的特征應(yīng)變?yōu)?/p>

通過Eshelby張量Sr，兩個量遵從下列關(guān)系：

因此，方程(12)可以重新表示為

其中，

為約束剛度張量.

進(jìn)一步，式(16)可以重新表示為

由此得到：

2 界限分析

應(yīng)用MTE(Mori-Tanaka estimate)方法，可分別導(dǎo)出n+1相復(fù)合材料體的總體體積模量和剪切模量為

2.1 Voigt限(VB)和 Reuss限(RB)

在文獻(xiàn)［10］的方程(3.51)～ (3.54)中令K*=0，可以得到估計(jì)值的下限RB：

相比之下，令K*→∞，注意到得到估計(jì)值的最高上限VB：

關(guān)于剪切模量G的上下限公式類似于體積模量K上下限公式.

2.2 Hashin-Shtrikman上下限(HSBs)

文獻(xiàn)［10］給出了多種不同均質(zhì)各向同性彈性材料相HSB的原始形式.如果第0相有著最小的彈性模量，第n相有著最大的彈性模量，體積模量下限和上限表示式為

式(25)和(26)是當(dāng)HCM分別取復(fù)合材料體中最軟和最硬相材料時體積模量的特殊情況.很明顯，Hashin and Shtrikman［10］分別將復(fù)合材料體的最軟和最硬相材料當(dāng)作HCM，因此，HSB提供了比VB，RB更加緊密的上下限.

剪切模量HSB上下限與體積模量HSB上下限類同.

2.3 新上下限

由前面分析得知RE和VE分別是比較粗糙的上下限.不過，與空洞(RB中)和剛性夾雜(VB中)，或最軟相(HSB下界)和最硬相(HSB上界)相比，RE和VE仍然是很好的近似估計(jì).據(jù)此，分別將RE和VE作為HCM，可以得到新的上下界，即

其中GR和GV分別是由Reuss估計(jì)和Voigt估計(jì)得到的剪切模量.

方程(27)和(28)是新的上下限，事實(shí)上，它們也是兩種估計(jì).由于RE和VE(VE不小于RE)總是大于最軟的成分，而小于最硬的成分，根據(jù)方程(21)和(22)，新上下限總是比HSB上下限更加緊密.

剪切模量的上下限與體積模量上下限類同.

3 實(shí)例驗(yàn)證

文獻(xiàn)［11］采用平均直徑大約為850 μm的砂子制成的飽和砂漿混凝土試件，進(jìn)行了各種砂子顆粒體積分?jǐn)?shù)含量的試驗(yàn).為了便于比較，本實(shí)例采用該文獻(xiàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).水泥漿基體彈性常數(shù)為：K0=22.51 GPa，G0=11.80 GPa;砂粒骨料彈性常數(shù)為：K1=44.0 GPa;G1=37.0 GPa.為了比較HSB上下限和新上下限，將上述彈性常數(shù)值代入方程(25)、(26)、(27)、(28)，得到總體體積模量和總體剪切模量分別隨砂粒骨料體積分?jǐn)?shù)變化的曲線，如圖1、圖2所示.由圖可見，新上下限位于HSB上下限的范圍內(nèi)，說明新上下限是比HSB上下限更緊的界限.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)落在HSB的范圍內(nèi)，但不完全位于新上下限范圍內(nèi)，這可能由試驗(yàn)條件及混凝土試驗(yàn)的離散特性造成的.

圖1 體積模量估計(jì)值的比較Fig.1 Comparison of estimated bulk modulus

圖2 剪切模量估計(jì)值的比較Fig.2 Comparison of estimated shear modulus

4 結(jié)論

基于細(xì)微觀力學(xué)的觀點(diǎn)及Eshelby等效夾雜理論，提出了一種復(fù)合材料彈性常數(shù)的綜合估計(jì)方法.以有效彈性常數(shù)常規(guī)估計(jì)—Voigt估計(jì)、Reuss估計(jì)值分別作為均勻化對比材料，得到了比Hashin-Shtrikman上下限更緊的新上下限.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證明，筆者提出的理論和采用的方法是正確的.

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