范文兵，邢軍陽，李海濤，代琳娜

(鄭州大學信息工程學院，河南鄭州450001)

0 引言

盲源分離是指在源信號的系統(tǒng)和外部環(huán)境無法精確獲知的情況下，將各個源信號從混迭信號(觀測信號)中分離出的過程.獨立分量分析［1］(Independent Component Analysis，ICA)作為盲源分離的一個重要研究方向，是信號處理技術(shù)領(lǐng)域近年來發(fā)展起來的一種新技術(shù).獨立分量分析的算法可以表示為：ICA算法=目標函數(shù)的選取+優(yōu)化算法.對于目標函數(shù)的選取，包括高階累積量、負熵、互信息及熵等;常用的優(yōu)化算法主要有：梯度下降法，固定點算法等，但是這些算法有一個很大的缺陷就是全局收斂性能不理想，易陷入局部最優(yōu).為了克服ICA中常用算法的不足，筆者選負熵做為ICA的目標函數(shù)，并用量子行為粒子群算法［2］(QPSO)對負熵進行優(yōu)化.該方法簡單高效，與傳統(tǒng)方法復雜、收斂速度慢的不足相比，有很大的優(yōu)勢.

1 問題描述

ICA是盲源分離最常用的一種，其算法可以這樣描述［3?：

設(shè)有N個未知的源信號構(gòu)成了一個列向量S(t)=［S1(t)，S2(t)，…Sn(t)］T，其中 t=1，2，…，n;i=1，2，…n.經(jīng)過 m ×n維的混合矩陣 A后，產(chǎn)生了 m 個觀測信號 Xi(t)，i=1，2，…m，構(gòu)成了列向量 X(t)=［X1(t)，X2(t)，…Xm(t)］T，信號傳輸過程中有M個白色、高斯、統(tǒng)計獨立的噪聲信號 Ni(t)，i=1，2，…，M，構(gòu)成的列向量N(t)=［N1(t)，N2(t)，…，NM(t)］T，要求在已知觀測信號Xi(t)而未知A的情況下，設(shè)置一個N×N維的反混合陣W=(wij)，求輸入信號S(t)的近似解.它的數(shù)學模型可以表示為

從上述描述我們可以看出，ICA具有兩個基本特征：

(1)源信號S(t)是未知的;

(2)在統(tǒng)計意義上講，這里進行的分離是相互獨立的.

ICA就是要找到一個解混矩陣W，使得觀測信號X(t)通過該系統(tǒng)后，能夠得到未知源信號S(t)的近似解Y(t)，這個過程可以表示為

其中，Y(t)= [Y1(t)，Y2(t)，…，YN(t)].

而這些都是建立在以下假設(shè)的基礎(chǔ)上的：

(1)各信號Si(t)均為0均值、實隨機變量，各信號之間統(tǒng)計獨立;

(2)源信號數(shù)M與觀測信號數(shù)N相同;

(3)各個Si(t)的概率分布函數(shù)中最多允許有一個具有高斯分布;

(4)各觀察器引入的噪聲很小，忽略不計;

(5)關(guān)于各源信號的概率分布函數(shù)略有一些先驗知識.

根據(jù)信息論的知識，一組隨機變量y的微分熵為

其中，P(y)為隨機變量y的概率密度函數(shù).而其負熵［4］可以表示為

式中的yg與y具有相同的方差，且yg是服從高斯分布的隨機變量.對于兩個方差相同的信號，高斯分布的信息熵最大，信號的非高斯性越強，負熵也就越大.當負熵最大時，就可以認為已經(jīng)實現(xiàn)了盲源分離.這也就是基于負熵的獨立性判決準則的ICA算法.

但是式(3)中負熵的計算涉及到隨機變量概率密度的估計，它只是理論上的最優(yōu)目標函數(shù)，在實際應(yīng)用中受到制約.基于此，常使用高階累積量作為負熵的近似計算公式［5］：

式中：ki(y)表示隨即變量y的第i階累積量.而在實際運算中常使用的近似負熵［6］公式為：

式中：c是大于零的常數(shù)，v是具有單位方差的零均值高斯變量，G(·)是一個非二次函數(shù)，根據(jù)不同的高斯性，可以取不同的值［7］.

式中：1≤a1≤2;a2≈1.

2 ICA中的QPSO

首先我們先簡單介紹一下PSO算法［8］，該算法是近年來發(fā)展起來的一種新的群體智能優(yōu)化算法，它將群體中的每個個體看作問題搜索空間中的一個粒子，代表問題的一個解，每個粒子都有位置和速度兩個向量來描述，根據(jù)自身的以往經(jīng)驗和整個群體的經(jīng)驗不斷調(diào)整位置和速度，直至找到全局最優(yōu)解.在此過程中，隨著速度的不斷減小而逐漸收斂到全局最優(yōu)點(P點)，從動力學角度看，在這一點實際上存在某種形式的吸引勢能場一直吸引著粒子，從而保證了粒子的聚集.但PSO的最大缺點是不能以概率1收斂到全局最優(yōu)解［9］.2004 年，Sun等根據(jù)前人的研究成果，將量子力學與傳統(tǒng)的粒子群算法結(jié)合在一起，提出了一種基于δ勢阱的、具有量子行為的粒子群算法(QPSO)，它認為粒子具有量子行為，因此可以在整個可行解空間中進行搜索.相對于標準PSO算法，它的收斂性能和全局搜索性更好，并且它只通過波函數(shù)ψ(X，t)來描述粒子狀態(tài)，比標準PSO的參數(shù)更少.理論上已經(jīng)證明了QPSO是一種全局收斂算法，實驗結(jié)果也表明了它在幾個基準函數(shù)的收斂性能要優(yōu)于標準的PSO算法.

設(shè)在D維搜索空間中，有M個粒子，每個粒子都可以看作是沒有重量和體積的微粒，它在搜索空間中以一定的速度飛行，而速度隨著個體和群體的飛行經(jīng)驗不斷調(diào)整，每個粒子代表著搜索空間的一個位置，通過下列公式進化：

式中：mbest指的是中值的最優(yōu)位置;M表示群體中粒子的個數(shù);pi是粒子i的最優(yōu)位置;pg是整個群體的最優(yōu)位置;p是pi與pg之間的隨機點;α1，α2，u都是0～1之間的隨機數(shù);x(t)是t次迭代后粒子的位置信息;β的作用是控制粒子的收斂速度，稱之為收縮擴張因子.一般情況下，在t次迭代時，β的取值［10］用下式表示：

QPSO算法的基本流程如下圖所示.

圖1 QPSO算法基本流程圖Fig.1 Basic flowchart of QPSO algorithm

3 基于QPSO的ICA算法步驟

基于量子行為粒子群算法的獨立分量分析算法主要有以下步驟.

(1)適應(yīng)度函數(shù)的選取.對目標函數(shù)的選取，包括非高斯性極大化、互信息最小化以及最大似然估計等，在這里用非高斯性最大化方法，將負熵作為目標函數(shù);

(2)數(shù)據(jù)的預(yù)處理.將混合后的觀測信號X(t)進行中心化、預(yù)白化等初步的預(yù)處理，前者能夠降低獨立分量分析算法的復雜度，后者可以去除各觀測信號之間的相關(guān)性;

(3)初始化粒子種群.設(shè)定搜索維度及群體中個體的個數(shù)，并隨機產(chǎn)生每個粒子的初始位置向量;

While(迭代次數(shù)＜設(shè)定的迭代次數(shù))，do.

(4)由粒子位置分離信號，并對分離后的信號進行中心化和預(yù)白化處理，根據(jù)式(6)計算每個粒子的適應(yīng)度值;

(5)根據(jù)每個粒子的適應(yīng)度值來更新個體的最優(yōu)位置pi以及相應(yīng)的向量;

(6)然后根據(jù)每個個體的最優(yōu)位置來尋找并更新全局最優(yōu)值及其它位置向量;

(7)根據(jù)式(9)、(10)、(11)計算 mbest、p 以及位置向量x;

(8)進入循環(huán)，判斷是否滿足終止條件，如果不滿足，跳轉(zhuǎn)至步驟(3)，否則跳轉(zhuǎn)至步驟(9);(9)確定分離矩陣并輸出分離信號.End.

4 仿真分析

4.1 圖像分離仿真實驗

選取3個圖像信號和一個隨機噪聲信號如圖2所示，4個獨立信號以線性方式混合，混合圖像如圖3所示，對信號依次采用 FASTICA、PSOICA以及筆者提出的方法進行分離，仿真結(jié)果如圖4～6所示，可以看到3種方法分離之后的圖像順序發(fā)生了變化，這是因為盲分離問題的不確定性，但是信號實現(xiàn)了有效的分離.

4.2 性能評價

由圖像分離的效果可以清晰的看到不同算法的分離效果，同時也可以用一些定量指標來進一步衡量不同算法之間的性能.采用分離信號的信噪比，對于圖像信號而言就是使用峰值信噪比PSNR作為衡量指標［11］，它的表達式如下所示：

峰值信噪比的大小隨著算法性能變化，性能越好，峰值信噪比越大，說明信號的信號比提高的越大、解卷積的效果就越好.

另一種方法是使用PI指數(shù)［12］來作為評判分離效果的指標，它的表達式如下：

式中：gij表示矩陣 G 的(i，j)元素.它的值總是大于等于零，當它的值等于零的時候，G的每行每列有且僅有一個非零元素，因此，用此指標度量的時候，值越小說明分離效果越好.

下表是對3種不同算法的對比，表1表示4幅圖像在不同算法下的峰值信噪比，表2表示3種算法下相應(yīng)PI值.

表1 不同算法的信噪比Tab.1 SNR of different algorithms dB

由圖像分離的仿真效果以及表1和表2中的兩個指標的比較，可以看出筆者提出的算法在算法的收斂精度和速度上都有所提高.

表2 不同算法的相應(yīng)PI值Tab.2 PI values of different algorithms

5 結(jié)論

筆者針對獨立分量分析傳統(tǒng)優(yōu)化算法的不足，將量子粒子群優(yōu)化算法引入到盲源分離中，給出一種基于量子粒子群的獨立分量分析算法，解決了常規(guī)算法容易陷入局部最優(yōu)的問題，通過仿真實例成功分離出源信號.結(jié)果表明了該算法切實有效，與傳統(tǒng)算法以及其他改進算法對比，其性能和穩(wěn)定性都有了提高.下一步的研究方向是改進量子粒子群算法并應(yīng)用于獨立分量分析中，期望能夠得到更理想的效果.

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