劉佩貴，陶月贊

合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009

均衡法評價地下水可開采量的風(fēng)險率

劉佩貴，陶月贊

合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009

有限數(shù)據(jù)樣本量所關(guān)聯(lián)的不確定性因素，對水資源評價結(jié)果的可靠度有著顯著影響。在地下水源地勘查與運行過程中，地下水位變幅是一個具明顯緩變性質(zhì)的隨機變量。以山東省濟寧市承壓水源地為例，利用水均衡法評價方法，基于模糊－隨機模型，定量研究緩變隨機變量在先驗分布與后驗分布條件下對評價結(jié)果的風(fēng)險影響。結(jié)果表明：受不確定性因素時變特性的影響，水源地按勘查成果形成的計劃開采量運行，將導(dǎo)致水源地形成過量開采的風(fēng)險率由13.67%增加至15.75%；考慮不確定性因素時變特性影響，隨機變量的不確定性區(qū)間由5.64減小到3.60；利用后驗信息及時調(diào)整開采計劃，可保障水源地的供水安全。

時變不確定性；貝葉斯理論；風(fēng)險率；地下水；開采量；水均衡法

0 引言

地下水資源開發(fā)利用過程中存在眾多的不確定性因素，依據(jù)不確定性因素的成因，可分為客觀不確定性因素（主要表現(xiàn)在時間和空間上的不均一性）與主觀不確定性因素（主要體現(xiàn)在水文地質(zhì)參數(shù)的確定、水文地質(zhì)概念模型的概化兩方面）［1－3］。對上述不確定性因素，有關(guān)專家學(xué)者給予了高度重視并進(jìn)行了深入研究［4－7］；現(xiàn)有研究文獻(xiàn)對這些不確定性因素，基本都認(rèn)為其不隨水源地運行而變化。水源地運行，在對勘查與評價成果進(jìn)行檢驗的同時，對勘查所未控制或評價所未認(rèn)識的水文地質(zhì)條件也將逐漸暴露；另外，勘查與評價中已明確的水文地質(zhì)條件，也可能隨水源地運行而產(chǎn)生一定變化。上述2種不確定性因素，將對勘查與評價所確定的開采計劃形成影響，甚至危及到水源地的運行安全；一般而言，這2種不確定性因素，隨水源地運行而被逐漸認(rèn)識或確定，該過程具有明顯的緩慢時變特征。定量研究這類不確定性因素對評價結(jié)果的影響，將為水源地實時調(diào)整開采計劃以保證水源地安全，提供技術(shù)支撐。

水文地質(zhì)概念模型，一般是以水文地質(zhì)勘查為基礎(chǔ)，對研究區(qū)水文地質(zhì)條件的概化；受勘查工作量、勘探技術(shù)和手段等條件的限制，當(dāng)水源地啟動運行后，對水文地質(zhì)條件的進(jìn)一步驗證工作，一般不再通過水文地質(zhì)鉆探來直接驗證，而多依賴地下水水位長期觀測進(jìn)行間接驗證。為此，以水源地可開采量均衡法評價成果的風(fēng)險率為例，討論水文地質(zhì)參數(shù)的不確定性對風(fēng)險率大小的影響。

1 不確定性因素的時變特性

中。如地表裸露或覆蓋程度較差的巖溶地區(qū)，一次降雨過程，使巖溶區(qū)地下水的補給量迅速增加，泉口的出流量也隨之增大，常以“天”或“月”為單位進(jìn)行動態(tài)評價。

這兩種時變性均將不同程度地影響到地下水水源地的供水安全，不容忽視；但這兩者又是相對獨立的，分析其影響程度時可分別考慮。

2 貝葉斯理論

貝葉斯（Bayes）理論是經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)的延伸和擴展，該方法通過綜合考慮隨機變量的先驗信息和樣本信息，得到該變量的后驗分布，以此進(jìn)行統(tǒng)計計算，從而為實現(xiàn)風(fēng)險率的動態(tài)估算提供切實可行的方法。目前，該方法已成功應(yīng)用于水文預(yù)報、水工泄洪閘門事故率分析方面［8－9］，但在地下水資源風(fēng)險分析方面的研究文獻(xiàn)較少。

2.1 貝葉斯公式

由原始基礎(chǔ)資料得到隨機變量x的樣本信息為y，其先驗與后驗分布可以用f（x）和f（x｜y）表示，按照條件概率公式則有Bayes表達(dá)公式：

水源地的運行，會逐漸暴露出一些勘查所未控制或評價所未認(rèn)識的水文地質(zhì)條件，并可能誘發(fā)一些已確定的水文地質(zhì)條件也產(chǎn)生一定程度的變化；這些不確定性因素，表現(xiàn)出一定的時變特性，從時間尺度上可分為“緩變性”和“陡變性”［8］。

1.1 緩變性

水源地運行過程中，受水文氣象條件季節(jié)性變化、人類活動等的影響，地下水的補給量或排泄量均發(fā)生一定程度的緩慢變化。如隨著城市化建設(shè)的發(fā)展，水源地所在的水文地質(zhì)單元內(nèi)的下墊面條件發(fā)生變化，引起地下水的水力坡度、含水層之間的水頭差等要素發(fā)生變化，最終導(dǎo)致水源地的地下水可開采量發(fā)生變化。特別是在抽取承壓含水層中的水時，若因開采產(chǎn)生地面沉降，則可能引起水文地質(zhì)參數(shù)發(fā)生變化。該類型的時變特性，通常以“年”為單位進(jìn)行動態(tài)評價。

1.2 陡變性

陡變性通常發(fā)生在一個相對較短的時間過程

式中，f（y｜x）為似然函數(shù)。

由式（1）可見，先驗分布、似然函數(shù)和后驗分布是貝葉斯理論的3個關(guān)鍵變量的分布函數(shù)，且后驗分布與先驗分布和樣本對參數(shù)的條件分布有關(guān)，是兩者的綜合，即后驗分布既反映了過去信息提供的先驗分布，又反映了新收集的樣本提供的信息，體現(xiàn)出一個知識綜合與更新的過程。

2.2 正態(tài)過程的共軛先驗分布

為解決式（1）中積分的困難，發(fā)展了“共軛先驗分布”［10］；該分布要求先驗分布與后驗分布屬于同一個類型，即要求經(jīng)驗的知識和現(xiàn)在樣本的信息有某種相同的特性，它們能轉(zhuǎn)化為同一類的經(jīng)驗知識。

地下水資源評價中涉及的隨機變量主要有含水層的滲透系數(shù)K、彈性釋水系數(shù)μ＊、含水層之間的水頭差ΔH、越流補給系數(shù)b等。從統(tǒng)計學(xué)角度，其采樣過程一般為連續(xù)型，它們的值可能取自然數(shù)中的任何一個數(shù)（假設(shè)不考慮參數(shù)取值所代表的地質(zhì)意義），且分布一般服從正態(tài)分布，而正態(tài)分布因其特有的數(shù)學(xué)特性，在不同領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。此外，文獻(xiàn)［2，11］的研究結(jié)果表明，與參數(shù)的數(shù)字特征相

經(jīng)過一段時間后，獲得樣本容量為n的x值，且樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ和σ，則x的后驗密度f″（x｜y）也服從正態(tài)分布：比，參數(shù)的分布概型不是影響計算風(fēng)險率大小的主要因素；因此，以隨機變量服從正態(tài)分布為例，討論正態(tài)過程的正態(tài)分布族。

設(shè)隨機變量x的先驗分布f′（x）為正態(tài)分布，用μ′和σ′分別表示隨機變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。其密度函數(shù)為

其中，y表示樣本結(jié)果。通過估計統(tǒng)計量，得到后驗參數(shù)μ″和σ″2，以及先驗分布參數(shù)、樣本信息參數(shù)的關(guān)系式［12］分別為

從式（4）和（5）可以看出：后驗方差σ″2的倒數(shù)等于先驗方差的倒數(shù)和樣本方差的倒數(shù)之和，后驗均值μ″則有權(quán)平均的含義，即先驗均值和樣本均值的權(quán)平均；而權(quán)量正是各自方差的倒數(shù)，且后驗均值總是位于先驗均值和樣本均值之間，后驗方差總是小于先驗方差。

3 應(yīng)用實例

3.1 研究區(qū)概況

研究區(qū)的區(qū)域地貌類型屬于泰沂山前沖積平原與魯西南黃泛平原向斜地貌，含水層主要是呈多層結(jié)構(gòu)分布的第四系孔隙含水層（包括潛水和承壓水）。因研究區(qū)內(nèi)的地表水體污染極為嚴(yán)重，而區(qū)內(nèi)的地表水與淺層地下水有密切的水力聯(lián)系，且河水位高于淺層地下水，河水直接補給淺層地下水，造成淺層地下水遭受污染。深層承壓水埋深一般在60～150m，其上分布有較穩(wěn)定的黏性土，與下部基巖風(fēng)化殼含水層之間有一層穩(wěn)定的黏性土隔水層，巖性主要為中粗砂及砂礫石，富水性較好，水質(zhì)較優(yōu)。因此，為滿足城市供水要求，該承壓含水層確定為開采目的層。

由于區(qū)內(nèi)承壓水埋藏較深，且上覆有較穩(wěn)定的黏性土，大氣降水不能直接補給深層地下水，但部分地區(qū)可通過天窗接受淺層水的越流補給，成為其補給來源之一；另外，研究區(qū)內(nèi)已形成地下水水位降落漏斗，周邊的地下水以側(cè)向徑流的方式補給區(qū)內(nèi)的深層地下水。綜上可知，該承壓含水層的補給量主要來自潛水含水層的越流補給和承壓含水層本身的側(cè)向徑流補給［4］。通過對水源地水文地質(zhì)條件的概化，依據(jù)可開采系數(shù)法（取系數(shù)為0.9［13］），地下水可開采量計算公式為

式中：Q可為地下水可開采量（m3／d）；Q補為承壓含水層補給量（m3／d）；ΔH為承壓含水層與潛水含水層之間的水頭差（m）；b為越流補給系數(shù)（1／d）；F為計算區(qū)面積（m2）；T為承壓含水層的導(dǎo)水系數(shù)（m2／d）；J為水力坡度；L為計算區(qū)的周長（m）。

3.2 數(shù)學(xué)模型的建立

地下水開采系統(tǒng)作為一個客觀、開放型的復(fù)雜系統(tǒng)，廣泛存在著不同類型的不確定性因素，從而使式（6）中的變量ΔH、T、b、J等表現(xiàn)出隨機性、模糊性、灰色性、未確知性等方面的不確定性［14］（數(shù)字特征見表1）。為了評估多種不確定性因素對評價結(jié)果的綜合影響程度，許多學(xué)者利用耦合模型以盡可能地準(zhǔn)確反映實際條件［14］。實例研究中，利用模糊－隨機數(shù)學(xué)模型［2］，估算動態(tài)風(fēng)險率：

表1 模糊隨機變量取值范圍和數(shù)字特征Table 1 Value range and numerical characteristics of fuzzystochastic variables

3.3 隨機變量的時變不確定性分析

由式（6）可以看出，Q可為ΔH、T、b、J4個隨機變量的非線性函數(shù)，其中變量b和T是反映當(dāng)?shù)厮牡刭|(zhì)條件的參數(shù)。雖然在不同的地質(zhì)作用如沉積、冰川、侵蝕下，可以形成不同巖性的含水層，從而導(dǎo)致含水層參數(shù)（如給水度、滲透系數(shù)）呈現(xiàn)出很大的空間變異性［15］，但從水源地的運行時間來說，一般情況下，與水頭差ΔH相比，b、T的時變特性變化不明顯（它們的不確定性主要來源于采樣點的空間分布與樣本容量），且由于人力、物力等條件的限制，不可能再增加水文地質(zhì)鉆探工作，也就不可能獲得更多的有關(guān)隨機變量b、T的樣本信息，故暫不考慮隨機變量b、T的樣本信息。當(dāng)水源地啟動運行后，可以依賴地下水水位長期觀測獲得水頭差ΔH的樣本信息。因此，該實例中所討論的時變效應(yīng)，主要指水頭差ΔH的“緩變性”。

由歷史資料所獲得的水頭差ΔH的均值μΔH和標(biāo)準(zhǔn)差σΔH分別為12.5m和1.44m（表1），即為時變隨機變量ΔH先驗概率分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差μ′和σ′；此時對應(yīng)的先驗概率密度函數(shù)分布如圖1所示。因歷史資料有限，這一先驗分布的假設(shè)是比較粗糙的，但又是十分必要的，它反映了潛水含水層與承壓含水層的水頭差分布狀態(tài)。水源地在運行中通過對長觀孔的觀測，經(jīng)過一段時間后，得到一組樣本容量n＝20的有關(guān)ΔH的觀測資料，樣本的均值μ＝11.82m，均方差σ＝5.35m。根據(jù)公式（4）和（5）得后驗均值和后驗均方差分別為μ″＝12.10m，σ″＝0.92m，相應(yīng)的后驗概率函數(shù)分布如圖1所示。對比圖1中的兩條曲線可以看出：后驗分布曲線較先驗分布變陡，先驗95%的置信區(qū)間是（9.68m，15.32m），后驗95%的置信區(qū)間是（10.30m，13.90 m）；也就是說，收集新的樣本信息之后，95%置信區(qū)間的間距由5.64m減小到3.60m，隨機變量的不確定性區(qū)間變小，數(shù)據(jù)的精密度提高，從而可以進(jìn)一步提高評價結(jié)果的可靠度。

圖1 隨機變量的概率分布圖Fig.1 Probability distribution of random variableΔH

3.4 動態(tài)風(fēng)險率估算與結(jié)果分析

用改進(jìn)一次二階矩法（AFOSM）［2］計算不同截集λ情況下的模糊風(fēng)險率（水源地設(shè)計開采量為12.0×104m3／d），求得先驗分布與后驗分布下的模糊風(fēng)險率，如表2所示。綜合表2和圖2的數(shù)據(jù)可知：考慮樣本信息后，當(dāng)僅考慮參數(shù)的隨機性（λ＝1.0）時，以12.0×104m3／d開采時發(fā)生地下水過量開采的風(fēng)險率由9.18%增大到10.93%；同時考慮參數(shù)的模糊性和隨機性時，相應(yīng)的模糊風(fēng)險率由13.67%增大到15.75%（取λ＝0.5時對應(yīng)的模糊風(fēng)險率的均值（表2中黑體字））。

表2 模糊風(fēng)險率計算結(jié)果Table 2 Calculated results of fuzzy risk

圖2 先驗分布與后驗分布條件下的模糊風(fēng)險率對比曲線Fig.2 Compared curve of fuzzy risk between prior distribution and posterior distribution

由圖2可以比較直觀地看出：隨著λ值的增大模糊風(fēng)險率區(qū)間逐漸變小，這是因為λ值越大，模糊區(qū)間越小；同一λ值，后驗分布條件下得出的風(fēng)險率均大于先驗條件下的風(fēng)險率，即隨著水源地的運行，受不確定性因素時變特性的影響，風(fēng)險率發(fā)生了變化。若仍按12.0×104m3／d的水量進(jìn)行開采，則水源地發(fā)生地下水過量開采的風(fēng)險率將增大；原因在于受人類活動及周圍環(huán)境變化的影響，通過進(jìn)一步觀測得到樣本信息中的潛水含水層與承壓含水層的水頭差變小，導(dǎo)致含水層得到的補給量相應(yīng)地減少。

4 結(jié)論

水源地運行，逐漸暴露出的勘查所未控制或評價所未認(rèn)識的水文地質(zhì)條件，以及勘查與評價已明確的水文地質(zhì)條件所發(fā)生的變化，都屬時變不確定性因素；在關(guān)于這類不確定性因素對水源地運行安全影響的定量研究過程中，形成以下認(rèn)識：

1）不確定性因素對水源地運行的影響，多可依據(jù)地下水水位動態(tài)來間接反映或驗證；地下水動態(tài)長期監(jiān)測，可為水源地風(fēng)險管理提供重要基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

2）后驗分布既反映了過去信息提供的先驗分布，又反映了新收集的樣本提供的信息，后驗分布與先驗分布和樣本對參數(shù)的條件分布有關(guān)，是兩者的綜合，體現(xiàn)出一個知識綜合與更新的過程。

3）水源地以計劃開采量12.0×104m3／d運行，先驗分布與后驗分布條件下發(fā)生地下水過量開采的模糊風(fēng)險率分別為13.67%和15.75%；如能利用后驗信息對開采計劃進(jìn)行及時調(diào)整，可提高水源地的安全運行系數(shù)。

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Risk of Groundwater Allowable Withdrawal Evaluated Using Water Balance Method

Liu Pei－gui，Tao Yue－zan
School of Civil Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China

Uncertain factors associated with limited samples have significant influence on the reliability of groundwater resources evaluation result.Groundwater table is a time－dependent stochastic variable during the well field exploration and operation.Therefore，take a confined aquifer of Jining City，Shandong Province as an example，the risk of prior probability distribution and posterior probability distribution are evaluated quantitatively with the fuzzy－stochastic model using Bayesian theory in this paper.The study results show that the fuzzy risk of groundwater over－drafted is increased from 13.67%to 15.75%.Considering the time－dependent uncertain factors，the uncertain interval spacing becomes smaller from 5.64to 3.60.Consequently，the pumping plan should be adjusted to guarantee the safe supply.

time－dependent uncertainty；Bayesian theory；risk；groundwater；extraction；water balance method

book=2012,ebook=608

P641.8

A

1671－5888（2012） 04－1125－05

2011－09－12

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金項目（2011HGQC1028），合肥工業(yè)大學(xué)博士學(xué)位人員專項基金（GDBJ2009－016）

劉佩貴（1981－），女，博士，主要從事風(fēng)險分析與水資源評價方面的研究，E－mail：liupg2512＠163.com。