景 妮，楊 錄，張艷花

（中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，電子測試技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西太原 030051）

科學(xué)計(jì)算可視化（VISC），即運(yùn)用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和圖像處理技術(shù)，將科學(xué)計(jì)算過程中產(chǎn)生的數(shù)據(jù)及計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)化成圖形和圖像顯示出來進(jìn)行交互式處理的理論、方法、技術(shù)，直觀的圖形圖像更有利于人們對于抽象數(shù)據(jù)的理解和分析。超聲場的分布關(guān)系到超聲成像，超聲檢測等多個(gè)工程實(shí)際問題，目前在這一方面的研究很多但要準(zhǔn)確地模擬換能器發(fā)射超聲波聲場比較困難，超聲場的三維模擬及可視化也比較困難，有待進(jìn)一步的深入研究。本文利用MATLAB強(qiáng)大的圖形可視化功能對超聲場進(jìn)行三維模擬可視化，能夠很方便地進(jìn)行交互控制和管理研究超聲換能器發(fā)射聲場的分布特征，掌握各變量，以及換能器各參數(shù)對聲場產(chǎn)生的影響。

1 圓形活塞超聲換能器聲場的數(shù)學(xué)模型及三維圖形的建立

我們要將一種物理現(xiàn)象（尤其是看不到、摸不到的物理現(xiàn)象如超聲聲場），通過科學(xué)計(jì)算可視化將其變成一種直觀的、易于人們理解的圖形圖像形式通常有以下幾個(gè)步驟，首先要建立一個(gè)物理模型（物理定律），然后將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)表達(dá)式），再通過數(shù)學(xué)模型提出計(jì)算模型送入計(jì)算機(jī)計(jì)算（計(jì)算機(jī)的模擬），模擬結(jié)果數(shù)據(jù)經(jīng)可視化處理轉(zhuǎn)換成可視圖形或圖像信息，提供給人們作分析和研究。本文即按照以上步驟分別對處于標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)中圓形活塞換能器的中心軸線上聲壓、軸向聲場、聲軸橫截面聲場進(jìn)行數(shù)學(xué)建模并用MATLAB對其進(jìn)行可視化模擬。

超聲探頭的輻射聲場可以用克希霍夫積分定理描述如下:

其中Φq是聲場中任意一點(diǎn)Q處的速度勢，Φs是包圍Q點(diǎn)曲面S上的速度勢，（）為曲面S上振動速度的法向分量，k=2π/λ，r為某積分面元ds到Q點(diǎn)的矢量。

通過這個(gè)式子出發(fā)，我們可以推導(dǎo)出超聲換能器聲場的數(shù)學(xué)模型。

1.1 超聲換能器聲場中心軸線上聲壓分布的數(shù)學(xué)模型以及可視化圖形

超聲場聲壓p是某一點(diǎn)在某一瞬間的壓強(qiáng)P1與沒有超聲場時(shí)的靜態(tài)壓強(qiáng)P0之差即p=P1-P0，單位Pa。

在圓形活塞表面上每一點(diǎn)都可視為單一點(diǎn)源，每一點(diǎn)源都以相同的振幅和相位作簡諧運(yùn)動，軸線上任一點(diǎn)處的聲壓只要把換能器上所有點(diǎn)輻射到這一點(diǎn)的聲壓疊加即可。

其中，P0為靜態(tài)壓強(qiáng)，Rs為圓形活塞半徑，r為活塞中心到軸線上某一點(diǎn)的距離，k=2π/λ。

由上式我們不難看出聲場中心軸線上的聲壓是隨時(shí)間做周期性變化的，在工程實(shí)際應(yīng)用中我們只需要考慮其幅值的情況，因此我們?nèi)∑浞导?

本文選取半徑Rs為3 mm，發(fā)射頻率f為40 kHz的圓形活塞，研究其超聲聲場中心軸線上的聲壓分布，通過（3）式的數(shù)學(xué)模型提出相應(yīng)的計(jì)算模型，運(yùn)用MATLAB強(qiáng)大的圖形可視化功能，將抽象的聲場聲壓轉(zhuǎn)化成我們可視的圖形方便我們對其進(jìn)行分析應(yīng)用。

圖1 為聲場軸向聲壓分布

由于我們所選的探頭參數(shù)小圖形變化會比較集中，變化陡急，因此將坐標(biāo)變換為以分貝作為單位，更有利于我們觀察分析。同時(shí)我們能夠很方便地進(jìn)行交互式處理和控制，如將其活塞半徑、發(fā)射頻率等參數(shù)進(jìn)行修改研究其聲場聲壓特征強(qiáng)度。

1.2 超聲換能器軸向聲場聲壓分布的數(shù)學(xué)模型及三維可視化圖形

首先我們來研究軸線外任意點(diǎn)的聲壓分布（見圖1）。

圖2 圓形活塞聲源聲場的示意圖

把活塞上每個(gè)微元看成一個(gè)單一的點(diǎn)源，則在換能器軸向空間任一點(diǎn)的聲壓則為，活塞中所有微元到這一點(diǎn)源聲壓的疊加和。經(jīng)過積分變化我們得到探頭足夠遠(yuǎn)（r＞3R2s/λ）處的聲壓:

其中Fs=πR2s，為圓盤面積，J1為第一類一階貝塞爾函數(shù)，MATLAB提供強(qiáng)大的函數(shù)功能，可在其函數(shù)庫中直接調(diào)用。同樣我們工程中只需要研究聲壓幅值即:

我們將上式中的球坐標(biāo)變換成笛卡爾坐標(biāo)系，其轉(zhuǎn)化公式為:

將（5）進(jìn)行變化得到聲軸軸向表達(dá)式:

其中k1=P0π

圖3為半徑Rs為3 mm，發(fā)射頻率f為40 kHz的，通過（7）式建立的數(shù)學(xué)模型，用MATLAB仿真出超聲換能器聲壓分布的三維圖形:

圖3中第一幅圖為探頭軸向聲場聲壓的三維分布圖形，第二幅圖為第一幅圖沿垂直Z軸方向上的視圖，第三幅圖為第一幅圖的俯視圖。圖中色軸坐標(biāo)表示聲壓的大小。同樣聲壓軸以分貝作為單位，更有利于我們研究分析。由圖中我們可以看出在遠(yuǎn)場區(qū)（r＞3R2s/λ）聲壓逐漸變小，同時(shí)在換能器的軸線附近聲壓比較大。

1.3 超聲換能器聲軸截面聲場聲壓分布的數(shù)學(xué)模型及三維可視化圖形

我們要研究距離超聲換能器一定遠(yuǎn)處平面上的聲壓分布情況，就需要作出該平面的聲壓分布圖。同理我們先來研究其數(shù)學(xué)模型。由上文中（5）式和（6）式我們可以得到聲軸截面聲壓分布的數(shù)學(xué)模型:

圖3 超聲聲場軸向聲壓分布圖

其中，z0為換能器中心到截面的距離。

圖4為半徑Rs為3 mm，發(fā)射頻率f為40 kHz的，z0取1.1 mm，通過（8）式建立的數(shù)學(xué)模型，用MATLAB仿真出超聲換能器聲壓分布的三維圖形:

圖4 聲軸截面聲場的聲壓分布

圖4中第一幅圖距探頭z0處聲軸截面聲場聲壓分布的三維圖形，第二幅圖為第一幅圖x軸方向的視圖，第三幅圖是第一幅圖的俯視圖。圖中色軸坐標(biāo)表示聲壓的大小。同樣聲壓軸以分貝作為單位。由圖中我們可以看出截面上聲場呈軸對稱分布，在中心軸線附近聲壓最高，軸線附近聲場衰減較慢，軸線兩側(cè)聲場聲壓呈快速振蕩衰減趨勢。聲場的能量主要集中在軸線附近。

2 結(jié)論

利用MATLAB我們將聲場聲壓圖形方便快捷地繪制出來，可以通過變換系統(tǒng)中的各種參數(shù)的交互式操作，直觀形象地研究系統(tǒng)中各個(gè)變量、參數(shù)對聲場聲壓分布的影響，為工程實(shí)際上的操作提供了相應(yīng)的依據(jù)。

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