石東洋，董曉靖

非線性對流擴散方程的雙線性元解的高精度分析

石東洋，董曉靖

（鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系，鄭州450001）

利用積分恒等式對發(fā)展型非線性對流擴散方程的雙線性有限元解進行了高精度分析．給出了L2－模意義下的二階ε一致收斂結(jié)果．進一步，根據(jù)Bramble－Hilbert引理推導(dǎo)出了2個高精度的積分恒等式，并由此得到了一個新的漸近展開式．

非線性對流擴散方程；雙線性元；高精度

1 單元構(gòu)造及逼近問題

方程（1）對應(yīng)的變分形式為：求u∈H10（Ω），使得

設(shè)Th是Ω的一族均勻剖分，即Ω＝e珋．e∈Th為x－y平面上的一個矩形單元，其邊長分別為2he、2ke，h＝｛he，ke｝，4個頂點分別為a1（xe－h(huán)e，ye－ke）、a2（xe＋he，ye－ke）、a3（xe＋he，ye＋ke）、a4（xe－h(huán)e，ye＋ke），4條邊分別為li＝aiai＋1（mod 4）（i＝1，2，3，4）．設(shè)＾e為ξ－η平面上的參考單元，＾a1（－1，－1）、2（1，－1）、＾a3（1，1）、＾a4（－1，1）為4個頂點，＾li＝＾ai＾ai＋1（mod 4）（i＝1，2，3，4）為4條邊．在參考單元構(gòu)造雙線性元（，＾P，＾Σ）：＾Σ＝｛＾vi，i＝1，2，3，4｝，＾P＝Q1（＾e）＝span｛1，ξ，η，ξη｝，其中＾vi為＾v在頂點＾ai（i＝1，2，3，4）處的函數(shù)值．＾e上的雙線性插值定義為：，其中：ξi＝（－1，1，1，－1），ηi＝（－1，－1，1，1）．定義從參考單元＾e到一般單元e的可逆仿射變換Fe：＾e→e，x＝xe＋heξ，y＝y(tǒng)e＋keη，那么，相應(yīng)的有限元空間和插值算子分別為：

所以，變分問題（2）的協(xié)調(diào)有限元半離散格式為：求uh∈Vh，滿足

2 一致收斂性分析

記ρ＝u－Ihu和θ＝uh－Ihu．為了估計需要以下引理．

引理1［7］∫Ωρxvdxdy≤Ch2‖u‖3‖v‖0，∫Ωρxvxdxdy＝Ch2‖u‖3‖v‖1，v∈Vh．

引理2［6］（β·!ρ，v）≤Ch2‖u‖3‖v‖0，v∈Vh．

引理3 設(shè)α∈W1，"（Ω），則（α!ρ，!v）≤Ch2‖u‖3‖v‖1，v∈Vh．

定理1 設(shè)u和uh分別是問題（2）和問題（3）的解，且u∈H3（Ω），α∈W1，"（Ω），β∈（W1，"（Ω））2，則有如下一致收斂性結(jié)果：

其中常數(shù)C不依賴于擴散參數(shù)ε．

證明 對任意的v∈Vh，由式（2）和式（3）得到誤差方程

即

在式（6）中取v＝θ，則有

利用引理1～3可逐項估計Ai（i＝1，2，…，6）：

將式（8）～式（13）帶入式（7），整理可得

那么有

上式兩端從0到t積分，注意到θ（0）＝0，利用Gronwall引理得到

3 雙線性元的漸近展開式

為了得到雙線性元的漸近展開式，需要高精度的積分恒等式如下：

引理4［8］設(shè)u∈H4（Ω），v∈Vh，有

引理5 設(shè)α∈H2（Ω），β∈（H2（Ω））2，u，ut∈H4（Ω），v∈Vh，則有

證明 僅給出式（16）的證明，式（17）類似可得．定義Pi（e）為單元e上的i階多項式空間，定義插值Π1：H2（Ω）→Vh：∫e（w－Π1w）qdxdy＝0，q∈P1（e），則Π1βi＝ai＋bi（x－xe）＋ci（y－ye），i＝1，2；Π1α＝a＋b（x－xe）＋c（y－ye），其中ai、bi、ci和a、b、c分別是βi和α的一次插值常系數(shù)．＾v∈＾P，考察函數(shù)

根據(jù)Sobolev嵌入定理和反不等式有

當＾u取ξ2、η2、ξ3、ξ2η、ξη2、η3時，相應(yīng)的插值＾I＾u分別為1、1、ξ、η、ξ、η，直接計算可得

根據(jù)Bramble－Hilbert引理和式（21）有

通過Scaling技巧將式（18）～式（20）轉(zhuǎn)化到一般單元上的積分變換

類似計算可得

組合式（24）～式（29）并利用Green公式可得

所以

注1 以上這些高精度結(jié)果是用一般的插值方法得不到的．

定理2 設(shè)α∈H2（Ω）∩W1，"（Ω），β∈（H2（Ω）∩W1，"（Ω））2，u、ut∈H4（Ω）∩H10（Ω），則存在φh∈Vh使得

其中常數(shù)C不依賴于擴散參數(shù)ε．

證明 由引理4～5及式（6）知

其中：f1＝－utyy＋εauxxyy－εcuyyy－a1uxyy－a2uyyy＋c2uyy，f2＝－utxx＋εauxxyy－εbuxxx－a1uxxx－a2uxxy＋b1uxx．

構(gòu)造輔助問題

故g（v）是H10（Ω）中的有界線性泛函，從而輔助問題（32）有唯一解φ．

輔助問題（32）的協(xié)調(diào)有限元的離散格式為：求φh∈Vh，滿足

由式（31）和式（35）可得

取v＝θ－h(huán)2φh，則有

即

對式（36）兩端積分，并注意到θ（0）－h(huán)2φh（0）＝0可得

其中常數(shù)C不依賴于擴散參數(shù)ε．最后利用Gronwall引理即可得證．

注2 到目前為止，如何導(dǎo)出對流占優(yōu)擴散方程的協(xié)調(diào)有限元方法在H1－模意義下的ε一致收斂性仍是一個尚未解決的問題．

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［8］ LIN Q，LIN J F．Finite Element Methods：Accuracy and Improvement［M］．Beijing：Science Press，2006．

（責(zé)任編校 馬新光）

Higher accuracy analysis for bilinear finite element solution of nonlinear advection－diffusion equation

SHI Dong－yang，DONG Xiao－jing
（Department of Mathematics，Zhengzhou University，Zhengzhou 450001，China）

By using integral identities，the higher accuracy approximation of bilinear conforming finite element for the time－dependent nonlinear advection－diffusion equations is investigated．The optimalεuniform convergent result is obtained under L2－norm．Based on Bramble－Hilbert lemma，two new integral identities and a asymptotic error expansion are derived．

nonlinear advection－diffusion equation；bilinear finite element；higher accuracy

book=1,ebook=68

O241．21

A

1671－1114（2012）02－0001－05

2011－11－29

國家自然科學(xué)基金資助項目（10971203）；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助項目（20094101110006）

石東洋（1961－），男，教授，主要從事有限元方法及應(yīng)用方面的研究．