叢 楠，尚建忠，任焱晞

(1.國防科技大學(xué)機(jī)電工程與自動化學(xué)院，長沙 410073; 2.工程裝備系統(tǒng)研究所，北京 100093)

前言

道路模擬試驗(yàn)是檢驗(yàn)車輛可靠性的重要手段，路面激勵作為模擬試驗(yàn)的輸入，直接決定了試驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性。對于標(biāo)準(zhǔn)化道路，早在20世紀(jì)70年代就已確立了以功率譜密度函數(shù)作為對其描述的基本形式［1］。我國標(biāo)準(zhǔn)GB 7031—86中給出了一種冪函數(shù)形式的功率譜密度函數(shù)擬合公式，并定義了相應(yīng)等級道路標(biāo)準(zhǔn)化功率譜密度函數(shù)的擬合參數(shù)［2］，對于非標(biāo)準(zhǔn)的試驗(yàn)場道路，文獻(xiàn)［3］和文獻(xiàn)［4］中在對我國海南和定遠(yuǎn)等汽車試驗(yàn)場道路進(jìn)行測量的基礎(chǔ)上，給出了以功率譜密度函數(shù)描述的道路譜。

定義在頻域上的功率譜需要還原為隨機(jī)時(shí)域激勵信號，才能被道路模擬臺架使用。文獻(xiàn)［5］中提出將功率譜密度函數(shù)定義下的道路譜還原為時(shí)域信號的方法，該方法直接使用功率譜密度函數(shù)的傅里葉反變換來生成時(shí)域激勵，但不久證明該方法并不可靠。目前常用的時(shí)域還原方法主要可分為兩類，即諧波疊加法與線性濾波法［6-9］，兩類方法雖然形式各異，但均基于高斯假設(shè)，即還原出時(shí)域信號的幅值呈高斯分布。

實(shí)測數(shù)據(jù)表明，由于實(shí)際道路本身包含有超過“標(biāo)準(zhǔn)”預(yù)期的不規(guī)則性，使得實(shí)測道路激勵的幅值并不嚴(yán)格地滿足高斯分布［10］。對于以強(qiáng)化可靠性試驗(yàn)為目的的試驗(yàn)場路面，此點(diǎn)尤為明顯，因?yàn)榕c一般公路相比，可靠性試驗(yàn)場路面能夠給予車輛更多和更大的激勵，使得其在時(shí)域幅值上表現(xiàn)為更頻繁的沖擊，幅值分布體現(xiàn)出一定峰度及“厚尾”的非高斯特征。在可靠性強(qiáng)化試驗(yàn)領(lǐng)域的相關(guān)研究早已表明，激勵的非高斯特性極大地影響受試產(chǎn)品的壽命［11］，現(xiàn)有基于高斯假設(shè)的頻域還原方法所得到的時(shí)域譜進(jìn)行道路模擬試驗(yàn)，無法準(zhǔn)確模擬試驗(yàn)場道路對車輛疲勞耐久性的影響。

本文中在對實(shí)測試驗(yàn)場道路激勵進(jìn)行非高斯特性分析的基礎(chǔ)上，使用雙參數(shù)對稱α-穩(wěn)定分布模型描述試驗(yàn)場路面譜幅值的非高斯分布特征，給出了對于實(shí)測道路的穩(wěn)定分布參數(shù)辨識方法，并研究了產(chǎn)生適合臺架模擬且具有指定穩(wěn)定分布參數(shù)的道路激勵方法，為可靠性試驗(yàn)場道路的模擬試驗(yàn)提供了一種新的道路模型建模方法。

1 試驗(yàn)場道路激勵的非高斯特性分析

為對可靠性試驗(yàn)場道路進(jìn)行準(zhǔn)確模擬，須預(yù)先進(jìn)行實(shí)車采譜工作。圖1為某型工程車在某試驗(yàn)場環(huán)形跑道上完成單圈行駛所采集到的左前輪垂向加速度響應(yīng)譜。

從圖1中的整圈采集譜中截取兩條近似直線路段所對應(yīng)的歷程，其分布在經(jīng)過時(shí)間/空間轉(zhuǎn)換、去直流分量、野點(diǎn)剔除、抗混疊低通濾波等一系列前處理后，兩路段的加速度激勵歷程如圖2所示。可以看出，圖2(a)所對應(yīng)的路況顯然比圖2(b)惡劣。

將圖2中所示的兩路段加速度譜繪制于正態(tài)坐標(biāo)紙上，以驗(yàn)證其幅值是否滿足高斯分布，如圖3所示。圖3示出所測加速度譜在其“極限值”上與正態(tài)分布的顯著差距，直觀地說明了該路譜的非高斯性，且隨著路況劣化，這種非高斯特性愈發(fā)顯著。如使用現(xiàn)有基于高斯假設(shè)的時(shí)域激勵生成方法，將無法還原出該類具有非高斯幅值分布特性的時(shí)域激勵。

2 試驗(yàn)場道路激勵的對稱α-穩(wěn)定分布參數(shù)估計(jì)

α-穩(wěn)定分布是一類廣義化的高斯分布(高斯分布是α=2時(shí)的對稱穩(wěn)定分布的特例)，研究結(jié)果表明，對存在大量突變因素的非高斯隨機(jī)信號，往往均能由α-穩(wěn)定分布對其進(jìn)行準(zhǔn)確地描述［12］。

α-穩(wěn)定分布的一個(gè)顯著特性是其沒有有限的二階矩(確切地說，對于非高斯α-穩(wěn)定分布序列，其沒有穩(wěn)定的m階矩，m＞α∈(0，2］)。因此，為驗(yàn)證試驗(yàn)場道路譜是否滿足α-穩(wěn)定分布，“無窮方差檢驗(yàn)”是一個(gè)快速而有效的方法。其具體步驟如下。

(1)對于含有N個(gè)點(diǎn)的隨機(jī)序列，設(shè)其第k個(gè)值為 xk，k=1，2，…，N，對于每一個(gè) n(1 ＜ n ＜N)，求其含有前n個(gè)值的樣本方差:

將圖2所示的兩路段上的輪軸響應(yīng)譜按照式(1)計(jì)算得到的樣本方差變化如圖4所示。為便于比較，使用一組樣本均值、方差和數(shù)據(jù)長度與第一路段相同的高斯序列作為參照。由圖4可知，雖然兩路段長度不同且樣本長度有限，但與高斯信號相比已有明顯差別，即樣本方差無收斂跡象。初步驗(yàn)證了試驗(yàn)場道路譜的非高斯α-穩(wěn)定分布特性。

此外，由于功率譜密度函數(shù)可認(rèn)為是信號二階原點(diǎn)矩的傅里葉變換，因此圖4還說明了對于此實(shí)測試驗(yàn)場道路時(shí)域激勵歷程，沒有穩(wěn)定的功率譜密度函數(shù)，以往的基于功率譜密度函數(shù)的道路描述方法對其也不再適用。

α-穩(wěn)定分布本身是一類四參數(shù)分布，其特性可以由特征指數(shù) α∈(0，2)、對稱系數(shù) β∈(-1，1)、分散系數(shù)γ∈R+以及位置系數(shù)δ∈R完全確定。對于車輛的加速度響應(yīng)，不妨假設(shè)其為對稱分布，即對稱參數(shù)β=0。進(jìn)一步，在忽略路面自身高程變化的前提下，車輛在行駛?cè)讨胁o累加的垂向加速度，且對采集譜的去直流分量操作進(jìn)一步保證了加速度譜的位置參數(shù)δ亦應(yīng)為0。由此，對于該加速度譜，只有α、γ兩參數(shù)需要辨識。對于位置參數(shù)亦為0的對稱穩(wěn)定分布，使用負(fù)階矩法(又稱為森克函數(shù)法)［13］相對簡便。該方法主要思想源于以下定理。

設(shè)X為對稱穩(wěn)定分布的隨機(jī)變量，且其位置參數(shù)δ=0、分散參數(shù)為γ時(shí)，其分?jǐn)?shù)階矩為

更為一般的是，式(2)中當(dāng)-1＜p＜α?xí)r，該式仍然成立，且C(p，α)表達(dá)式與式(3)相同。即對稱穩(wěn)定分布存在有限的負(fù)階矩。

由以上定理及Γ(·)函數(shù)性質(zhì)可得

式中可任取0＜p＜min(α，1)。

由式(5)可知，特征指數(shù)α僅與隨機(jī)變量的正負(fù)分?jǐn)?shù)階矩p有關(guān)，與分散系數(shù)γ無關(guān)，因此可利用該式對α進(jìn)行估計(jì)。一旦得到α的估計(jì)值，則可由式(2)計(jì)算出γ的估計(jì)值。

3 基于對稱α-穩(wěn)定分布的道路激勵歷程生成

在辨識出特征指數(shù)α和分散系數(shù)γ后，即可由以下方法生成具有指定參數(shù)的對稱α穩(wěn)定分布序列［14］。

此外，需要說明的是，對于圖3所示的經(jīng)過時(shí)間-空間轉(zhuǎn)換的采集譜，此時(shí)生成的序列仍應(yīng)代表空間采樣的序列 X(n)={x(Δn)，x(2Δn)，…}，在進(jìn)行道路模擬時(shí)，須將其轉(zhuǎn)換為時(shí)域歷程X(t)={x(Δt)，x(2Δt)，…}。對于給定車速 v，空間采樣間隔Δn與時(shí)間采樣間隔Δt的關(guān)系為:Δt=Δn/v。

4 應(yīng)用實(shí)例

仍以圖2中所示的兩段采集譜為例，使用式(5)所述的方法分別辨識出的穩(wěn)定分布參數(shù)的估計(jì)值如表1所示。

表1 穩(wěn)定分布參數(shù)估計(jì)值

根據(jù)表1所示的估計(jì)參數(shù)，按照式(6)和式(7)所示方法生成與原采集路段數(shù)據(jù)等長的穩(wěn)定分布序列分別如圖5所示。

由于穩(wěn)定分布的厚尾特性，圖5所示的原始穩(wěn)定分布序列必含有少量具有極高幅值“奇異”數(shù)據(jù)，如前所述，須根據(jù)道路模擬臺架的實(shí)際加載能力(此處為±5g)對上述序列進(jìn)行截?cái)?對應(yīng)于幅值概率密度曲線上的“截尾”)，截?cái)嗵幚砗蟮男蛄幸妶D6。

由前論述，所使用序列的RMS值來檢驗(yàn)所生成序列與采集譜在振動強(qiáng)度上的一致性。按表1所示參數(shù)，對兩路段各生成200組如圖5所示的穩(wěn)定分布序列，對其進(jìn)行截?cái)嗵幚砬昂蟮腞MS統(tǒng)計(jì)特征值如表2所示。

表2 采集與重構(gòu)譜的RMS值 g

由表2可知，當(dāng)不進(jìn)行截?cái)鄷r(shí)，由于極限值的影響，使序列的RMS值遠(yuǎn)高于(且不呈正態(tài)分布)原采集譜。經(jīng)截尾后，所得序列在振動強(qiáng)度上已相當(dāng)接近采集譜，具有一定的等效意義。與此同時(shí)，根據(jù)表1所示的估計(jì)參數(shù)分別繪制概率密度曲線，并將其與正態(tài)假設(shè)下的概率密度曲線和原數(shù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)概率密度分布情況進(jìn)行比較，結(jié)果如圖7所示。

圖7直觀地說明穩(wěn)定分布對試驗(yàn)場道路非高斯特征描述的準(zhǔn)確性，尤其對路況較差的路段1，該方法可更好地反映車輛對路面響應(yīng)的幅值分布情況。

5 結(jié)論

通過對可靠性試驗(yàn)場實(shí)車采集道路譜進(jìn)行幅值分布特性分析，證明了采集譜隨路況劣化將呈現(xiàn)出顯著的非高斯特性;針對道路譜這類具有對稱、零均值的特征，基于對稱穩(wěn)定分布的負(fù)階矩參數(shù)估計(jì)理論，提出了適用于試驗(yàn)場道路的非高斯幅值分布特征參數(shù)的估計(jì)方法，進(jìn)而在結(jié)合現(xiàn)有試驗(yàn)操作規(guī)程的基礎(chǔ)上，提出了可靠性試驗(yàn)場道路時(shí)域激勵的生成方法。

通過應(yīng)用所論述的道路譜生成方法，得到了某高速工程車單輪垂向加速度歷程。與以往道路時(shí)域激勵生成方法相比，該方法產(chǎn)生的道路激勵能更準(zhǔn)確地反映出車輛對試驗(yàn)場路面輸入響應(yīng)的幅值分布特征，為開展車輛的模擬試驗(yàn)場行駛試驗(yàn)以至車輛的虛擬行駛疲勞試驗(yàn)提供了一種新型道路時(shí)域激勵模型生成方法。

［1］Dodds C J，Robson J D.The Description of Road Surface Roughness［J］.Journal of Sound and Vibration，1973，31(2):175-183.

［2］GB 7031—86車輛振動輸入-路面平度表示方法［S］.北京:中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，1987.

［3］劉裕源.海南汽車試驗(yàn)場強(qiáng)化試驗(yàn)規(guī)范研究［J］.汽車質(zhì)量信息，1989，29(12):85-88.

［4］虞明，趙濟(jì)海，鄔惠樂，等.定遠(yuǎn)試驗(yàn)區(qū)汽車試驗(yàn)路面譜的研究［J］.汽車工程，1990，12(2):22-30.

［5］Cebon D，Newlan D E.The Artificial Generation of Road Surface Topography by the Inverse FFT Method［C］.Proc.of the 8th IAVSD Symposium on the Dynamics of Vehicles on Roads and Tracks，Cambridge，Massachusetts，1982:29-41.

［6］檀潤華，陳鷹，路甬祥.路面對汽車激勵的時(shí)域模型建立及計(jì)算機(jī)仿真［J］.中國公路學(xué)報(bào)，1998，11(3):96-101.

［7］劉宏偉，陳綿書，王勛龍.路面譜室內(nèi)再現(xiàn)方法的研究［J］.實(shí)用測試技術(shù)，1999(5):17-18.

［8］張永林，鐘毅芳.車輛路面不平度輸入的隨機(jī)激勵時(shí)域模型［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2004，35(2):9-12.

［9］張永林.用諧波疊加法重構(gòu)隨機(jī)道路不平順高程的時(shí)域模型［J］.農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2003，19(6):32-34.

［10］Bogsj? K.Road Profile Statistics Relevant for Vehicle Fatigue［D］.Lund:Lund University，2007.

［11］蔣培.全軸隨機(jī)振動環(huán)境的疲勞強(qiáng)化機(jī)理研究［D］.長沙:國防科技大學(xué)，2003.

［12］張旭秀，孫永梅，邱天爽，等.統(tǒng)計(jì)信號處理——非高斯信號處理及應(yīng)用［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2004.

［13］Ma X，Nikias C L.Parameter Estimation and Blind Channel I-dentification in Impulsive Signal Environments［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1995，43(2):2884-2897.

［14］Nolan J P.Stable Distributions-Models for Heavy Tailed Data［M］.Boston:Birkhauser，2012.