殷紅彩

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233000）

拉普拉斯(Laplace)定理的新證明

殷紅彩

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233000）

利用排列和行列式的定義給出了行列式拉普拉斯展開(kāi)定理一種簡(jiǎn)單證明,并得到了排列的兩個(gè)性質(zhì).關(guān)鍵詞：排列；行列式；拉普拉斯定理

1 拉普拉斯定理回顧

拉普拉斯定理是行列式展開(kāi)的一個(gè)重要定理,該定理在理論上有重要的應(yīng)用,為了敘述方便引述相關(guān)概念[1]如下:

定義1 在一個(gè)n級(jí)行列式D中任意選定k行k列(k≤n-1)，位于這些行和列的交點(diǎn)上的k2個(gè)元素按照原來(lái)的次序組成一個(gè)k級(jí)行列式M，稱為行列式D的一個(gè)k級(jí)子式.在D中劃去這k行k列后余下的元素按照原來(lái)的次序組成的n-k級(jí)行列式M'稱為k級(jí)子式M的余子式.

定義2 設(shè)D的k級(jí)子式M在D中所在的行、列指標(biāo)分別是i1,i2,…,ik;j1,j2,…,jk，則M的余子式M'前面加上符號(hào)(-1)(i1++i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)后稱做M的代數(shù)余子式.

為了證明拉普拉斯定理用到了下面的引理,該引理的證明較為繁瑣,在這里只敘述該引理,證明略去.

引理 行列式d的任一個(gè)子式M與它的代數(shù)余子式A的乘積中的每一項(xiàng)都是行列式D的展開(kāi)式中的一項(xiàng)，而且符號(hào)也一致.

拉普拉斯定理 設(shè)在行列式D中任意取定了k(1≤k≤n-1)個(gè)行.由這k行元素所組成的一切k級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.

證明 設(shè)D中取定k行后得到的子式為M1,M2,…,Mt,它們的代數(shù)余子式分別為 A1,A2,…,At,定理要求證明D=M1A1+M2A2+…+MtAt根據(jù)引理,MiAi中每一項(xiàng)都是D中一項(xiàng)而且符號(hào)相同,且MiAi與MjAj(i≠j)無(wú)公共項(xiàng).因此為了證明定理,只要證明等式兩邊項(xiàng)數(shù)相等就行了.顯然等式左邊共有n!項(xiàng),為了計(jì)算右邊的項(xiàng)數(shù),首先來(lái)求出t.根據(jù)子式的取法知道

因?yàn)镸i中共有k!項(xiàng),Ai中共有(n-k)!項(xiàng).所以右邊共有t· k!·(n-k)!=n!項(xiàng).定理得證.

2 拉普拉斯定理新證明

先引入排列和行列式的定義[1]:

定義3 由1,2,…,n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列.

定義4 在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).

排列j1j2…jn的逆序數(shù)記為τ(j1j2…jn).

定義5 n級(jí)行列式

等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積

的代數(shù)和，這里j1j2…jn是1,2,…,n的一個(gè)排列，每一項(xiàng)(2)都按下面規(guī)則帶有符號(hào)；當(dāng)j1j2…jn是偶排列時(shí)，(2)帶有正號(hào)，當(dāng)j1j2…jn是奇排列時(shí)，(2)帶有負(fù)號(hào).這一定義可寫(xiě)成

這里i1i2…in與j1j2…jk都是一個(gè)n級(jí)排列.同樣可以把每一項(xiàng)按列指標(biāo)排起來(lái)，于是定義又可以寫(xiě)成

為了證明引理,先給出下面兩個(gè)關(guān)于排列的結(jié)論:

定理1 設(shè)i1,i2,…,ik,ik+1,ik+2,…,in是一個(gè)n級(jí)排列,若i1,i2,…,ik滿足i1

證明 n級(jí)排列i1…ikik+1…in的逆序數(shù)可分為兩部分:一部分是排列i1,i2,…,ik和排列ik+1,ik+2,…,in的逆序數(shù),即分別為τ(i1i2…ik)與τ(ik+1ik+2…in);另一部分是排列i1,i2,…,ik中的數(shù)碼和排列ik+1ik+2…in中的數(shù)碼構(gòu)成逆序產(chǎn)生的逆序數(shù).注意到i1,i2,…,ik已是按順序排列,故在排列ik+1,ik+2,…,in中,比數(shù)碼i1小的數(shù)碼有i1-1個(gè).類似,在排列ik+1ik+2…in中,比數(shù)碼i2小的數(shù)碼有i2-2個(gè),…,在排列ik+1ik+2…in中,比數(shù)碼ik小的數(shù)碼有ik-k個(gè).故有等式

+[(i1-1)+(i2-2)+…(ik-k)] 證畢.

定理2 設(shè)j1,j2,…,jk,jk+1,jk+2,…,jn是一個(gè)n級(jí)排列,若jk+1, jk+2,…,jn滿足jk+1

證明 n級(jí)排列j1,j2,…,jk,jk+1,jk+2,…,jn的逆序數(shù)可分為兩部分:一部分是排列j1,j2,…,jk和排列jk+1,jk+2,…,jn的逆序數(shù),即分別為τ(j1j2…jk)與τ(jk+1jk+2…jn);另一部分是排列j1,j2,…,jk中的數(shù)碼和排列jk+1,jk+2,…,jn中的數(shù)碼構(gòu)成逆序產(chǎn)生的逆序數(shù).注意到j(luò)k+1,jk+2,…,jn已是按順序排列,比數(shù)碼jk+1大的數(shù)碼共有n-jk+1個(gè),而jk+2,…,jn就是其中的n-(k+1)個(gè).故剩余比jk+1大的數(shù)碼的個(gè)數(shù)為(n-jk+1)-(n-(k+1))=(k+1)-jk+1,它們?cè)谠谂帕衘k+2,…,jk中.類似,可知在在排列j1,j2,…,jk中,比數(shù)碼jk+2大的數(shù)碼有(k+2)-jk+2個(gè),…,在排列j1,j2,…,jk中,比數(shù)碼jn大的數(shù)碼有n-jn個(gè).故有等式

有了上面的準(zhǔn)備,下面證明引理.

引理的證明 設(shè)D的任一個(gè)k級(jí)子式M取自的行列為i1,i2,…,ik,j1,j2,…,jk.其余子式M'取自的行列為ik+1,ik+2,…,in；jk+1,…,jn;其中i1,…,ik,ik+1,…,in與j1,…,jk,jk+1,…,jn分別為12…n的一個(gè)排列,對(duì)M按(3)式展開(kāi),其一般項(xiàng)為

其中i1,i2,…,ik滿足i1

其中jk+1,jk+2,…,jn滿足jk+1

顯然,不考慮(10)式的符號(hào),由(4)式,ai1j1ai2j2…aikjkaik+1jk+1aik+2jk+2…ainjn應(yīng)是行列式(1)的展開(kāi)式(4)中右邊的項(xiàng).下面再考察(10)式的符號(hào),由定理1,即(6)式,得

由定理2,即(7)式,得

注意到

所以

由(11),(12)兩式得

所以(10)式可化為

即行列式D的k級(jí)子式的一般項(xiàng)與其余子式的一般項(xiàng)的積是行列式D的一般項(xiàng)前多了符號(hào)

而這恰是行列式D的代數(shù)余子式的前帶的符號(hào),故行列式D的k級(jí)子式的一般項(xiàng)與其代數(shù)余子式的一般項(xiàng)的積是行列式D展開(kāi)式中的的一般項(xiàng),引理證畢.

顯然用引理的新的證明方法,就文獻(xiàn)[1]的內(nèi)容安排可先在第二章的第一節(jié)給出了排列的兩個(gè)新的性質(zhì),即文中的定理1和定理2,這樣既分散了拉普拉斯定理證明的難度,又可使第一節(jié)的內(nèi)容有了增加不再顯得單薄,整個(gè)文章的安排上更為合理.

〔1〕北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，2003.

〔2〕陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何(上)[M].北京:高等教育出版社;海德堡:施普林格出版社，2000.

O151.22

A

1673-260X（2012）05-0006-02

蚌埠學(xué)院自然科學(xué)項(xiàng)目（2011ZR17）