王曉慧，鄭海峰，劉昊鵬，趙國偉

(1.北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191;2.中國航天科工集團北京機電工程總體設(shè)計部，北京 100854)

0 引言

結(jié)構(gòu)優(yōu)化作為現(xiàn)代結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，廣泛用于航空、航天、船舶等各個領(lǐng)域。通常把結(jié)構(gòu)優(yōu)化按照設(shè)計變量的類型分劃為3個層次:結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化［1］。三者分別對應(yīng)于不同的設(shè)計階段，即詳細(xì)設(shè)計階段、基本設(shè)計階段與概念設(shè)計階段。結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域的前沿研究課題，通過改進結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫问?，可大大提高結(jié)構(gòu)的性能，或減輕結(jié)構(gòu)的重量。

拓?fù)鋬?yōu)化按照研究的結(jié)構(gòu)對象可分為離散體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化(如桁架、剛架、加強筋板、膜等骨架結(jié)構(gòu)及它們的組合)和連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化(如二維板殼、三維實體)兩大類［2］。目前，連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化已經(jīng)相對成熟，研究較多的方法主要有均勻化方法、變厚度法、變密度法及進化結(jié)構(gòu)法等［3］。連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化已在許多工程領(lǐng)域得到應(yīng)用，如用于導(dǎo)彈結(jié)構(gòu)［4］和飛機結(jié)構(gòu)［5－7］的設(shè)計上。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，產(chǎn)生了一系列可輔助進行結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計的軟件，Altair公司的OptiStruct就是其中之一。

折疊翼能縮小導(dǎo)彈和發(fā)射裝置的尺寸，節(jié)省儲運空間，便于箱式貯裝、運輸和發(fā)射，增加車輛、艦艇或飛機的運載能力，提高戰(zhàn)斗力，因而在國防上得到了廣泛應(yīng)用［8］。由于這類飛行器對結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度和強度都有較高的要求，常規(guī)的設(shè)計方法是依據(jù)工程師的設(shè)計經(jīng)驗，通過一系列設(shè)計-校核-修改的循環(huán)，最終設(shè)計出滿足要求的結(jié)構(gòu)。這種設(shè)計方法耗時耗力，且需工程師有一定的設(shè)計經(jīng)驗。因此，通過對折疊翼結(jié)構(gòu)進行拓?fù)鋬?yōu)化，以尋求具有最佳傳力路徑的結(jié)構(gòu)布置形式，對飛行器的設(shè)計有著重要的指導(dǎo)意義。

本文基于Altair公司的HyperWorks軟件平臺，對某折疊翼的翼梢結(jié)構(gòu)進行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。首先，利用其前處理軟件HyperMesh進行優(yōu)化問題的建模，該優(yōu)化問題包含翼梢結(jié)構(gòu)的拓?fù)湓O(shè)計變量和蒙皮厚度設(shè)計變量;然后，應(yīng)用其優(yōu)化求解器OptiStruct進行求解;根據(jù)得到的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋵σ砩医Y(jié)構(gòu)進行設(shè)計，并進行分析校核，得到滿足結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度和強度要求的結(jié)構(gòu)。通過拓?fù)渥兞亢统叽缱兞康幕旌蟽?yōu)化，有助于得到較優(yōu)的翼梢結(jié)構(gòu)。

1 折疊翼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題描述及有限元模型

某折疊翼的結(jié)構(gòu)形式如圖1所示，翼根內(nèi)部有折疊機構(gòu)和鎖緊機構(gòu);當(dāng)翼面從折疊狀態(tài)到展開狀態(tài)后，鎖緊機構(gòu)作動，將一鎖緊件推入連接件，使翼根和連接件連在一起，從而使翼面鎖定在展開狀態(tài)。翼梢、翼根和連接件均采用鈦合金材料(材料參數(shù)為:彈性模量E=123 GPa，泊松比 ν=0.33，密度 ρ=4 650 kg/m3，屈服極限σs=1 070 MPa)，支撐軸和鎖緊件均采用45Cr材料。根據(jù)設(shè)計要求，除去鎖緊機構(gòu)、翼根、連接件和支撐軸的質(zhì)量后，要求翼梢部分質(zhì)量不超過3.2 kg;此外，要求梢部最大位移不超過4 mm，設(shè)計的結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)與設(shè)計要求之間允許有10%的容差。

圖1 折疊翼結(jié)構(gòu)形式Fig.1 The structure of folding wing

基于HyperMesh建立折疊翼結(jié)構(gòu)的有限元模型，為減少概念設(shè)計的計算量，實體采用四面體單元，平板采用三角形單元。翼梢單元尺寸為5 mm，其他部件單元尺寸為2 mm，有限元模型的單元總數(shù)為136 937。由于折疊翼各部件不是一個整體結(jié)構(gòu)，力是通過各部件的接觸面?zhèn)鬟f的，故通過定義兩部件之間的接觸來正確模擬折疊翼的展開狀態(tài)。折疊翼的有限元模型如圖2所示。約束翼根底端各個節(jié)點的3個平動自由度，施加在翼面上的等效均布壓力為0.149 MPa。

2 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型與求解

變密度法SIMP(Solid Isotropic Microstructure with Penalization for intermediate densities)是目前應(yīng)用最多的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法。SIMP通常以單元相對密度為設(shè)計變量，將連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化由0～1整數(shù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€連續(xù)變量的優(yōu)化問題。SIMP法使用最多的插值模型為密度-剛度冪次關(guān)系模型，即規(guī)定單元彈性模量與單元密度存在指數(shù)變化關(guān)系:

式中 xi為單元的相對密度(0≤ xi≤1);p為懲罰因子;E0和E分別為懲罰前和懲罰后的彈性模量。

圖2 折疊翼有限元模型Fig.2 The FEA model of folding wing

通過設(shè)定一個大于1的懲罰因子p(懲罰因子的取值應(yīng)在3～5之間)，可對中間密度單元的剛度矩陣進行懲罰，從而達到減少中間密度單元，獲得近似離散設(shè)計結(jié)果的目的。

在進行概念設(shè)計時，本文將翼梢部分作為拓?fù)湓O(shè)計區(qū)域，同時將翼梢外表面蒙皮厚度作為一個設(shè)計變量。把拓?fù)渥兞亢统叽缱兞拷Y(jié)合在一起，同時進行優(yōu)化，可得到最優(yōu)的翼梢內(nèi)部結(jié)構(gòu)形式和最優(yōu)的外部蒙皮厚度，從而得到最優(yōu)的整體式結(jié)構(gòu)。

針對翼梢結(jié)構(gòu)設(shè)計，本文采用SIMP建立一個包含拓?fù)渥兞亢兔善ず穸茸兞康慕Y(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)形式可表述如下:

其中，X為連續(xù)變量;xi為拓?fù)渥兞考磫卧鄬γ芏?n為拓?fù)渥兞總€數(shù);t為外表面蒙皮厚度變量;tL為厚度下限;tU為厚度上限;f(X)為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，本文以結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能作為優(yōu)化目標(biāo)，如式(3)所示;gj(X)為第j個結(jié)構(gòu)性狀約束;m為約束個數(shù)，包含結(jié)構(gòu)質(zhì)量約束、單元應(yīng)力約束和節(jié)點位移約束，如式(4)所示。

式中 f(X)為結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能，即柔順度或柔度;F和U為有限單元的節(jié)點力和位移矢量;K為優(yōu)化前的總剛矩陣;N為結(jié)構(gòu)的總單元數(shù);ki為單元剛度矩陣;k0為拓?fù)湓O(shè)計區(qū)域單元無懲罰的單元剛度矩陣。

式中 mtip為翼梢質(zhì)量;σm為單元的Mises應(yīng)力;uk為翼梢前緣和外緣邊緣的6個節(jié)點(圖1中圓圈中的節(jié)點)位移的模。

根據(jù)式(2)在HyperMesh中建立優(yōu)化模型，以翼梢區(qū)域單元的相對密度和蒙皮厚度作為設(shè)計變量，設(shè)蒙皮厚度下限tL=0.1 mm，上限tU=3 mm，以結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最小為設(shè)計目標(biāo)，并定義式(4)中所示的約束。設(shè)懲罰因子p=3，定義沿翼中面法線方向的脫模約束。利用優(yōu)化求解器OptiStruct進行求解。OptiStruct采用局部逼近的方法求解優(yōu)化問題，即利用敏度信息得到近似模型，然后求解近似模型［9］。經(jīng)過30步的迭代，得到翼梢的最優(yōu)拓?fù)湫问?，?yīng)變能的迭代曲線如圖3所示，最優(yōu)解對應(yīng)的應(yīng)變能值為12 593.89 N·mm。優(yōu)化的過程數(shù)據(jù)顯示，最優(yōu)解下的結(jié)構(gòu)有6.7%的約束違反量，即翼梢后緣節(jié)點的位移為4.266 mm，超過要求的4 mm，但在容差的允許范圍內(nèi)。

得到的最優(yōu)翼梢結(jié)構(gòu)單元相對密度分布，即結(jié)構(gòu)的材料分布如圖4所示。可直觀看出中間密度的單元較少，材料分布有明顯的界限，這有利于將結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際結(jié)構(gòu);最優(yōu)蒙皮厚度為1.982 mm，圓整為2 mm。

圖3 目標(biāo)函數(shù)(結(jié)構(gòu)應(yīng)變能)迭代曲線Fig.3 Variable trend of the objective function

圖4 翼梢結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)湫问紽ig.4 The topology optimization form of folding wing tip

根據(jù)優(yōu)化得到的最優(yōu)拓?fù)湫问?，對翼梢結(jié)構(gòu)進行設(shè)計。考慮以下因素:(1)從拓?fù)鋬?yōu)化得到的結(jié)構(gòu)含有中間密度材料，需要去除;(2)如果按照拓?fù)涞玫降慕Y(jié)構(gòu)材料分布，其無材料填充區(qū)域邊界的形狀較復(fù)雜，這會增大加工的難度，因此需對最優(yōu)拓?fù)溥M行簡化，以適應(yīng)加工要求;(3)結(jié)構(gòu)需要維持翼面形狀，以滿足氣動外形的要求。綜合考慮上述3個因素，設(shè)計的整體式結(jié)構(gòu)的翼梢剖面如圖5所示。表面蒙皮厚2 mm，內(nèi)部根據(jù)拓?fù)湫问饺コ恍┎牧?。設(shè)計的翼梢結(jié)構(gòu)質(zhì)量為3.197 kg，滿足結(jié)構(gòu)質(zhì)量要求。

3 結(jié)構(gòu)校核

為驗證設(shè)計的翼梢結(jié)構(gòu)是否滿足結(jié)構(gòu)的剛度和強度要求，對根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果設(shè)計的翼梢結(jié)構(gòu)(如圖5所示)重新進行建模，并進行分析。翼梢以實體導(dǎo)入有限元模型，所以部件均采用四面體單元，單元尺寸均為2 mm，有限元模型的單元總數(shù)為458 491。載荷工況與優(yōu)化設(shè)計時的載荷工況一致，即折疊翼翼面受均布壓力0.149 MPa，固定翼根底部。與優(yōu)化的有限元模型一樣，定義各個部件之間的接觸。靜力分析得到的位移云圖如圖6所示，翼梢的最大位移為4.293 mm，超過4 mm，但在容差范圍之內(nèi)，可接受;VonMises應(yīng)力云圖如圖7所示，最大應(yīng)力為610.1 MPa，位置在翼梢和翼根接觸面上，最大應(yīng)力值在強度極限內(nèi)，且有較大的安全裕度，結(jié)構(gòu)是安全的。設(shè)計的結(jié)構(gòu)在該靜力工況下的總應(yīng)變能為12 141.59 N·mm。

圖5 根據(jù)最優(yōu)拓?fù)湓O(shè)計的翼梢結(jié)構(gòu)Fig.5 The structure of wing tip according to the optimal topology design

圖6 折疊翼在均布壓力下的位移云圖Fig.6 Displacement of folding wing under uniform external pressure

圖7 折疊翼在均布壓力下的VonMises應(yīng)力云圖Fig.7 VonMises stress of folding wing under uniform external pressure

從上述結(jié)果可見，根據(jù)最優(yōu)拓?fù)湫问皆O(shè)計出來的結(jié)構(gòu)符合質(zhì)量、剛度和強度要求，設(shè)計結(jié)構(gòu)是合理的。

4 結(jié)論

(1)將結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法用于折疊翼翼梢結(jié)構(gòu)的設(shè)計是有效的，拓?fù)鋬?yōu)化得到的最優(yōu)拓?fù)湫问娇蔀橐砩医Y(jié)構(gòu)的設(shè)計提供了一定依據(jù)。然而，為了適應(yīng)加工要求，需對拓?fù)湫问竭M行一定的轉(zhuǎn)化，這一過程的主動性較強。后續(xù)將針對折疊翼結(jié)構(gòu)開發(fā)將拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果自動轉(zhuǎn)化為實際可用結(jié)構(gòu)的模塊，以便于結(jié)構(gòu)設(shè)計。

(2)將蒙皮厚度作為設(shè)計變量，與翼梢的拓?fù)渫瑫r進行優(yōu)化，有助于得到更好的結(jié)構(gòu)形式，而且基于HyperWorks軟件，可方便求解該問題。在進行結(jié)構(gòu)設(shè)計時，也可將結(jié)構(gòu)尺寸作為設(shè)計變量參與優(yōu)化，這樣的混合變量優(yōu)化會更有利于設(shè)計。

(3)本文僅考慮了靜力工況下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，設(shè)計完結(jié)構(gòu)需對動力學(xué)工況進行校核;如果考慮動力工況下的拓?fù)鋬?yōu)化，會使結(jié)構(gòu)更具有實際意義。

［1］程耿東.受應(yīng)力約束的平面彈性體的拓?fù)鋬?yōu)化［J］.大連理工大學(xué)學(xué)報，1995，35(1):1-9.

［2］左孔天.連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化理論與應(yīng)用研究［D］.武漢:華中科技大學(xué)，2004.

［3］葉紅玲，隋允康.應(yīng)力約束下三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化分析［J］.力學(xué)(季刊)，2006，27(4):621-627.

［4］Luo Zhen，Yang Jing-zhou，Chen Li-ping.A new procedure for aerodynamic missile design using topological optimization approach of continuum structures［J］.Aerospace Science and Technology，2006，10(5):364-373.

［5］Gred Schuhmacher，Martin Stettner，Rainer Zotemantel，et al.Optimization assisted structural design of a new military transport aircraft［C］//10th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference，Albany，New York，2004.

［6］王偉.機翼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的一種新漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法［J］.飛機設(shè)計，2007，27(4):17-20.

［7］鄧揚晨，張衛(wèi)紅，章怡寧.基于分級優(yōu)化的飛機翼面結(jié)構(gòu)布局綜合技術(shù)研究［J］.強度與環(huán)境，2005，32(1):27-35.

［8］李莉，任茶仙，張鐸.折疊翼機構(gòu)展開動力學(xué)仿真及優(yōu)化［J］.強度與環(huán)境，2007，34(1):17-21.

［9］張勝蘭，鄭冬黎，郝琪，等.基于HyperWorks的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計技術(shù)［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2007.