任天榮，馬建敏

(1.復(fù)旦大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)系，上海 200433;2.上海機(jī)電工程研究所，上海 200233)

0 引言

在固體火箭飛行的主動段，發(fā)動機(jī)燃料的消耗使火箭自身的質(zhì)量發(fā)生連續(xù)改變，此變化對整個箭體運(yùn)動必然產(chǎn)生影響。對于旋轉(zhuǎn)固體火箭，可視其旋轉(zhuǎn)箭體為一變質(zhì)量陀螺。而目前對于單通道的旋轉(zhuǎn)固體火箭，在用于狀態(tài)分析與型號設(shè)計的火箭數(shù)學(xué)模型中，由于“固化原理”的使用，其每個計算階段均不考慮箭體的變質(zhì)量特性［1］。因此，關(guān)于箭體的變質(zhì)量特性對箭體的動力學(xué)方面的影響，在目前通用的火箭數(shù)學(xué)模型中是無法體現(xiàn)的。就旋轉(zhuǎn)飛行器而言，固體發(fā)動機(jī)的變質(zhì)量作用對飛行器姿態(tài)的影響，已有一些從發(fā)動機(jī)內(nèi)部非穩(wěn)態(tài)氣流、裝藥方式等角度的研究［2－6］。

本文將從變質(zhì)量陀螺方程出發(fā)，分析旋轉(zhuǎn)固體火箭的變質(zhì)量特性對箭體旋轉(zhuǎn)角速度的影響，基于微分方程定性理論推證定常飛行的旋轉(zhuǎn)固體火箭有穩(wěn)定的錐形運(yùn)動存在，并給出變質(zhì)量特性對箭體姿態(tài)變化的章動阻尼作用的數(shù)學(xué)解析。

1 旋轉(zhuǎn)固體火箭變質(zhì)量陀螺運(yùn)動方程的建立

本文在建立旋轉(zhuǎn)圓柱體變質(zhì)量陀螺運(yùn)動方程的過程中，并沒有采用文獻(xiàn)［7］中的張量概念，同樣可建立與之相同的方程。設(shè)一圓柱體旋轉(zhuǎn)固體火箭做靜穩(wěn)定飛行，則其速度坐標(biāo)系近似為慣性坐標(biāo)系，設(shè)原點即為箭體質(zhì)心;而取箭體的半彈體坐標(biāo)系為相對轉(zhuǎn)動的動坐標(biāo)系。將慣性坐標(biāo)系中動量矩定理的微分過程改在動坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行，則有

式中 帶“～”的微分符號表示動坐標(biāo)系的局部導(dǎo)數(shù);ω為相對動坐標(biāo)系的瞬時角速度。

考慮到彈體部分是由彈體和將要離去的燃?xì)赓|(zhì)量兩部分組成(圖1)，假設(shè)本文發(fā)動機(jī)內(nèi)圓形藥柱為端面燃燒，其單位時間發(fā)動機(jī)內(nèi)端面燒蝕質(zhì)量與發(fā)動機(jī)的質(zhì)量流量˙m相等。

圖1 彈體質(zhì)量分布示意圖Fig.1 Mass sketch of a missile

彈體和離去燃?xì)赓|(zhì)量相對質(zhì)心o點的慣性矩陣Jd、Jq分別為

式中 Jx、Jy、yz分別為彈體各軸主慣性矩;為離去燃?xì)赓|(zhì)量相對x軸慣性矩;為由平行軸定理知離去燃?xì)赓|(zhì)量相對y軸和z軸的慣性矩;l為噴口到質(zhì)心距離(即離去燃?xì)赓|(zhì)量相對彈體質(zhì)心的距離);R為噴口半徑。

則式(3)為

為方便計算，令Jx=J1，Jz=Jy=J。綜合之，得端面燃燒旋轉(zhuǎn)固體火箭變質(zhì)量陀螺運(yùn)動普遍方程:

2 變質(zhì)量特性對自旋轉(zhuǎn)速的影響

旋轉(zhuǎn)固體火箭在飛行試驗中，往往會在某時刻發(fā)生彈道波動，其原因可以是多種的，但某些雙推力固體火箭發(fā)動機(jī)設(shè)計本身就足以導(dǎo)致該現(xiàn)象發(fā)生。因主動段發(fā)動機(jī)燃料不斷消耗，可以看成是變質(zhì)量體，這就造成了箭體角動量矩的改變，并會對箭體的某些運(yùn)動參數(shù)產(chǎn)生一定的影響。假設(shè)，軸向干擾力矩Mx=0，發(fā)動機(jī)穩(wěn)定燃燒使箭體軸向轉(zhuǎn)動慣量線性變化J1=Jx0+，式中Jx0為初值。由式(6a)推導(dǎo)出:

則由式(7)求得

其中，ωx0為前一時刻的箭體自轉(zhuǎn)速度，由于總有˙J1≤0，再由前面知˙m≥0。故為使ωx不變，需要˙J=0，此僅在發(fā)動機(jī)不工作狀態(tài)方可行;或者使，即

假設(shè)因燃燒減少的圓柱狀發(fā)動機(jī)內(nèi)燃?xì)赓|(zhì)量是均勻的，則箭體軸向轉(zhuǎn)動慣量的增量，則有將其代入式(9)則有

式中 RI為燃燒室內(nèi)徑。

式(10)表明，當(dāng)發(fā)動機(jī)燃燒室內(nèi)徑與尾噴管直徑相等時，發(fā)動機(jī)質(zhì)量流量對彈體自旋轉(zhuǎn)速度沒有影響。

國內(nèi)多個型號的旋轉(zhuǎn)固體火箭在助推段向巡航段過渡時，均有轉(zhuǎn)速波動進(jìn)而引發(fā)彈道波動的現(xiàn)象發(fā)生，即所謂的“3 s跳”問題，這與采用收縮尾段，使尾噴管口直徑較燃燒室內(nèi)徑小有直接關(guān)系。

從機(jī)理上分析，若發(fā)動機(jī)噴管口徑很小，則燃燒室內(nèi)徑相對較大，被噴出的燃?xì)饬髯孕莿恿烤托?，即帶走的動量矩也就少于此部分燃?xì)庠谌紵覂?nèi)原有的動量矩。但是動量矩是守恒的，則箭體的動量矩就會增加，則箭體自轉(zhuǎn)速度就必然上升;同理，若噴管口較粗，燃?xì)饬鲙ё叩淖孕莿恿枯^多，即動量矩帶走較多，則箭體自旋角速度的增加必然減小。再由圓柱旋轉(zhuǎn)體的Kutta-Joukowski升力公式可得

式中 α為攻角;L為箭體長度;U∞為來流速度。

3 錐形運(yùn)動的存在性

在旋轉(zhuǎn)飛行器的風(fēng)洞試驗和飛行試驗中，雖不每次但卻時常出現(xiàn)的錐形運(yùn)動已有許多研究［8－13］，但這些研究均是在默認(rèn)錐形運(yùn)動已有的前提下進(jìn)行的，并沒有從理論上對錐形運(yùn)動的存在性給出明確的說明。下面利用微分方程定性理論中的Bendixson-Dulac定理［14］，對變質(zhì)量陀螺運(yùn)動普遍方程的極限環(huán)運(yùn)動的存在性進(jìn)行探討，來分析在線性阻尼條件下旋轉(zhuǎn)固體火箭錐形運(yùn)動的存在性。

由Bendixson-Dulac定理，給定微分方程組:

其中，Y、Z∈C1(D)，D是環(huán)域，D中無奇點。

若存在函數(shù) B(y，z)、M(y，z)∈C1(D)，B(y，z)＞0且在環(huán)域D上有

而等號不能在整條軌線上成立，則在D上至多有一個極限環(huán)。若此極限環(huán)存在，則是穩(wěn)定的。

再令 B(y，z)=z2，另設(shè) M(y，z)= －2lnz，則再取充分小的δ＞0及充分大的Σ＞0，則有環(huán)域顯然在環(huán)域D上，有 Y(y，z)、Z(y，z)、B(y，z)、M(y，z)∈C1(D)，且 B(y，z)＞0。再分別計算易得

則

顯然式(19)等號不會在環(huán)域D上的任意一整條軌線上成立;所以方程組(13a)、(13b)滿足Bendixson-Dulac定理條件，故有如下結(jié)論:在線性阻尼力矩條件下，主動段飛行靜穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈，其橫向角速度矢量幅值要么為零，要么矢量端點趨于一個穩(wěn)定的極限環(huán)運(yùn)動。下面分幾種情況討論:

(1)當(dāng)靜穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)箭彈自旋轉(zhuǎn)速不變時，其橫向角速度矢量幅值要么為零，則此時箭體不發(fā)生錐形運(yùn)動;要么橫向角速度矢量端點處于一個穩(wěn)定的極限環(huán)運(yùn)動，則箭體表現(xiàn)為且僅表現(xiàn)為一種穩(wěn)定的錐形運(yùn)動。

(2)在上述的整個分析過程中，并沒有涉及到ωx=0和Mx在彈軸方向的影響，所以對于非旋轉(zhuǎn)火箭，在一定的條件下也同樣會發(fā)生錐形運(yùn)動，如飛船返回艙。當(dāng)飛行器不受持續(xù)的外力矩作用，即Mx=0，My=0，Mz=0時，也可以存在錐形運(yùn)動。

(3)對于旋轉(zhuǎn)固體火箭，無論其是否處于氣動靜穩(wěn)定或中立穩(wěn)定狀態(tài)，均可存在穩(wěn)定的錐形運(yùn)動。

(4)箭體滾轉(zhuǎn)方向阻尼的存在會減小箭體沿x方向的自旋轉(zhuǎn)速，而穩(wěn)定極限環(huán)的存在使橫向角速度矢量幅值保持穩(wěn)定，則箭體總的合成角速度將與x軸夾角變大，進(jìn)而使箭體錐形擺動的幅度加大，所以箭體滾轉(zhuǎn)方向阻尼不利于錐形運(yùn)動的控制;在主動段由于有發(fā)動機(jī)可維持箭體轉(zhuǎn)速的穩(wěn)定，則橫向阻尼的不利影響會被抵消;但在被動段飛行時，橫向阻尼會對箭體姿態(tài)的不利影響加大。

4 旋轉(zhuǎn)固體火箭變質(zhì)量特性的章動阻尼作用

主動段飛行的旋轉(zhuǎn)固體火箭受到氣動力、重力和發(fā)動機(jī)推力的共同作用。當(dāng)飛行中的箭體受到橫向擾動，即章動方向擾動，箭體會產(chǎn)生附加的角運(yùn)動，就同時會出現(xiàn)3種始終與角運(yùn)動方向相反的阻尼力矩:附加空氣動力產(chǎn)生的氣動阻尼力矩;發(fā)動機(jī)工作時燃燒室內(nèi)部存在軸向質(zhì)量移動而產(chǎn)生的哥氏阻尼力矩;發(fā)動機(jī)尾噴流的離去燃?xì)赓|(zhì)量產(chǎn)生附加的哥氏章動阻尼力矩。在絕大部分的型號設(shè)計中，往往僅考慮氣動阻尼力矩，而后2種阻尼力矩往往忽略不計。下面給出變質(zhì)量特性對箭體的章動阻尼作用的解析公式。

由前面分析知，在箭體上沒有外力矩作用時，也可以存在錐形運(yùn)動。故首先設(shè)Mx=0，My=0，Mz=0，再引入復(fù)變量 u= ωy+iωz，μ = μy+iμz，則可將式(6b)、(6c)化為

求解方程(20)得

故有

將上面變量數(shù)值代入，得半衰期為1.34 s。

在國內(nèi)型號研制的飛行試驗中，均發(fā)現(xiàn)實測的彈箭主動段振蕩頻率，總是小于僅考慮氣動阻尼項的理論計算頻率的現(xiàn)象。這是實際飛行中，由于燃?xì)鈬娏髯枘嶙饔么嬖?，再加氣動阻尼，使得彈箭體真實的阻尼系數(shù)較理論計算時所用阻尼系數(shù)大，故而實測的彈箭振蕩頻率在主動段總是小于理論結(jié)果。所以，尾噴流的阻尼作用是不應(yīng)忽視的。

5 結(jié)論

(1)對藥柱端面燃燒的雙推力旋轉(zhuǎn)固體火箭發(fā)動機(jī)，當(dāng)尾噴口半徑與發(fā)動機(jī)燃燒室半徑一致時，能減弱其在助推段向巡航段過度過程中，所產(chǎn)生彈道波動現(xiàn)象，即所謂的“3 s跳”問題。

(2)在箭體自旋轉(zhuǎn)速不變時，主動段飛行的旋轉(zhuǎn)固體火箭，要么不發(fā)生錐形運(yùn)動，要么僅發(fā)生一種穩(wěn)定的錐形運(yùn)動。

(3)在自旋轉(zhuǎn)速保持穩(wěn)定時，旋轉(zhuǎn)彈箭飛行中橫向阻尼的存在，不會影響彈箭錐形運(yùn)動的幅度;但在被動段飛行時，滾轉(zhuǎn)方向的阻尼會使彈箭繞自身縱軸旋轉(zhuǎn)速度下降，致使彈箭錐形運(yùn)動的幅度加大，從而對姿態(tài)穩(wěn)定造成不利影響。

(4)主動段飛行的旋轉(zhuǎn)固體火箭，其發(fā)動機(jī)尾噴流對彈箭的擺動起章動阻尼作用，質(zhì)量流量越大，尾噴口半徑越大，噴口到質(zhì)心距離越大，其阻尼作用越大。該阻尼使實際飛行中的彈箭振蕩頻率，比僅考慮氣動阻尼的理論頻率小。

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