錢幫虎 易坤濤

（同濟(jì)大學(xué)橋梁系 中國 上海 200092）

0 引言

橋梁顫振是一種發(fā)散性的自激振動，主要是由于振動結(jié)構(gòu)在流動的空氣中不斷吸收能量，而該能量又大于結(jié)構(gòu)阻尼在振動中所耗散的能量[1]。 目前，橋梁顫振機(jī)理的研究主要有三類方法，分別是基于氣動導(dǎo)數(shù)的顫振驅(qū)動機(jī)理分析方法[2]、基于計算流體動力學(xué)（CFD）的方法[3]及基于粒子圖像測速技術(shù)（PIV）的方法[4]。

1940 年11 月7 日，Tacoma 橋風(fēng)毀以后， 人們從漩渦對結(jié)構(gòu)振動的驅(qū)動作用角度對其進(jìn)行研究，All-an[5],Green[6]分別以物理模型和數(shù)值模擬從漩渦分布及其對結(jié)構(gòu)的作用方面對Tacoma 橋的風(fēng)毀進(jìn)行解釋，我國的張偉[4]通過PIV 設(shè)備獲得橋梁斷面周圍的漩渦及其運(yùn)動規(guī)律，從而更加清楚地描述出漩渦的這種推動作用。

POD（Proper Orthogonal Decomposition）技術(shù)提供了一種描述結(jié)構(gòu)表面風(fēng)壓場的統(tǒng)計方法, 它將風(fēng)壓場分解為僅依賴空間的協(xié)方差本征模態(tài)和僅依賴時間的主坐標(biāo)。 POD 方法可以找出一系列隨機(jī)過程之間的隱藏在已知數(shù)據(jù)背后的特征，其最大的優(yōu)點(diǎn)就是用很少的幾階本征模態(tài)去表述一個過程，而通常主要模態(tài)和現(xiàn)象的機(jī)理是有很大的關(guān)聯(lián)性[7]。 Armitt[8]最早將POD 技術(shù)用于風(fēng)工程領(lǐng)域。周志勇[9]將POD 技術(shù)用于斜腹板箱型截面顫振時的表面壓力分布特征分析。 分析表明：POD 分解得到的本征模態(tài)中有與顫振扭轉(zhuǎn)發(fā)散運(yùn)動關(guān)聯(lián)極強(qiáng)的本征模態(tài)， 其主坐標(biāo)具有與振動位移一致的發(fā)散性，且主坐標(biāo)有一個與顫振發(fā)散頻率一致的頻率。

本文將對典型的鈍體斷面模型顫振和固定時以及加穩(wěn)定板顫振時進(jìn)行表面壓力分布測試，通過對原斷面模型顫振時表面壓力分布進(jìn)行分析和與固定時進(jìn)行對比分析，試圖找到與顫振發(fā)散有關(guān)聯(lián)性的模態(tài)。 然后將加穩(wěn)定板模型和原斷面模型顫振發(fā)散時本征模型進(jìn)行對比，找出原斷面和加穩(wěn)定板斷面顫振發(fā)散時表面壓力分布的差異。

1 POD 方法的基本數(shù)學(xué)格式

假設(shè)p（x，y，t）為隨機(jī)脈動風(fēng)壓力函數(shù)，那么p（x，y，t）的協(xié)方差函數(shù)C（xi，yi，xj，yj）可寫成

風(fēng)壓力協(xié)方差矩陣C 特征值問題為：

當(dāng)采用矩形積分規(guī)則計算時，式（2）的離散化表達(dá)式為：

其中：ΔAj代表第j 個測壓孔的流域面積。

對每階特征向量進(jìn)行歸一化， 得到歸一化的特征向量，即

每階特征向量對應(yīng)主坐標(biāo)an（t）為

2 典型鈍體斷面原斷面顫振時壓力波動特征

本文對典型的鈍體斷面模型和加穩(wěn)定板模型進(jìn)行表面壓力分布測試，斷面形狀和測點(diǎn)布置見圖1。試驗(yàn)是在均勻流場中進(jìn)行的， 表面壓力采樣頻率為312.5Hz， 采樣點(diǎn)數(shù)為12000 點(diǎn)，采樣時間為38.4 秒。

圖1 典型鈍體斷面形狀和測點(diǎn)布置圖

在零風(fēng)速下， 鈍體斷面模型豎彎和扭轉(zhuǎn)頻率分別為1.334Hz 和2.339Hz。原斷面模型和加穩(wěn)定板模型顫振發(fā)散風(fēng)速分別為7m/s 和8.5m/s， 顫振頻率分別為2.308Hz 和2.310Hz。 由于鈍體斷面模型顫振發(fā)散是典型的分離流顫振，顫振頻率很接近扭轉(zhuǎn)頻率。

為了明確顫振時模型各部分壓力波動特性，將模型的表面輪廓線分成上方左側(cè)，上方右側(cè)，下方左側(cè)，下方右側(cè)，左側(cè)腹板，右側(cè)腹板六部分。 顫振時鈍體斷面模型各部分壓力分布對升力矩的貢獻(xiàn)見表1，其幅值譜見圖2。 從圖2 和表1中都可以看出：鈍體斷面模型的上方右側(cè)和下方左側(cè)的壓力波動在總升力矩波動中占了絕大部分，有90%左右。

圖2 鈍體斷面模型各部分升力矩幅值譜

表1 鈍體斷面模型顫振發(fā)散時各部分壓力分布對升力矩貢獻(xiàn)

3 鈍體斷面模型表面壓力POD 分析

3.1 原斷面模型顫振發(fā)散時表面壓力POD 分析

原斷面模型共有98 個測點(diǎn)， 所以協(xié)方差矩陣為98×98的實(shí)對稱矩陣，可以求解出98 階本征模態(tài)。 每一階本征模態(tài)反應(yīng)壓力分布的空間特性，每一階本征模態(tài)對應(yīng)的主坐標(biāo)反應(yīng)了該階模態(tài)的時間特性，從而實(shí)現(xiàn)了從時間和空間角度各自對表面壓力分布進(jìn)行研究，探討顫振發(fā)散的機(jī)理。 由于顫振是單一頻率的運(yùn)動， 所以對其表面壓力進(jìn)行POD 分解時，只會有一階或很少幾階模態(tài)與顫振運(yùn)動聯(lián)系緊密，我們?nèi)∏? 階進(jìn)行觀察，后面的高階模態(tài)所含的能量已經(jīng)很少，不會對顫振運(yùn)動產(chǎn)生很大影響。

原斷面模型顫振時前八階本征模態(tài)φn（xi，yi）以及每階本征模態(tài)對應(yīng)的主坐標(biāo)an（t）及幅值譜見圖3。 從圖3 中可以看出：原斷面模型表面壓力POD 分解第2 到6 階模態(tài)主坐標(biāo)都有發(fā)散的趨勢，但第四階及之后的模態(tài)主坐標(biāo)幅值譜幅值較小且沒有一個比較明顯的卓越頻率；第二階本征模態(tài)對應(yīng)的主坐標(biāo)有明顯的發(fā)散趨勢，且其幅值譜有明顯的卓越周期和較大的幅值。 如果把每個測點(diǎn)的特征向量視為一種壓力分布，那么對第二階本征模態(tài)分析不難發(fā)現(xiàn)：鈍體斷面模型的合力中有較大的升力矩，而升力相對較小，這種合力是造成鈍體斷面模型發(fā)生分離流顫振的原因。 從而可以合理地推斷原斷面模型顫振發(fā)散時表面壓力POD 分析獲得的第2 階本征模態(tài)與顫振運(yùn)動有很大的關(guān)聯(lián)性。

圖3 原斷面模型顫振時前八階本征模態(tài)以及對應(yīng)的主坐標(biāo)和幅值譜

3.2 原斷面模型固定和顫振時表面壓力對比分析

圖4 是原模型顫振發(fā)散時的本征模態(tài)及固定時的本征模態(tài)對比圖。 從圖4 中可以看出：原斷面模型顫振發(fā)散時的第1 階模態(tài)與固定時的第1 階模態(tài)很相近，顫振發(fā)散時的第4 階模態(tài)與固定時的第3 階模態(tài)很相近， 顫振發(fā)散時的第5階模態(tài)與固定時的第6 階模態(tài)很相近，顫振發(fā)散時的第6 階模態(tài)與固定時的第5 階模態(tài)很相近。 原斷面模型顫振發(fā)散時的第2，3 兩階本征模態(tài)在模型固定時沒有與之相近的模態(tài)，其它模態(tài)在模型固定時都有與之相近的模態(tài)。

圖4 原斷面模型顫振發(fā)散時模態(tài)和固定時與之相近的模態(tài)

4 小結(jié)

本論文通過對典型鈍體斷面模型和加穩(wěn)定板模型進(jìn)行表面壓力采樣并使用POD 方法進(jìn)行分析，從壓力分布角度探討顫振發(fā)散的機(jī)理。 分析結(jié)果表明：

4.1 鈍體斷面模型顫振時上方右側(cè)和下方左側(cè)的壓力波動在總升力矩波動中占了絕大部分;

4.2 原斷面顫振時表面壓力POD 分解第二階本征模態(tài)對應(yīng)的主坐標(biāo)有明顯的發(fā)散趨勢，且其幅值譜有明顯的卓越周期和較大的幅值；

4.3 原斷面模型顫振發(fā)散時的第2，3 兩階本征模態(tài)在模型固定時沒有與之相近的模態(tài)，其它模態(tài)在模型固定時都有與之相近的模態(tài)。S

［1］項(xiàng)海帆，等.現(xiàn)代橋梁抗風(fēng)理論與實(shí)踐[M].北京：人民交通出版社，2005.

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