梅 凡， 謝寶昌， 高 強(qiáng)， 蔡 旭，2

(1.風(fēng)力發(fā)電研究中心，上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，上海 200240;

2.海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240)

0 引言

在自起動(dòng)永磁同步電機(jī)中，氣隙中的磁場(chǎng)會(huì)由于繞組分布以及定轉(zhuǎn)子開(kāi)槽等原因而發(fā)生畸變，從而影響電機(jī)的運(yùn)行特性。電流會(huì)產(chǎn)生高強(qiáng)度的諧波分量，電磁轉(zhuǎn)矩出現(xiàn)一定的脈動(dòng)，振動(dòng)噪聲和諧波損耗等干擾也會(huì)隨之產(chǎn)生，會(huì)降低電機(jī)的效率，給系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性帶來(lái)危害。在傳統(tǒng)的基于d、q軸的理論分析中，往往忽略電流的高次諧波分量，這會(huì)給永磁電機(jī)的電磁場(chǎng)計(jì)算和性能分析帶來(lái)一定的誤差?？梢圆捎脠?chǎng)路耦合的模型來(lái)解決此問(wèn)題，并結(jié)合有限元的方法，使計(jì)算和分析的結(jié)果更加精確。首先建立好定轉(zhuǎn)子回路的電路方程和電機(jī)模型各個(gè)區(qū)域的電磁場(chǎng)方程，再將電磁場(chǎng)有限元方程與瞬態(tài)定轉(zhuǎn)子電路方程聯(lián)立起來(lái)，這樣就能夠解出每個(gè)瞬時(shí)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的定子相電流和電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩。采取此方法，經(jīng)過(guò)傅里葉分析可得到各次諧波分量，這樣使計(jì)算結(jié)果更能模擬永磁同步電機(jī)的實(shí)際運(yùn)行情況，分析更具有實(shí)際的應(yīng)用意義。

文獻(xiàn)［1］采用場(chǎng)路耦合時(shí)步有限元法分析永磁電機(jī)時(shí)，并未將轉(zhuǎn)子電路方程與電磁場(chǎng)方程耦合。本文考慮轉(zhuǎn)子導(dǎo)條時(shí)采用異步電機(jī)的鼠籠條的等效方法，給自起動(dòng)永磁同步電機(jī)建立了較為完整的場(chǎng)路耦合模型。首先建立了永磁電機(jī)的定轉(zhuǎn)子電路方程和電磁場(chǎng)方程，然后再將它們耦合。在實(shí)際仿真運(yùn)行時(shí)，采用氣隙邊界運(yùn)動(dòng)法來(lái)模擬轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)，并給出具體的計(jì)算和求解過(guò)程。最后對(duì)一臺(tái)2.2 kW的自起動(dòng)永磁同步電機(jī)采用場(chǎng)路耦合的方法進(jìn)行了有限元仿真，分析其電磁場(chǎng)及運(yùn)行特性。

1 電機(jī)的定轉(zhuǎn)子方程和電磁場(chǎng)穩(wěn)態(tài)方程

1.1 電機(jī)的定轉(zhuǎn)子電路方程

永磁電機(jī)定子繞組的等效電路圖如圖1所示。

圖1 定子繞組等效電路圖

為了更加精確地計(jì)算電機(jī)的參數(shù)，在定子電路方程中，要將定子的端部效應(yīng)計(jì)入其中。同時(shí)，諧波分量帶來(lái)的影響以諧波漏抗的形式反應(yīng)到定子漏電感當(dāng)中去。各個(gè)線圈按照一定的串并聯(lián)的連接方式并分相后構(gòu)成各相繞組，接到電源上。以電壓為輸入量，列寫定子繞組各相的回路方程:

其中:下標(biāo)j=a，b，c;

uj——各相的輸入電壓;

ij——每相繞組的定子電流值;

Rj——定子各相繞組的等效電阻，與導(dǎo)體材料的用量和連接方式有關(guān);

Lj——各相的漏電感，包括槽漏電感，端部漏電感，諧波漏電感等;

ej——各相繞組的反電勢(shì)。

在分析永磁電機(jī)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行且僅考慮磁場(chǎng)基波分量的情況下，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條中的感應(yīng)電流可忽略不計(jì)。這是因?yàn)樵诜€(wěn)態(tài)情況下，轉(zhuǎn)子以同步速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子與電源產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以鼠籠條中也就沒(méi)有感應(yīng)渦流。但是為了分析高次諧波磁場(chǎng)的作用，就必須考慮轉(zhuǎn)子導(dǎo)條中的

式中:uk——轉(zhuǎn)子第k個(gè)導(dǎo)條上的電壓;

ik——第k個(gè)導(dǎo)條上流過(guò)的電流;

Re——兩相鄰導(dǎo)條間的端環(huán)的等效電阻;

Le——等效電感;

iek——流經(jīng)第k個(gè)和第k+1個(gè)導(dǎo)條之間的端環(huán)的電流。

1.2 電機(jī)電磁場(chǎng)的穩(wěn)態(tài)分析模型

忽略定、轉(zhuǎn)子鐵心中的渦流及轉(zhuǎn)軸方向上的磁場(chǎng)變化，計(jì)及轉(zhuǎn)子導(dǎo)條的感應(yīng)渦流。各個(gè)區(qū)域的電磁場(chǎng)方程如下。

1.2.1 無(wú)外加電流區(qū)域

在這個(gè)區(qū)域包括定轉(zhuǎn)子鐵心部分，氣隙部分及永磁體部分。永磁體用面電流模擬，體現(xiàn)為邊界的面電流密度，其余部分電流密度為零。所以該區(qū)域的電磁場(chǎng)方程為電流，因?yàn)殡娫串a(chǎn)生的高次諧波的轉(zhuǎn)速不等于同步速，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條與高次諧波產(chǎn)生的磁場(chǎng)之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，就產(chǎn)生了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，從而形成感應(yīng)電流。

轉(zhuǎn)子導(dǎo)條的電流回路和電壓平衡方程式為

1.2.2 定子繞組區(qū)域

定子繞組由線圈組成，線圈中流有電流，該部分的方程為

式中:N1為一個(gè)線圈的匝數(shù)，α為并聯(lián)支路數(shù)，Sb為線圈一個(gè)邊所占面積，αi(i=a，b，c)為單元繞組電流系數(shù)，且他們的值為

J為電流密度，且:

其中，i=A，B，C。可以看到，繞組電流系數(shù)的取值與該區(qū)域槽電流是否導(dǎo)通和電流的方向有關(guān)。

1.2.3 轉(zhuǎn)子導(dǎo)條區(qū)域

轉(zhuǎn)子導(dǎo)條部分的電磁場(chǎng)方程為

式中:Lef為導(dǎo)條有效長(zhǎng)度，磁矢位和導(dǎo)條電壓為未知量。

2 場(chǎng)路模型的耦合與有限元法計(jì)算

場(chǎng)路耦合法就是以三相電壓源作為已知量輸入，將用瞬時(shí)值表示的電機(jī)定、轉(zhuǎn)子回路的電路方程與電機(jī)電磁場(chǎng)方程通過(guò)電樞繞組的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)聯(lián)立起來(lái)，并結(jié)合轉(zhuǎn)子的機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程，直接計(jì)算電機(jī)的磁矢位、繞組電流和電磁轉(zhuǎn)矩等，運(yùn)用電機(jī)瞬態(tài)電磁場(chǎng)的方法，精確分析電機(jī)從起動(dòng)過(guò)程到穩(wěn)態(tài)運(yùn)行整個(gè)過(guò)程的運(yùn)行性能。在每個(gè)求解時(shí)刻下，電機(jī)的電磁場(chǎng)近似按照穩(wěn)態(tài)場(chǎng)來(lái)處理，電機(jī)的轉(zhuǎn)速也假定不變，在求出此時(shí)刻電機(jī)運(yùn)行的各項(xiàng)參數(shù)之后，根據(jù)機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程，就可以得到下一求解時(shí)刻轉(zhuǎn)子位置，從而開(kāi)始下一個(gè)穩(wěn)態(tài)時(shí)刻的求解。將這些穩(wěn)態(tài)求解時(shí)刻的計(jì)算結(jié)果結(jié)合起來(lái)，就得到動(dòng)態(tài)解。因此，只要計(jì)算的步長(zhǎng)Δt選取得合理，計(jì)算結(jié)果就能完全模擬電機(jī)的實(shí)際運(yùn)行情況。

利用場(chǎng)路耦合時(shí)步有限元法，可以將鐵心飽和造成的磁路非線性，齒槽效應(yīng)，端部效應(yīng)，渦流效應(yīng)等都考慮進(jìn)去，并且能計(jì)算出漏磁系數(shù)、波形系數(shù)、漏電感、諧波損耗等初步設(shè)計(jì)不易計(jì)算的參數(shù)，從而使設(shè)計(jì)和分析更加精確和合理。

2.1 場(chǎng)路模型的耦合

定子繞組的感應(yīng)電勢(shì)是把定子區(qū)域場(chǎng)路耦合模型耦合起來(lái)的樞紐，這是因?yàn)槊肯嗟母袘?yīng)電勢(shì)是繞組回路電壓平衡方程式中的一項(xiàng)，但是它需要通過(guò)電磁場(chǎng)的計(jì)算來(lái)得到。反電勢(shì)可以通過(guò)交鏈磁鏈的變化率求得，而磁鏈的值又與節(jié)點(diǎn)的磁矢位的大小有關(guān)。每相繞組的反電勢(shì)為

式中:下標(biāo)x=a，b，c;

Ψx——相繞組磁鏈;

Lef——繞組有效長(zhǎng)度;

np——單元總數(shù);

p——極對(duì)數(shù)。

在電磁場(chǎng)的方程中，定子繞組部分的電流和磁矢位，以及轉(zhuǎn)子導(dǎo)條部分的電流和電壓是未知量。采用差分來(lái)代替求導(dǎo)，運(yùn)用加權(quán)余量法，取權(quán)函數(shù)等于形狀函數(shù)。并將定轉(zhuǎn)子的電磁場(chǎng)方程和電路方程進(jìn)行耦合，得到整個(gè)電機(jī)的場(chǎng)路耦合方程:

其中第一行是電磁場(chǎng)方程，第二行是定子繞組電路方程，第三行是轉(zhuǎn)子的回路電流方程式，第四行是轉(zhuǎn)子的電壓平衡方程。A表示矢量磁位，is表示定子繞組電流，u表示轉(zhuǎn)子導(dǎo)條的電壓，ir表示轉(zhuǎn)子導(dǎo)條的電流。M表示永磁體的勵(lì)磁作用，us表示定子繞組的電壓。系數(shù)矩陣中的系數(shù)要通過(guò)單元分析和總體合成得到。

為了能夠得到永磁同步電機(jī)的瞬態(tài)特性，計(jì)算電機(jī)的轉(zhuǎn)速和每個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)子軸線的機(jī)械角度，要將轉(zhuǎn)子的機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程與上述場(chǎng)路耦合方程相結(jié)合。機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為

可以在區(qū)域求和代替面積分。

2.2 轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的模擬

當(dāng)模擬轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果對(duì)每一個(gè)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)位置的情況重新建模，再劃分網(wǎng)格進(jìn)行求解，那將要耗費(fèi)大量的時(shí)間，使得前處理太過(guò)復(fù)雜?？梢圆捎脷庀哆吔邕\(yùn)動(dòng)法解決此問(wèn)題。將氣隙部分沿著氣隙中心線平均分成兩部分，靠近定子側(cè)的部分，位于定子區(qū)域的靜止坐標(biāo)系中，靠近轉(zhuǎn)子側(cè)的

其中電磁轉(zhuǎn)矩的計(jì)算為部分，位于轉(zhuǎn)子區(qū)域的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中。當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩部分的氣隙相對(duì)于各自的坐標(biāo)系都是靜止的。只有兩部分重合的邊界，也就是氣隙中心線是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的。因此可以將氣隙中心線沿圓周進(jìn)行等距離的設(shè)置節(jié)點(diǎn)，這樣當(dāng)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)時(shí)，定子氣隙部分的節(jié)點(diǎn)方程不變，只需要將轉(zhuǎn)子氣隙邊界的節(jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后的重新對(duì)位，列寫方程即可。

2.3 求解過(guò)程

為了分析永磁電機(jī)的機(jī)電能量轉(zhuǎn)換，要同時(shí)求解電機(jī)的電磁場(chǎng)方程和機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程。計(jì)算過(guò)程如下:

(1)給定負(fù)載轉(zhuǎn)矩，設(shè)定初始時(shí)刻的定子繞組三相電壓，并設(shè)定求解的步長(zhǎng)Δt。

(2)在每一個(gè)求解時(shí)刻t=t0+nΔt，利用場(chǎng)路耦合方法，求解電磁場(chǎng)有限元方程，直至收斂，得到此時(shí)的磁場(chǎng)分布，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流的大小和磁矢位的值。

(3)計(jì)算氣隙中心線上節(jié)點(diǎn)的電磁轉(zhuǎn)矩，再根據(jù)轉(zhuǎn)子的機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程求出機(jī)械角速度Ωr的變化率，然后得到下一時(shí)刻的角速度和轉(zhuǎn)子中心線的位置。

(4)反復(fù)執(zhí)行(2)和(3)，直至仿真時(shí)間達(dá)到設(shè)定的終止時(shí)刻且電機(jī)已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)運(yùn)行，最終得到電機(jī)的暫態(tài)運(yùn)行曲線。

3 場(chǎng)路耦合有限元法的仿真實(shí)例

本文以一臺(tái)2.2 kW的永磁同步電機(jī)為例，先利用傳統(tǒng)的等效磁路法對(duì)這臺(tái)電機(jī)的尺寸大小，永磁體的結(jié)構(gòu)，定、轉(zhuǎn)子的槽型等進(jìn)行了設(shè)計(jì);然后通過(guò)場(chǎng)路耦合時(shí)步有限元法對(duì)設(shè)計(jì)好的電機(jī)進(jìn)行仿真計(jì)算分析。

3.1 電機(jī)的基本結(jié)構(gòu)和主要參數(shù)

利用等效磁路法所設(shè)計(jì)的永磁同步電機(jī)的基本參數(shù)如下:額定功率2.2 kW，額定電壓380 V，極對(duì)數(shù)3，定子槽數(shù)27，轉(zhuǎn)子槽數(shù)24，定子內(nèi)徑140 mm，鐵心長(zhǎng)度120 mm，氣隙長(zhǎng)度0.25 mm，其截面圖如圖2所示。

采用內(nèi)置徑向式的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，轉(zhuǎn)子的機(jī)械強(qiáng)度高，有較強(qiáng)的安全性和可靠性。

為了永磁同步電機(jī)的自起動(dòng)需要，并且能盡量減小反電勢(shì)中的高次諧波，定子槽數(shù)采用分?jǐn)?shù)槽，這樣的設(shè)計(jì)也有利于減小齒槽轉(zhuǎn)矩，同時(shí)為便

圖2 永磁同步電機(jī)的截面圖

于控制極弧系數(shù)，盡量滿足轉(zhuǎn)子磁路的對(duì)稱性，并考慮極槽配合的情況下，選定轉(zhuǎn)子槽數(shù)為極數(shù)的整數(shù)倍。因?yàn)槭怯来朋w勵(lì)磁，將繞組連接成星型，有利于減小雜散損耗，并且可以防止三次諧波在繞組之間產(chǎn)生環(huán)流。

3.2 空載電磁場(chǎng)分析

當(dāng)沒(méi)有外加的激勵(lì)源，只有永磁體磁場(chǎng)的獨(dú)立作用下，永磁同步電機(jī)的磁力線分布如圖3所示。

圖3 永磁同步電機(jī)空載時(shí)的磁力線分布

可以看到，大部分的磁力線都從永磁體的磁極出發(fā)，依次經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)子齒，氣隙，定子齒，定子軛，然后再經(jīng)過(guò)定子齒，氣隙，轉(zhuǎn)子齒，最后回到永磁體。這是因?yàn)殍F磁材料的磁導(dǎo)率比繞組導(dǎo)體大得多，大量磁力線從鐵心中流過(guò)，各部分磁力線分布合理。

靜態(tài)情況下，還可以得到永磁同步電機(jī)的空載氣隙磁密波形，如圖4所示。由于是永磁勵(lì)磁，所以氣隙磁密波形近似矩形波，但是由于定轉(zhuǎn)子開(kāi)槽的影響，使得氣隙磁阻不均勻，進(jìn)入槽的磁力線比較稀疏，而進(jìn)入鐵心齒部的磁力線比較密集。

3.3 額定負(fù)載運(yùn)行特性分析

圖4 空載氣隙磁密

給永磁同步電機(jī)施加額定負(fù)載TN=20 N·m，聯(lián)立機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程和場(chǎng)路耦合方程，就能得到電機(jī)帶負(fù)載起動(dòng)的運(yùn)行特性。電機(jī)的相電流、電磁轉(zhuǎn)矩、機(jī)械角速度的相應(yīng)曲線分別如圖5～圖7所示。

起動(dòng)過(guò)程中，電磁轉(zhuǎn)矩比較大，由轉(zhuǎn)子導(dǎo)條提供，轉(zhuǎn)子角速度曲線的坡度比較陡，加速度比較大，能較快牽入同步速。在t=0.4 s后，相電流基本為正弦波，電磁轉(zhuǎn)矩等于負(fù)載轉(zhuǎn)矩，有輕微的脈動(dòng)，電機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在同步速。永磁同步電機(jī)進(jìn)入穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文利用場(chǎng)路耦合時(shí)步有限元法來(lái)分析永磁同步電機(jī)，并對(duì)一臺(tái)2.2 kW的電機(jī)進(jìn)行了二維電磁場(chǎng)的有限元仿真分析，得到了電機(jī)的磁場(chǎng)分布、相電流波形、轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線和轉(zhuǎn)速特性曲線，通過(guò)與實(shí)際值比較分析，驗(yàn)證了所建立的場(chǎng)路耦合模型的合理性。此方法在分析永磁電機(jī)時(shí)，考慮到了齒槽效應(yīng)、繞組分布、鐵心飽和引起的磁路非線性等問(wèn)題，給永磁電機(jī)的設(shè)計(jì)和分析提供一個(gè)借鑒，同時(shí)對(duì)計(jì)算得到的電流和轉(zhuǎn)矩進(jìn)行傅里葉變換，可以得到各次諧波的分量，這給電機(jī)設(shè)計(jì)的優(yōu)化提供了參考。因?yàn)槭且远ㄗ佣穗妷鹤鳛檩斎肓浚赃@種場(chǎng)路耦合時(shí)步有限元法不僅適用于三相正弦波供電的情況，也可應(yīng)用在多相永磁電機(jī)，電壓為逆變器供電等其他波形的情況。

［1］唐任遠(yuǎn).現(xiàn)代永磁電機(jī)理論與設(shè)計(jì)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2007.

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