☉江蘇省泰州市二中附中 曹文喜

我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.”數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法，在解題中要根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，靈活地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解題，歷來(lái)一直是高考考查的重點(diǎn)之一.舉例如下：

一、利用數(shù)形結(jié)合研究集合問(wèn)題

【解 析】M=（{x，y）|x2+y2=9，0

【注】集合轉(zhuǎn)化為點(diǎn)集（即曲線），而用幾何方法進(jìn)行研究.此題也屬探索性問(wèn)題用數(shù)形結(jié)合法解，其中還體現(xiàn)了主元思想、方程思想，并體現(xiàn)了對(duì)有公共點(diǎn)問(wèn)題的恰當(dāng)處理方法.

二、利用數(shù)形結(jié)合求最值

【解析】等式（x-2）2+y2=3有明顯的幾何意義，它表示坐標(biāo)平面上的一個(gè)圓，圓心為（2，0），半徑則表示圓上的點(diǎn)（x，y）與坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）的連線的斜率.如此以來(lái)，該問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)A在以（2，0）為圓心，以為半徑的圓上移動(dòng)，求直線OA的斜率的最大值，由圖2可見(jiàn)，當(dāng)∠A在第一象限，且與圓相切時(shí)，OA的斜率最大，經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，得最大值為

圖2

【注】通過(guò)轉(zhuǎn)化將此類問(wèn)題變成求斜率最大值的問(wèn)題是常見(jiàn)的也是最簡(jiǎn)捷的方法.

三、利用數(shù)形結(jié)合求線段的長(zhǎng)

圖3

【解析】設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為F2，如圖3，則|MF1|+|MF2|=2a，而a=5，|MF1|=2，故|MF2|=8.又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點(diǎn)，則ON是△MF1F2的中位線， 故

【注】若聯(lián)想到第二定義，可以確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求MF1中點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|ON|，但這樣就增加了計(jì)算量，顯得有些復(fù)雜.

四、利用數(shù)形結(jié)合探究參數(shù)范圍

例4 若方程lg（-x+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解析】將對(duì)數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問(wèn)題，再利用二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解決，原方程變形為

圖4

設(shè)曲線y=（x-2）2，x∈（0，3）和直線y=1-m圖像如圖4所示.由圖可知：

①當(dāng)1-m=0時(shí)，有唯一解，m=1；

②當(dāng)1≤1-m<4時(shí)，有唯一解，即-3

故 m=1或-3

【注】此題也可設(shè)出曲線y=-（x-2）2+1，x∈（0，3）和直線y=m后畫出圖像求解.

五、利用數(shù)形結(jié)合解答復(fù)數(shù)問(wèn)題

圖5

【解析】由于|z-2-2i|=|z-（2+2i）|，有明顯的幾何意義，它表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到復(fù)數(shù)2+2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，因此滿足的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z，在以（2，2）為圓心，半徑為的圓上（如圖5），而|z|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離，顯然，當(dāng)點(diǎn)Z、圓心C、點(diǎn)O三點(diǎn)共線時(shí)，|z|取得最值，故|z|的取值范圍為

【注】本題運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合法”，把共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示、代數(shù)運(yùn)算的幾何意義等都表達(dá)得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的生動(dòng)活潑.一般地，復(fù)數(shù)問(wèn)題可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義而將問(wèn)題變成幾何問(wèn)題，也可利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、復(fù)數(shù)性質(zhì)求解.

數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.平時(shí)教學(xué)時(shí)要注意培養(yǎng)學(xué)生的這種思想意識(shí)，做到胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，從而開(kāi)拓學(xué)生的思維視野.