☉江蘇省海門市能仁中學 花永平

以表助形，規(guī)律顯現(xiàn)
——談平面直角坐標系中有關(guān)正方形的規(guī)律探究

☉江蘇省海門市能仁中學 花永平

近幾年中考中，以正方形和平面直角坐標系兩種元素構(gòu)建的相關(guān)中考題層出不窮，它們體現(xiàn)出以下特點：（1）構(gòu)圖美觀；（2）能夠考查學生的探究能力；（3）具有規(guī)律性.在具體的解題過程中，如何使復雜問題簡單化？如何讓問題規(guī)律明晰化？表格輔助，作用不小.以近幾年中考試題為例，與同行共鳴.

一、與一次函數(shù)同行

例1 （2009 年東營）正方形 A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按圖 1 所示的方式放置.點 A1、A2、A3、…和點 C1、C2、C3、…分別在直線y=kx+b（k＞0）和x軸上，已知點B1（1，1）、B2（3，2），則Bn的坐標是___________.

分析：通過求一次函數(shù)解析式，可以探索出B1、B2、B3這幾個特殊點的坐標，進而借助表格探索B的坐標與正方形的序號數(shù)有怎樣的關(guān)系？

圖1

序號 B點坐標 坐標與序號關(guān)系1 B1B1（21－1，21－1）2 B2B2（22－1，22－1）3 B3B3（23－1，23－1）………n BnBn（2n－1，2n－1）

變形1

（2011年內(nèi)江）在直角坐標系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn-1按圖2所示的方式放置，其中點A1、A2、A3、…、An均在一次函數(shù)y=kx+b的圖像上，點C1、C2、C3、…、Cn均在 x 軸上.若點B1的坐標為（1，1），點 B2的坐標為（3，2），則點An的坐標為________.

序號 A點坐標 坐標與序號關(guān)系1A1（0，1）A1（21－1－1，21－1）2A2（1，2）A2（22－1－1，22－1）3A3（3，4）A3（23－1－1，23－1）………n AnAn（2n－1－1，2n－1）

變形2

把變形 1 中“若點 B1的坐標為（1，1），點 B2的坐標為（3，2）”改為“已知正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1的面積分別是1和4”，則點An的坐標為________.

分析：把面積轉(zhuǎn)化為點B1、B2、…的坐標.結(jié)果同上.

變形3

把變形 1 中“若點 B1的坐標為（1，1），點 B2的坐標為（3，2）”改為“點 A1、A2、A3和點 C1、C2、C3分別在直線 y=x+1 和 x 軸上”，則點An的坐標為________.

分析：利用正方形的性質(zhì)求出點A1、A2、…的坐標.結(jié)果同上.

圖2

變形4

（2012 年錦州） 圖 3，正方形 A1B1B2C1、A2B2B3C2、A3B3B4C3、…、AnBnBn+1Cn，按圖3所示放置，使點 A1、A2、A3、A4、…、An在射線OA 上，點 B1、B2、B3、B4、…、Bn在射線 OB 上.若∠AOB=45°，OB1=1，圖中陰影部分三角形的面積由小到大依次記作 S1、S2、S3、…、Sn，則Sn=________.

圖3

變形5

將圖形再做變化，在直角坐標系中，等腰直角三角形A1B1O、A2B2B1、A3B3B2、…、AnBnBn－1按圖 4 所示的方式放置，其中點 A1、A2、A3、…、An均在一次函數(shù)y=kx+b的圖像上，點B1、B2、B3、…、Bn均在 x 軸上.若點B1的坐標為（1，0），點 B2的坐標為（3，0），則點 An的坐標為________.

二、與拼圖游戲

圖4

例2 （2012年蘇州）已知在平面直角坐標系中放置了5個如圖5所示的正方形（用陰影表示），點 B1在 y 軸上，點 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在 x 軸上.若正方形 A1B1C1D1的邊長為 1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，則點A3到x軸的距離是（ ）.

圖5

分析：根據(jù)已知條件，可以證明含點A的正方形是相似的，通過計算含點A的正方形的邊長及A1到x軸的距離，借助相似性質(zhì)，可以表示出點A2、A3到x軸的距離，如果按照規(guī)律繼續(xù)向右放置，同樣可以表示出An.

序號 含A點的正方形邊長 A到x軸的距離1 1 3■ +1 2 2■ +13 1 3■2 ×1 3■1■ +1 3 3 3 2 ×1 3………1■ +1 n 3（ 3■ ）n－12×1（ 3■ ）n－1

三、與弦圖鑲嵌

圖6

序號 大正方形邊長 小正方形的邊長 小正方形面積1 2（ 3■ +1）24 3 3 9 2 4（ 3■ +1）4 9 9 16 81…………n 2 3（）n（ 3■ +1） 2 3（）n2 3（）2n

通過以上的研究，提醒我們的教師在數(shù)學教學的過程中，需要關(guān)注學生的思維，拓展學生的思路，讓學生找到解決問題的途徑，需要培養(yǎng)學生用數(shù)學思想思考問題，逐步滲透數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等，提升學生分析問題、解決問題的能力.