☉江蘇省南通市第一初級(jí)中學(xué) 劉 寧

學(xué)生的『錯(cuò)誤』：重要的教學(xué)資源
——說(shuō)說(shuō)利用學(xué)生『錯(cuò)誤』實(shí)施探究式教學(xué)的實(shí)踐

☉江蘇省南通市第一初級(jí)中學(xué) 劉 寧

“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”是人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章第一節(jié)第二課時(shí)的內(nèi)容．學(xué)生已學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并且對(duì)它的圖象是一條直線的印象很深刻，為了減少知識(shí)負(fù)遷移對(duì)學(xué)生的影響，我在教學(xué)時(shí)沒(méi)有回避學(xué)生暫時(shí)出現(xiàn)的“錯(cuò)誤”，而是充分利用學(xué)生的“錯(cuò)誤”，和學(xué)生一起找出錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因、矯正錯(cuò)誤，進(jìn)一步探究和體驗(yàn)圖象性質(zhì)．下面結(jié)合自己的一堂“反比例函數(shù)圖象及其性質(zhì)”公開(kāi)課來(lái)說(shuō)明．

引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)正、反比例函數(shù)的定義和正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)（圖象形狀、圖象位置和函數(shù)增減性三個(gè)方面）后，要求學(xué)生嘗試在所給的坐標(biāo)系中畫(huà)出反比例函數(shù)y=的圖象．

一、利用學(xué)生畫(huà)圖的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)圖象的特征

師：我們來(lái)看同學(xué)們畫(huà)的圖象，希望你們能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題．（用實(shí)物投影儀呈現(xiàn)學(xué)生有問(wèn)題的圖象）

生1：圖1是錯(cuò)的，它沒(méi)有出頭，有端點(diǎn)了．

圖1

圖2

師：為什么錯(cuò)誤？

生1：因?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶浅?以外的所有實(shí)數(shù)，所以圖象可以無(wú)限延伸．

生2：圖2也是錯(cuò)的，它和坐標(biāo)軸有交點(diǎn)了．因?yàn)閤≠0，所以圖象不可能和y軸相交．而y=，所以y≠0，也不可能和x軸相交（．其他同學(xué)幫忙）

生3：圖3畫(huà)的也不對(duì)．圖中畫(huà)的不是平滑的曲線，里面有線段，而線段上的點(diǎn)是不在函數(shù)圖象上的．

師：你怎么說(shuō)明它不在圖象上呢？

眾生：……（學(xué)生思考）

生4：我可以在線段上找一個(gè)點(diǎn)，算算它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的積不等于6，就說(shuō)明它不在上面了．

師：很好！那么我們?cè)诿椟c(diǎn)后應(yīng)該怎樣用平滑的曲線來(lái)連線呢？請(qǐng)看電腦（用幾何畫(huà)板展示連線過(guò)程，并得到圖4）．

圖3

圖4

二、利用學(xué)生負(fù)遷移的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的增減性

學(xué)生受一次函數(shù)增減性的影響，初學(xué)反比例函數(shù)增減性時(shí)很少注意到圖象是間斷的．錯(cuò)誤會(huì)讓他們形成很大的心理反差，很強(qiáng)的“刺激”讓他們對(duì)反比例函數(shù)增減性的非連續(xù)體驗(yàn)更深．

生6：老師，我們這組認(rèn)為不對(duì)．當(dāng)x值從負(fù)數(shù)增大為正數(shù)時(shí)，y值不是減小而是增大．（大部分學(xué)生點(diǎn)頭認(rèn)同）

師：那怎么描述它的增減性呢？

生7：加上“在每個(gè)象限內(nèi)”．（教師同時(shí)板書(shū)，見(jiàn)表1）

師：是不是所有的反比例函數(shù)的圖象都有這樣的特征呢？

教師用實(shí)物投影儀呈現(xiàn)學(xué)生畫(huà)的圖象（絕大多數(shù)學(xué)生畫(huà)圖時(shí)都注意了剛剛的幾個(gè)問(wèn)題）.學(xué)生歸納反比例函數(shù)y=的圖象性質(zhì)（.教師同時(shí)板書(shū)，見(jiàn)表1）.

生8：共同點(diǎn)是形狀相同，都是兩條曲線.不同點(diǎn)是圖象位置不同，前者在第一、三象限，后者在第二、四象限；還有函數(shù)增減性也不同，前者是在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小，后者是在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大.不同點(diǎn)是由k的正負(fù)性決定的.

表1：反比例函數(shù)的性質(zhì)

師：這兩支曲線稱為雙曲線，反比例函數(shù)的圖象稱為雙曲線．（將表格內(nèi)圖象形狀內(nèi)容改為“雙曲線”）

例1 下列函數(shù)中，其圖象在第一、三象限的有_________；當(dāng)x＞0時(shí)，y值隨著x的值的增大而增大的有_____________.

學(xué)生解答略.

三、利用學(xué)生在性質(zhì)應(yīng)用上的錯(cuò)誤，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新（設(shè)計(jì)新問(wèn)題）的意識(shí)

師：給了反比例函數(shù)的解析式，我們能夠判斷它的圖象所在的象限和函數(shù)的增減性；那么，反過(guò)來(lái)，如果已知反比例函數(shù)解析式為y=（強(qiáng)調(diào)這是以前學(xué)生設(shè)計(jì)的一道題），你能增加一個(gè)條件來(lái)限制k的取值范圍嗎？.

生9：本題有錯(cuò).

師：為什么？

眾生：……（不理解，困惑）

師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)很有價(jià)值，同學(xué)們動(dòng)動(dòng)腦筋.

生10：應(yīng)該加條件k≠4，否則就不是反比例函數(shù).

師：很好，小組討論后給出答案.

小組1：若函數(shù)的圖象位于第一三象限，求k的取值范圍.

小組2：若在每一象限內(nèi)，y隨x增大而增大，求k的取值范圍（用實(shí)物投影儀展示并請(qǐng)學(xué)生給出解答）.

學(xué)生給出代入求值法、利用函數(shù)增減性和利用函數(shù)示意圖三種方法.

師：我將原題略做修改，改為“若點(diǎn) A（－7，y1），點(diǎn) B（－5，y2）在雙曲線y=上，則y1與y2的大小關(guān)系是________.”

師：你能夠在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行修改，也設(shè)計(jì)一道題目嗎？小組討論一下，給出你們所設(shè)計(jì)的題目.

學(xué)生設(shè)計(jì)如下，作為本堂課的反饋性訓(xùn)練.

（1）若點(diǎn) A（7，y），點(diǎn) B（－5，y）在雙曲線 y=上，則y1與y2的大小關(guān)系是________.

學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，明確在運(yùn)用函數(shù)增減性時(shí)一定要考慮系數(shù)k的正負(fù).

教師把學(xué)生設(shè)計(jì)的題（2）修改：若點(diǎn) A（x1，y1），點(diǎn) B（x2，y2）在函數(shù)y=（k＜0）的圖象上，且 x＞x，則 y1與 y2的大小關(guān)系是________.

學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，得到 x1＞x2＞0，x1＞0＞x2，0＞x1＞x2三種情況下的不同結(jié)果.

總結(jié)歸納略．

德國(guó)哲學(xué)家黑格爾曾說(shuō)過(guò)：錯(cuò)誤本身是“達(dá)到真理的一個(gè)必然環(huán)節(jié)”，“由于錯(cuò)誤真理才會(huì)發(fā)現(xiàn)”.充分利用學(xué)生的“錯(cuò)誤”，分析錯(cuò)誤原因、矯正錯(cuò)誤，就能更好地引導(dǎo)學(xué)生探究新知.

1.雷曉莉.對(duì)反比例函數(shù)圖象生成的教學(xué)反思［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2011（1－2）：33～34.