☉廣東省中山市華僑中學(xué) 張立平

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是概括的過程，概括就是由個別事物分離出同類事物的本質(zhì)屬性.所以沒有概括學(xué)生就不能掌握理解概念，不能運用概念，就不能形成概念，那么概念所涉及的知識學(xué)生就不可能掌握.所以在函數(shù)教學(xué)中我們要重視函數(shù)概念過程教學(xué)，突出函數(shù)的本質(zhì).概念教學(xué)遵循從具體到表象再到抽象的過程，讓學(xué)生從具體的實例出發(fā)歸納總結(jié)概念的本質(zhì)屬性.函數(shù)概念學(xué)習(xí)可分為三個階段：感受階段—抽象階段—強化階段.

一、感受階段

學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個主動建構(gòu)的過程，主動地建立新知識和舊知識聯(lián)系是學(xué)生學(xué)習(xí)概念的必要條件.在函數(shù)教學(xué)時，為了讓學(xué)生感受事物的共性，教師可創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，激活學(xué)生初中已有的函數(shù)知識.如：天體運動規(guī)律，早上騎車去上學(xué)等一些簡單的例子.在這些過程中有沒有變量，變量有幾個，變量之間有沒有依賴關(guān)系，這些依賴關(guān)系是函數(shù)嗎？從現(xiàn)實的背景出發(fā)，讓學(xué)生思考這一運動變化的過程，感受變量的關(guān)系，同時回憶初中所學(xué)函數(shù)的定義并抽象出函數(shù).然后，在此基礎(chǔ)上教師再提供一些各種類型的函數(shù)，幫助學(xué)生對函數(shù)再認識再抽象.高一書本上的例子有些太復(fù)雜，教師可根據(jù)具體情況選擇課本上或生活中的一些實例.

實例1：一輛動力火車以時速140千米勻速行駛，速度y與時間x的關(guān)系？

實例2：一名同學(xué)買作業(yè)本，一本2塊錢，買x（x∈{1，2，3，4，5，6}）本所付錢數(shù)y與買本數(shù)x之間的關(guān)系？

實例3：復(fù)雜一點的是分段函數(shù)：比如說水費，一個家庭一個月用水量6噸以下，每噸1.2元，超過6噸的部分每噸1.5元，那么用水量x與所付水費y的關(guān)系？

實例4：一名學(xué)生在安靜狀態(tài)下測量自己每分鐘心跳次數(shù)，再在劇烈運動4分鐘后測量自己每分鐘心跳次數(shù)，每隔一分鐘再測一次直到第五分鐘，得到如下表格：

活動后時間第0分鐘第1分鐘第2分鐘第3分鐘第4分鐘心跳次數(shù) 76 143 138 125 100

在這些實際例子中，實例1讓學(xué)生感受到速度任何時間都是140，解析式為y=140，速度沒有隨時間的變化而變化，這是函數(shù)嗎？實例2學(xué)生感受到雖然總錢數(shù)隨著買的作業(yè)本的數(shù)目而變化，但是y=2x，x∈{1，2，3，4，5，6}，自變量只取六個整數(shù)，因變量也只有五個值，圖像不是直線了，而是一些離散的點.實例3學(xué)生感受到水費也隨著所用水量在變化，但是在不同的用水量范圍中變化關(guān)系不同，即讓學(xué)生感受到自變量取不同的值，解析表達式不同，圖像也是有差別的，是由一些折線組成的.實例4讓學(xué)生感受到心跳次數(shù)雖隨時間變化而變化，但是不能用解析表達式表示.呈現(xiàn)各種類型函數(shù)的例子，讓學(xué)生感受函數(shù)的本質(zhì).

二、抽象階段

通過第一階段學(xué)生充分地感受了生活實踐中這些豐富的例子，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析實例，學(xué)生在經(jīng)歷解決實際問題的過程中逐步獲得函數(shù)的本質(zhì)是兩個變量的對應(yīng)關(guān)系.根據(jù)APOS理論學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時，首先開始“活動”只是把函數(shù)看作一個簡單的表達式或公式，這些式子中含有可以賦值和運算的字母；然后學(xué)生把函數(shù)看作可以輸入輸出的機器，于是知識就處于第二狀態(tài)“程序”，這是一個循環(huán)的過程.當(dāng)學(xué)生遇到一個更復(fù)雜的函數(shù)表達式時，學(xué)生就會又回到“活動”階段，進而進一步完善函數(shù)“程序”.當(dāng)學(xué)生經(jīng)過多次“活動”熟悉后就把它內(nèi)化成“程序”儲存在腦中.因此教師可以用“集合”與“對應(yīng)”的語言給出函數(shù)的定義.

實例1中，學(xué)生會出現(xiàn)疑問“函數(shù)定義是一個量隨另一個量而變，而在例1中，速度沒有隨時間的變化而變化，關(guān)系表達式為y=140，這是函數(shù)嗎？”教師需要引導(dǎo)學(xué)生分析這一過程，把“一個量跟著一個量變”和“一個量變，而另一個沒有變”這二者統(tǒng)一起來，找出兩者共同特征.教師可以做如下的分析：設(shè)時間t（小時），0→140，0.1→140，0.2→140，…，5→140，具體分析，讓學(xué)生概括出時間與速度的關(guān)系是：t→140這一對應(yīng)關(guān)系，抽象出對應(yīng)的思想.

實例2中，所付總錢數(shù)y與買的作業(yè)本的本數(shù)可以用表格表示如下：

作業(yè)本數(shù)x 1 2 3 4 5 6所付錢數(shù)y 2 4 6 8 10 12

讓學(xué)生觀察表格，總結(jié)分析錢數(shù)與本數(shù)之間的關(guān)系：

1→2 ，2 →4 ，3→6，4→8，5→10，6→12，兩個量之間滿足如下關(guān)系x→2x.作業(yè)本數(shù)的取值是在1，2，3，4，5，6這六個值范圍內(nèi)，而錢數(shù)也是在六個值2，4，6，8，10，12這六個內(nèi)取值，從而讓學(xué)生抽象出兩個量之間的關(guān)系是兩個數(shù)集之間的對應(yīng).然后我們把實例1和實例2做一個比較，得出兩者的共同特征：在實例1和實例2中兩個變量之間的關(guān)系都是x有一個值，y都有一個唯一確定的值與之對應(yīng)，無論對應(yīng)的值相同或不同，只要存在一個確定值，可以是一對一，也可是多對一.要找到一個唯一確定的值，那必須有確定的對應(yīng)關(guān)系，即對應(yīng)法則來找到我們所要的唯一確定的值.在例1和例2中都是兩個數(shù)集之間的對應(yīng).

實例3中，讓學(xué)生感受自變量在不同的取值范圍內(nèi)，所對應(yīng)的解析表達式是不同的.每一個確定的水量都對應(yīng)了一個唯一確定的水費，讓學(xué)生抽象出這一本質(zhì)屬性.

實例4中，學(xué)生會產(chǎn)生這樣的問題“心跳的次數(shù)與時間的關(guān)系不能用解析式來表達，這是函數(shù)嗎？”教師帶領(lǐng)學(xué)生分析，由以上的例子我們可以總結(jié)出兩個量之間的關(guān)系是“x一個值y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，要找到這個確定值，那必然要有個對應(yīng)法則”.例3中這個對應(yīng)法則就是每一個確定的時間都對應(yīng)了一個唯一的心跳數(shù)，這個對應(yīng)法則只是不能用解析式來表達，對應(yīng)法則不必一定要是解析式.

由以上這么多例子，通過多次“活動”讓學(xué)生抽象出函數(shù)的本質(zhì)，我們可以讓學(xué)生采用集合與對應(yīng)的語言來描述函數(shù)概念，提出函數(shù)的符號.這里要對函數(shù)符號y=f（x）的教學(xué)予以說明.在函數(shù)概念得出以后，教師要對函數(shù)的抽象符號y=f（x）強調(diào)說明，指出y=f（x）只是一個數(shù)學(xué)符號，它是為y是x的函數(shù)的數(shù)學(xué)表示，而不是說y等于f乘上x；y=f（x）有時能用解析式來表達，而有時不能用解析式表達；f（x）與y＝f（a）是不同的，一般情況下，y＝f（a）表示當(dāng)x取a時的函數(shù)值，函數(shù)還可以用g（x），F(xiàn)（x）等來表示.通過在多次“活動”的基礎(chǔ)上讓學(xué)生進一步完善函數(shù)在頭腦中的“程序”.經(jīng)過以上的直觀感受，觀察歸納，抽象總結(jié)，形式化、符號化生成函數(shù)概念.

三、強化階段

在這一階段，為了讓學(xué)生避免在沒有準確掌握函數(shù)概念本質(zhì)時盲目的應(yīng)用，教師可以舉一些與日常生活息息相關(guān)或者和其他科學(xué)相關(guān)的正例，加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，強化函數(shù)的本質(zhì)屬性是“對應(yīng)”.在對應(yīng)的函數(shù)活動中，只有學(xué)生主動地反復(fù)利用函數(shù)“程序”，函數(shù)概念建構(gòu)過程才可能得以實現(xiàn).教師可以利用函數(shù)表示方式的多樣性，讓學(xué)生積極參與到各種活動中來.例如，教師可以設(shè)計這樣一個情景，有一個同學(xué)去上學(xué)，一開始他徒步走了一段路程，后發(fā)現(xiàn)自己忘了拿數(shù)學(xué)書就立即返回拿上數(shù)學(xué)書，后又怕遲到，所以他立刻跑步上學(xué)，累了后繼續(xù)走剩下的路程.讓學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出他走法的圖像，用橫坐標(biāo)表示時間，縱坐標(biāo)表示路程.教師再畫出一些函數(shù)圖像，讓學(xué)生自己設(shè)計問題情境.這樣讓學(xué)生感受到函數(shù)與日常生活的聯(lián)系，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，加深學(xué)生對函數(shù)概念本質(zhì)的理解.以上通過從典型、豐富的具體實例出發(fā)，激發(fā)與學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)的沖突，引起學(xué)生的積極思維，加強知識間的聯(lián)系，抽象概括出函數(shù)的本質(zhì).教師幫助學(xué)生構(gòu)建活動，通過多次活動讓學(xué)生親身體會、感受直觀背景和函數(shù)概念的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生對活動進行思考，內(nèi)化為程序，從而抽象出函數(shù)的特性，認識函數(shù)的本質(zhì)，對函數(shù)形式化和符號化，能對函數(shù)整體認識，在學(xué)生頭腦中建構(gòu)為一個具體的對象.函數(shù)的學(xué)習(xí)是一個不斷完善深化的過程，學(xué)生在后續(xù)對具體的函數(shù)進行研究時，以頭腦中的對象去進行新的活動，經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)進一步完善函數(shù)這一對象，逐漸形成關(guān)聯(lián)的認知結(jié)構(gòu)，建立起與其他概念的聯(lián)系，形成個體頭腦中的認知框架，即圖示結(jié)構(gòu)，并應(yīng)用它解決與函數(shù)概念相關(guān)的問題.

1.賈隨軍.函數(shù)概念的演變及其對高中函數(shù)教學(xué)的啟示.課程·教材·教法，2008，7.

2.呂世虎，王尚志.高中數(shù)學(xué)新課程中函數(shù)設(shè)計思路及其教學(xué).課程·教材·教法，2008，28（2）.