☉中國管理科學(xué)研究院思維科學(xué)研究所 陳振宣

腦科學(xué)的成果與科學(xué)發(fā)展史都證實(shí)左右腦協(xié)調(diào)訓(xùn)練的重要性，在數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中應(yīng)從哪些切入口進(jìn)行探索和研究是本研究中心迫切需要解決的核心問題.下面把個人思考的粗淺想法提出來供大家探討.

一、構(gòu)建數(shù)學(xué)概念、原理的實(shí)際模型

數(shù)學(xué)中的重大概念、原理大多存在不同的意象或?qū)嶋H模型，例如復(fù)數(shù)z=x+yi，其中i是虛數(shù)單位，x、y∈R，它的意象為復(fù)平面上的點(diǎn)P（x，y），又是以原點(diǎn)O為始點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）為終點(diǎn)的平面向量.在定義加、減運(yùn)算之后，可導(dǎo)出重要不等式：

它的幾何模型是：

z1、z2的 對 應(yīng) 點(diǎn) 為 P1、P2，以為鄰邊的平行四邊形OP1QP2，則：

圖1

當(dāng)且僅當(dāng)z1=kz2（k>0），即平行而同向時(shí)等號成立.

當(dāng)且僅當(dāng)z1=kz2（k<0）即OP—→1、OP—→2平行而反向時(shí)等號成立.

眾所周知，上述復(fù)數(shù)的模型或不等式的意象在解決有關(guān)復(fù)數(shù)問題時(shí)威力是十分巨大的.它是解決問題中數(shù)學(xué)思維的載體，也是左右腦協(xié)調(diào)訓(xùn)練的極佳載體，實(shí)例眾多，不勝枚舉.

值得說明的是數(shù)學(xué)重大概念、原理的意象在許多場合是有“形”的，但也不排斥是無“形”的，例如多項(xiàng)式的余數(shù)定理：f（x）被x-α除，所得余數(shù)為f（α）.

一定要為這一重要定理構(gòu)造一有“形”的意象是不容易的.但如以下的符號語言表示：“f（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=Q（x）（xα）+f（α）”，其中Q（x）為n-1次多項(xiàng)式，是人們在進(jìn)行有關(guān)數(shù)學(xué)思維時(shí)常用的載體.

例1設(shè)多項(xiàng)式f（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an是整系數(shù)n次多項(xiàng)式，并且有一個奇數(shù)α及一個偶數(shù)β使得f（α）及f（β）都是奇數(shù)，求證方程f（x）=0沒有整數(shù)根.

當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m-α為兩奇數(shù)之差，為偶數(shù)，（m-α）Q（α）必為偶數(shù)，f（α）為奇數(shù).從①，有f（m）=（m-α）Q（m）+f（α）=偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)≠0；

當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m-β為兩偶數(shù)之差，為偶數(shù)，（m-β）Q（β）必為偶數(shù).從②，有f（m）=（m-β）Q（β）+f（β）=偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)≠0.

所以無論m為何整數(shù)，f（m）≠0，即方程f（x）=0無整數(shù)根.

在數(shù)學(xué)里這類用數(shù)學(xué)符號語言表示的定理公式，它們的意象并非幾何圖形，因而可以說是無“形”的，但是符號語言仍然是有外形的，只不過不是幾何圖形罷了.人們用數(shù)學(xué)符號語言進(jìn)行思考并非僅僅是左腦的活動，而是左右腦協(xié)調(diào)的活動.有關(guān)這一判斷的正誤，已經(jīng)寫信向腦科學(xué)研究部門求證.

二、數(shù)學(xué)語言形態(tài)的轉(zhuǎn)化（互譯）是左右腦協(xié)調(diào)的基本訓(xùn)練

筆者在拙著《高考數(shù)學(xué)命題研究與試題評析》（上?？平坛霭嫔?990年出版）中提出過“數(shù)學(xué)語言形態(tài)有三：普通話語言（或稱口頭語言、自然語言）、符號語言與圖像語言”.在解決問題的數(shù)學(xué)思維中經(jīng)常需要進(jìn)行語言形態(tài)的轉(zhuǎn)化（互譯），大量問題就是靠這種“互譯”解決的.

例2 設(shè)p≠0，實(shí)系數(shù)一元二次方程z2-2pz+q=0有兩個虛根z1、z2，它們在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)分別為F1、F2，求以F1、F2為焦點(diǎn)且過原點(diǎn)的橢圓的長軸長.

解：實(shí)系數(shù)一元二次方程z2-2pz+q=0的兩個虛根分別為z1、由韋達(dá)定理，有

可見這里解決問題的關(guān)鍵是將符號語言“譯”成圖像語言，形成思維上的飛躍，當(dāng)然復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算、韋達(dá)定理則是不可缺少的工具.

這類實(shí)例不僅復(fù)數(shù)中有，在數(shù)學(xué)其他分支中也比比皆是.

圖2

三、定理、公式的內(nèi)涵與外形特征的統(tǒng)一意象的構(gòu)建

在第一點(diǎn)中，已經(jīng)涉及這一問題.由于這在數(shù)學(xué)中的廣泛存在，這里再深入剖析一下.數(shù)學(xué)定理、公式都是有條件、結(jié)論以及適用的范圍，都是有意義的.根據(jù)內(nèi)涵的不同需要分別用不同的數(shù)學(xué)語言形態(tài)表示，不言而喻數(shù)學(xué)公式都是用符號語言表示的.

例3 如△ABC的余弦定理：

它的內(nèi)涵是三角形中：“兩邊的平方和與此兩邊及其夾角余弦之積的兩倍之差等于第三邊的平方.”如果僅僅只死記住公式的外形沒有把內(nèi)涵與公式的外形特征了然于胸，那么遇到如下的問題，就很難與余弦定理聯(lián)系起來.

已知α+β+γ=60°，求sin2β+sin2γ-2sinβsinγcos（120°+α）的值.

一般會動用三角恒等變換求解，不會從余弦定理去思考，其實(shí)對余弦定理的內(nèi)涵與外形了然于胸、又聯(lián)想到正弦定理（a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC） 的人常會注意到：β+γ+120°+α=180°，想到以sinβ、sinγ、sin（120°+α）為邊恰好構(gòu)成一個外接圓半徑為的三角形，無需計(jì)算即得：

左右腦協(xié)調(diào)產(chǎn)生了意料之外的妙解！

這又是左右腦協(xié)調(diào)的產(chǎn)物，它比其他幾種解法都明快.

四、思維方法的概括與運(yùn)用

方法論大師笛卡兒說過“最有價(jià)值的知識是關(guān)于方法的知識”.其實(shí)方法就是一種可以反復(fù)應(yīng)用的模式.縱觀數(shù)學(xué)思維方法的形成（概括）的過程，其實(shí)是人們在解決問題的實(shí)踐中通過分析歸納找出某種規(guī)律，逐步形成一種有形或無形的模式.模式越抽象，應(yīng)用越廣泛.不妨考察一下數(shù)學(xué)模型方法的形成過程，我國的數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》在方程一章中提出18道有關(guān)線性方程組的應(yīng)用題，都?xì)w結(jié)為建立方程組來解，方程組實(shí)質(zhì)上是一種簡單的數(shù)學(xué)模型，這在人們的思想中已萌芽了簡單的數(shù)學(xué)模型方法，在當(dāng)時(shí)可叫做方程思想，也就是把方程看做從已知探索未知的橋梁.以后演變成利用方程與不等式（混合組）探求未知數(shù)（或參數(shù)）的變化范圍，這時(shí)的數(shù)學(xué)模型已變成混合組，當(dāng)問題發(fā)展到在某變化過程中尋求目標(biāo)函數(shù)的最值，這時(shí)的數(shù)學(xué)模型就是問題中的目標(biāo)函數(shù)及變量的限制條件的總和.隨著問題的復(fù)雜化，數(shù)學(xué)模型越來越多樣化.

隨著隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)入數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，人們又概括出“古典概率模型”與各種形式的概率模型，以古典概率模型為例：

首先應(yīng)將實(shí)際問題抽象成等可能事件的樣本空間，然后求樣本點(diǎn)的總數(shù)（即樣本空間：全集Ω的勢），再求有利事件E包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)，即n（E），然后求得事件E的概率

對于各種形式的隨機(jī)問題，凡屬等可能事件，都可通過建立它們的樣本空間按上述模型解決.同一問題由于所建立樣本空間的不同，可以有不同的解法.

例5 袋中裝有a個黑球，b個白球，現(xiàn)在把球隨機(jī)地一個個摸出來，求第k次摸出的一個球是黑球的概率（1≤k≤a+b）.

解法1：給a+b個球編號，把摸出的球依次編排在a+b個位置上，這樣樣本空間與a+b個相異元素的全排列相當(dāng)，那么n（Ω）=（a+b）！，而第k次摸出的一個球是黑球（有利事件）的場合數(shù)，可以看做第k個位置上放置一個球是黑球（有A1a=a），而余下a+b-1個位置上放置a+b-1個相異元素的全排列，即（a+b-1）！.所以n（E）=A1

a（a+b-1）！

解法2：如果樣本空間考慮為第k次摸球，那么n（Ω）就是從a+b個球任選一個，n（Ω）=C1a+b.有利事件E即第k次摸出的是黑球，

當(dāng)然還可以選擇別的樣本空間，獲得其他解法.正由于樣本空間構(gòu)建的多樣性、靈活性、抽象性，因而概率問題是教學(xué)中的難點(diǎn).

人們通過建立不同的數(shù)學(xué)模型解決了許許多多的實(shí)際問題，逐步形成關(guān)于數(shù)學(xué)模型方法的框圖.

數(shù)學(xué)模型方法是應(yīng)用廣泛的思維方法，它的形成與發(fā)展過程充分展示了人腦認(rèn)識規(guī)律的過程.抽象概括中左腦功不可沒，但最終形成框圖（從“無形”到“有形”）時(shí)右腦的想象功能是左腦所無法取代的.

再看看構(gòu)造法.無論是構(gòu)造函數(shù)還是構(gòu)造圖形，都是從問題的內(nèi)涵和外形特征作為切入點(diǎn)的.

例如前面提到的例3就是通過構(gòu)造符合題設(shè)的一個三角形獲解的，那么怎樣想到構(gòu)造三角形的呢？

這是從題的目標(biāo)“求sin2β+sin2γ－2sinβsinγcos（120°+α）的值”時(shí)外形特征與三角形余弦定理的外形特征相似而獲得啟發(fā)的，經(jīng)過與正弦定理的整合，β+γ+120°+α=180°，如果取三角形的外接圓半徑為，那么sinβ、sinγ分別是β、γ的對邊，sin（120°+α）就是120°+α的對邊，答案就躍然紙上了.

可見構(gòu)造的基礎(chǔ)是平時(shí)學(xué)習(xí)積累的定理公式的內(nèi)涵與外形特征統(tǒng)一的有形或無形的意象與題中的條件、結(jié)論（或追求的目標(biāo)）的協(xié)調(diào)與外形特征的相似引起觸發(fā)，于是要構(gòu)造的對象涌現(xiàn)腦際，奇妙解法也就產(chǎn)生了.

再看一個簡單例子.

圖3

這是直角三角形的勾股定理的意象促成了直角三角形的構(gòu)造.這就是前面提到要重視定理、公式的內(nèi)涵與外形特征統(tǒng)一意象的構(gòu)建的原因之一.限于篇幅關(guān)于其他常用數(shù)學(xué)思維方法就不一一作剖析了.

五、數(shù)學(xué)文化的陶冶

腦科學(xué)的新進(jìn)展已證實(shí)情感與思維的千絲萬縷的聯(lián)系，對于情感智力的開發(fā)也是左右腦協(xié)調(diào)研究的重要領(lǐng)域.

數(shù)學(xué)是科學(xué)，但又是重要的文化組成.數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵著無窮的魅力，許多奇思妙想，許多數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，令人匪夷所思，有的奇妙解法就是一篇優(yōu)美的邏輯詩.

數(shù)學(xué)教育中決不可忽視數(shù)學(xué)文化的陶冶作用，而應(yīng)注意對學(xué)生好奇心、好勝心的保護(hù).對于學(xué)生的創(chuàng)造性思維應(yīng)大力發(fā)揚(yáng).在教材中編入一些閱讀材料的“數(shù)苑奇葩”、“數(shù)學(xué)引趣”、“名題欣賞”、“大師小傳”、“趣題妙解”等，對學(xué)生情感智力的提升，品德的升華，都能起到潛移默化的功能.

六、師生情感交流

師生情感交流，教師人格魅力的感染，師愛生，生尊師，教學(xué)相長，相互促進(jìn)，這些都是情感教育中不可忽視的環(huán)節(jié).由于情感與思維的千絲萬縷的聯(lián)系，所以師生情感交流也是左右腦協(xié)調(diào)研究不可忽視的一個側(cè)面.這一領(lǐng)域有許多未知等待人們?nèi)ラ_發(fā).

七、研究性課題

從青少年時(shí)期就應(yīng)該開始培養(yǎng)探究自然規(guī)律的欲望、探究的興趣.追求真理，永遠(yuǎn)不滿足已經(jīng)取得的結(jié)果，這些是成長為拓展型、研究型人才不可缺少的品質(zhì).在教學(xué)中和教材、輔導(dǎo)讀物的編寫中都應(yīng)抓住不放，搭建可研究的平臺，形成研究的氛圍，讓學(xué)生去施展他們的才能.如在《新高中數(shù)學(xué)知識·思想·能力》高一下P66“品嘗發(fā)現(xiàn)三角公式的滋味”、P395“皇陵的墓門是怎樣關(guān)閉的”，高二上P378“圓錐曲線內(nèi)接直角三角形”等.在教學(xué)中還可吸收改造刊物上他人的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)然還可以自己發(fā)掘創(chuàng)造，這一領(lǐng)域是十分廣泛的，有待于人們?nèi)?chuàng)造積累.

八、應(yīng)用課題

培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識，用數(shù)學(xué)眼光去看問題，這是與價(jià)值觀有關(guān)的教育，勇于實(shí)踐敢為人先，合作交流，培養(yǎng)愿為社會主義祖國奉獻(xiàn)才智的志趣，這與情感智力的激發(fā)提升關(guān)系密切.在教育中和教材、教育輔助讀物的編寫中都應(yīng)在這方面下工夫，《新高中數(shù)學(xué)知識思想能力》這套書中有不少應(yīng)用課題的閱讀材料可供參考，這里不細(xì)說了.

九、改進(jìn)學(xué)法，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

1.言必有據(jù)，行必有規(guī)，形成踏實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng).

2.勤于思考，善于思考，積極反思.

3.形成良好的書寫習(xí)慣，不斷提高邏輯表達(dá)能力.

4.從厚到薄，從薄到厚，養(yǎng)成勤于寫筆記的習(xí)慣.

5.做好錯誤記錄薄，爭取不再出現(xiàn)類似錯誤.

6.勇于實(shí)踐，敢為人先，提高合作交流的能力.

7.構(gòu)建知識的邏輯結(jié)構(gòu)的框圖.

以上列舉的九個方面，幾乎覆蓋了整個數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，都直接或間接與左右腦協(xié)調(diào)訓(xùn)練有關(guān).左右腦協(xié)調(diào)訓(xùn)練的切入點(diǎn)有很多，需要我們?nèi)ラ_發(fā)、去創(chuàng)造，當(dāng)我們真正找到了左右腦協(xié)調(diào)訓(xùn)練的有效方法時(shí)，就可以做到既減負(fù)又提高素質(zhì)，我愿和大家一起，把左右腦協(xié)調(diào)訓(xùn)練的作用發(fā)揮到極致，為科教興國作奉獻(xiàn)！