馮國(guó)強(qiáng)， 李戰(zhàn)武， 柳 毅

(1.空軍工程大學(xué)工程學(xué)院，西安 710038; 2.光電控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南洛陽(yáng) 471009)

0 引言

機(jī)載紅外搜索跟蹤(Infrared Search and Track，IRST)系統(tǒng)是一類(lèi)重要的無(wú)源探測(cè)系統(tǒng)，通過(guò)熱點(diǎn)跟蹤方式對(duì)目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)跟蹤，與機(jī)載雷達(dá)系統(tǒng)相比，具有隱蔽性好、抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。通常，機(jī)載IRST系統(tǒng)僅能提供目標(biāo)的方位角及俯仰角信息，但無(wú)法提供目標(biāo)的距離信息，也就無(wú)法真正地實(shí)現(xiàn)無(wú)源定位。這樣，如何實(shí)現(xiàn)機(jī)載IRST系統(tǒng)被動(dòng)測(cè)距的研究課題就被提了出來(lái)［1］。

被動(dòng)測(cè)距是討論如何利用角度觀測(cè)值估算距離的問(wèn)題。其主要思想是采用濾波算法從獲得的目標(biāo)角度信息中實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地估計(jì)目標(biāo)的距離信息。為了滿(mǎn)足實(shí)際工程需要，提高距離估計(jì)精度和實(shí)時(shí)性，設(shè)計(jì)合適的濾波算法是被動(dòng)測(cè)距的關(guān)鍵［2－3］。由于缺乏距離信息，直角坐標(biāo)系下機(jī)載IRST系統(tǒng)觀測(cè)方程的非線性性質(zhì)決定了被動(dòng)測(cè)距必須采用非線性濾波方法。傳統(tǒng)的非線性濾波方法是擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filer，EKF)［4］，但在擴(kuò)展卡爾曼濾波方法中，由于對(duì)非線性函數(shù)的一階線性化，使得解析的狀態(tài)分布在此過(guò)程中不可避免地引入了線性化誤差，降低了濾波精度甚至導(dǎo)致濾波器不穩(wěn)定。為了改善對(duì)非線性問(wèn)題的濾波效果，Julier等人提出了無(wú)跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filtering，UKF)方法［5］，它是對(duì)非線性系統(tǒng)的概率密度函數(shù)進(jìn)行近似，而不是對(duì)系統(tǒng)非線性函數(shù)進(jìn)行近似，因此避免引入線性化誤差，且不需要計(jì)算Jacobi矩陣，比EKF算法具有更好的穩(wěn)定性及跟蹤精度。但標(biāo)準(zhǔn)UKF算法，不僅需要對(duì)狀態(tài)空間進(jìn)行擴(kuò)維，而且不論系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測(cè)量方程是否為非線性方程，需要同時(shí)進(jìn)行無(wú)跡變換，運(yùn)算量大。如將其應(yīng)用到機(jī)載IRST系統(tǒng)被動(dòng)測(cè)距中將嚴(yán)重影響目標(biāo)距離估計(jì)的實(shí)時(shí)性，這對(duì)于瞬息萬(wàn)變的空戰(zhàn)態(tài)勢(shì)來(lái)說(shuō)十分不利。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文根據(jù)機(jī)載IRST系統(tǒng)被動(dòng)測(cè)距的數(shù)學(xué)模型，在不影響濾波性能前提下，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)UKF算法進(jìn)行簡(jiǎn)化，給出了一種簡(jiǎn)化的UKF(SUKF)算法。該算法無(wú)需對(duì)狀態(tài)變量擴(kuò)維，也不需要用Sigma采樣點(diǎn)來(lái)近似狀態(tài)預(yù)測(cè)值和方差，在保持UKF濾波性能的同時(shí)又降低了計(jì)算復(fù)雜度，有利于實(shí)際應(yīng)用。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了SUKF在機(jī)載IRST系統(tǒng)被動(dòng)測(cè)距中的有效性。

1 標(biāo)準(zhǔn)UKF算法

標(biāo)準(zhǔn)UKF適用于任何非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)，算法如下。

設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

觀測(cè)方程為

式中:Xk為n維狀態(tài)向量;Zk為m維觀測(cè)向量;wk－1為與狀態(tài)無(wú)關(guān)的p維狀態(tài)噪聲，協(xié)方差為Q;vk為獨(dú)立于狀態(tài)噪聲的q維觀測(cè)噪聲，協(xié)方差為R。

從式(1)、式(2)可以看出，狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲均為非線性方程的變量，對(duì)應(yīng)著標(biāo)準(zhǔn)UKF。在求Sigma點(diǎn)時(shí)，需要對(duì)狀態(tài)進(jìn)行擴(kuò)維處理［6］，針對(duì)式(1)定義的系統(tǒng)，令

1)初始化。

2) 計(jì)算 Sigma點(diǎn)及其相應(yīng)的權(quán)值［7－8］。

采用比例修正對(duì)稱(chēng)采樣產(chǎn)生擴(kuò)維狀態(tài)的Sigma點(diǎn)集式中:λ=α2(N+κ)－N 為比例因子，1e－4≤α≤1用來(lái)控制無(wú)跡變換Sigma樣本點(diǎn)的分布范圍，當(dāng)系統(tǒng)非線性較強(qiáng)時(shí)，給α取一較小正值，κ為自然數(shù)，β≥0主要用來(lái)控制后驗(yàn)分布函數(shù)高階矩的影響，在高斯分布情況下，選取為矩陣均方根的第i行或第i列，該矩陣均方根的求解可由Cholesky分解得到。

3) 時(shí)間更新［8］。

4) 測(cè)量更新［8］。

由于N=n+p+q，易知擴(kuò)維后的采樣點(diǎn)數(shù)為2N+1，算法復(fù)雜度為0(N3)。顯然，標(biāo)準(zhǔn)UKF算法的復(fù)雜度與擴(kuò)維狀態(tài)的維數(shù)成三次方遞增，當(dāng)n、p和q的維數(shù)都較高時(shí)，運(yùn)算量顯著增加，這對(duì)實(shí)時(shí)應(yīng)用場(chǎng)合是不利的。

2 機(jī)載IRST系統(tǒng)被動(dòng)測(cè)距數(shù)學(xué)模型

載機(jī)地理坐標(biāo)系中目標(biāo)相對(duì)于觀測(cè)載機(jī)的空間幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 直角坐標(biāo)系中目標(biāo)－載機(jī)相對(duì)幾何關(guān)系Fig.1 Relative geometrical relation between the airplane and target in rectangular coordinates

機(jī)載IRST系統(tǒng)被動(dòng)測(cè)距問(wèn)題可描述為:已知觀測(cè)時(shí)間序列上載機(jī)的位置坐標(biāo){(xo1，yo1，zo1)，(xo2，yo2，zo2)，…，(xok，yok，zok)}，利用 IRST 系統(tǒng)測(cè)量的目標(biāo)方位角和俯仰角{(β1，ε1)，(β2，ε2)，…，(βk，εk)}，計(jì)算目標(biāo)相對(duì)距離{r1，r2，…，rk}。

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

如圖1所示，取目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變量為Xk=，而其增加下標(biāo)“O”與“T”分別表示載機(jī)和目標(biāo)在地面三維直角坐標(biāo)系中的狀態(tài)變量，考慮到測(cè)角被動(dòng)測(cè)距的可觀測(cè)性［9－10］，設(shè)載機(jī)在三維空間里機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，第k時(shí)刻的加速度為Uok=［aox，k，aoy，k，aoz，k］T，載機(jī)的狀態(tài)方程為

設(shè)目標(biāo)勻速直線運(yùn)動(dòng)，狀態(tài)方程為

其中狀態(tài)噪聲 wk－1=［wx，k－1，wy，k－1，wz，k－1］T是相互獨(dú)立的零均值高斯白噪聲，其協(xié)方差為:Qk=Q=qI3×3。

則在載機(jī)地理坐標(biāo)系中，勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的相對(duì)狀態(tài)方程為

2.2 系統(tǒng)觀測(cè)方程

根據(jù)模型中的幾何關(guān)系，方位角βk、俯仰角εk和待估計(jì)量(xk，yk，zk)關(guān)系為

用狀態(tài)方程法表示觀測(cè)方程為

3 SUKF在機(jī)載IRST系統(tǒng)被動(dòng)測(cè)距中的應(yīng)用

3.1 SUKF算法的基本思想

在很多實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，系統(tǒng)的模型并不像式(1)那樣復(fù)雜，一般會(huì)存在以下兩種情況［11］:1)狀態(tài)噪聲wk－1和/或觀測(cè)噪聲vk為加性噪聲;2)狀態(tài)方程和測(cè)量方程并不都是非線性方程。當(dāng)實(shí)際系統(tǒng)滿(mǎn)足以上條件之一時(shí)，均可考慮在保證濾波器性能的前提下對(duì)標(biāo)準(zhǔn)UKF進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，以達(dá)到降低計(jì)算量的目的:簡(jiǎn)化算法中，對(duì)于加性噪聲，無(wú)需對(duì)狀態(tài)量進(jìn)行擴(kuò)維，可以不同程度的減少運(yùn)算量;而對(duì)于線性方程，理論上由于卡爾曼濾波器(KF)是最優(yōu)的，因此可以直接用KF進(jìn)行運(yùn)算，而不必用多個(gè)采樣點(diǎn)來(lái)近似，這就是簡(jiǎn)化的UKF(Simplified UKF，SUKF)算法思想。

3.2 機(jī)載IRST系統(tǒng)被動(dòng)測(cè)距中的SUKF算法推導(dǎo)

考慮式(16)和式(19)所描述的機(jī)載IRST系統(tǒng)被動(dòng)測(cè)距模型，觀測(cè)方程是非線性的，而狀態(tài)方程是線性的，且狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲都是加性的高斯白噪聲。由前面的討論知，用SUKF算法進(jìn)行處理時(shí)，無(wú)需對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行擴(kuò)維，同時(shí)對(duì)于線性狀態(tài)方程直接應(yīng)用KF進(jìn)行時(shí)間更新，由此得到的SUKF算法的詳細(xì)流程如下。

2)時(shí)間更新。

3)測(cè)量更新。

計(jì)算Sigma采樣點(diǎn)

式中:L是狀態(tài)維數(shù)。

4 仿真分析

下面對(duì)本文所提算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并與EKF、UKF進(jìn)行對(duì)比。

4.1 仿真設(shè)計(jì)

目標(biāo)從位置(32 km，29 km，5 km)開(kāi)始，沿X軸正方向勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為0.25 km/s。為滿(mǎn)足可觀測(cè)性要求，觀測(cè)載機(jī)從位置(10 km，10 km，3 km)開(kāi)始，以0.25 km/s速度沿平行于目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方向反復(fù)循環(huán)作加速—減速—加速運(yùn)動(dòng)，加速度為±0.5g，速度變化范圍為［0.25 km/s 0.4 km/s］。其中t時(shí)刻加速度的變化滿(mǎn)足如下規(guī)律

載機(jī)利用IRST系統(tǒng)測(cè)量的角度信息完成目標(biāo)距離的估算。測(cè)量誤差分兩組，第1組誤差較小，方位角、俯仰角測(cè)量誤差為0.5 mrad;第2組誤差較大，方位角、俯仰角測(cè)量誤差為2 mrad。

仿真中濾波器初值分兩種情況設(shè)置:1)初值有誤差，假定目標(biāo)距離搜索范圍為0～150 km，速度范圍假定為 －0.45～ +0.45 km/s，在此假定下可由概率論知識(shí)得到目標(biāo)位置和速度的期望值以及協(xié)方差值作為濾波器初始條件［12］;2)初值準(zhǔn)確，無(wú)誤差。

仿真性能用測(cè)距誤差衡量，定義第i次仿真中k時(shí)刻的測(cè)距誤差為

其中:N為觀測(cè)次數(shù);M為Monte-Carlo仿真次數(shù)，仿真中采用M次仿真實(shí)驗(yàn)距離誤差的平均值作為測(cè)距誤差的輸出。

設(shè)采樣周期T=1 s，觀測(cè)次數(shù)N=200 s，在相同的初始條件下進(jìn)行100次Monte-Carlo仿真。實(shí)驗(yàn)是在一臺(tái)Pentium 4 CPU 3.06 GHz計(jì)算機(jī)上利用Matlab完成的。

4.2 仿真結(jié)果及分析

圖2給出了初值有誤差情況下，不同測(cè)量誤差的距離誤差曲線。由圖2可以看出，對(duì)于第1組誤差較小的情況，SUKF和UKF都可以在90 s內(nèi)將測(cè)距誤差收斂至100 m以下，并且隨著時(shí)間推移，二者測(cè)距誤差曲線幾乎完全重合，而EKF收斂效果最差，表現(xiàn)為收斂速度慢、測(cè)距精度不高;對(duì)于第2組誤差較大的情況，各算法的距離估計(jì)誤差都有所增加，SUKF和UKF的收斂效果仍?xún)?yōu)于EKF。盡管SUKF和UKF在開(kāi)始一小段時(shí)間對(duì)距離的估計(jì)存在細(xì)微的差異，致使收斂曲線不完全一致，但120 s內(nèi)兩曲線就趨于重合，且將測(cè)距誤差收斂至200 m以下。

圖2 初值有誤差情況下的距離誤差曲線Fig.2 The error curve of distance for biased initial value

圖3 給出了在初值無(wú)誤差情況下的距離誤差曲線。

圖3 初值無(wú)誤差情況下的距離誤差曲線Fig.3 The error curve of distance for precise initial value

由圖3可見(jiàn)，在初值無(wú)誤差而且測(cè)量誤差很小的理想情況下，UKF和SUKF的距離誤差收斂曲線比較接近，性能基本一致，而EKF收斂速度最慢，但收斂后與前兩者的性能相差不大;隨著測(cè)量誤差的增大，UKF和SUKF的性能也基本相同，但EKF的測(cè)距精度明顯差于UKF和本文算法，究其原因，測(cè)量方程(20)的非線性是較強(qiáng)的，EKF由于采用一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)近似，當(dāng)出現(xiàn)大的估計(jì)誤差時(shí)其線性化誤差的影響也很大，因此收斂效果不佳。

總的來(lái)說(shuō)，相對(duì)而言EKF對(duì)于測(cè)量誤差、初始狀態(tài)估計(jì)誤差都很敏感;SUKF和UKF兩種濾波器的性能基本一致，比EKF性能要好一些。

表1給出了不同算法完成一次時(shí)間遞推平均所需的計(jì)算時(shí)間。從表1可以看出，EKF算法的運(yùn)算量最小，UKF的運(yùn)算量比其他兩者都高，而SUKF的運(yùn)算時(shí)間相比于UKF減少了約35%。

表1 不同算法的運(yùn)算時(shí)間比較Table 1 Computation time cost of different algorithms

由此可見(jiàn)，SUKF應(yīng)用到機(jī)載IRST系統(tǒng)被動(dòng)測(cè)距問(wèn)題中，具備了和UKF同樣的濾波精度，但其所需要的運(yùn)算時(shí)間卻比UKF大大減少，非常適合于實(shí)時(shí)應(yīng)用。

5 結(jié)論

本文針對(duì)機(jī)載IRST系統(tǒng)被動(dòng)測(cè)距問(wèn)題，根據(jù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲均為加性噪聲，狀態(tài)方程為線性而測(cè)量方程為非線性的特點(diǎn)，推導(dǎo)了簡(jiǎn)化的UKF(SUKF)濾波算法。該算法采用較少的采樣點(diǎn)，用UT變換解決了非線性問(wèn)題，而利用卡爾曼濾波理論處理線性問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，與經(jīng)典EKF相比，UKF測(cè)距精度高，并且不需要計(jì)算Jacobi矩陣，實(shí)現(xiàn)起來(lái)要相對(duì)容易，但以計(jì)算時(shí)間為代價(jià)。而SUKF具有與UKF幾乎相同的測(cè)距精度，且SUKF能在保證濾波器性能的同時(shí)降低運(yùn)算開(kāi)銷(xiāo)。因此，SUKF是一種行之有效的非線性濾波方法，更適合在機(jī)載IRST系統(tǒng)被動(dòng)測(cè)距中應(yīng)用。

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