☉湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳金紅

解題不僅是求解，更是思維過程的揭示；解題不僅是尋找答案，更需要的是“自覺分析”；解題分析不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，更是一種理念；解題學(xué)習(xí)不僅是接受一種方法和思想，更是認(rèn)識(shí)的補(bǔ)充、完善、提高與通俗化解讀的過程.對一道初中背景的難題，盡管有些資料提供了思路，但分析粗糙復(fù)雜化了，為使初中生都搞得懂，本文就如何揭示、完善、通俗化再探如下.

題目：在兩個(gè)三角形的六對元素（三對角與三對邊）中，即使有五對元素對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形也未必全等.

⑴試給出一個(gè)這樣的例子，畫出簡圖，分別標(biāo)出兩個(gè)三角形的邊長.

⑵為了把所有這樣的反例都構(gòu)造出來，試探求并給出構(gòu)造反例的一般規(guī)律（要求過程完整，述理嚴(yán)密，結(jié)論明晰）.

再探 數(shù)學(xué)新課標(biāo)把“雙基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能）變“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)），其中把積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)提到一個(gè)非常高的高度，是一種認(rèn)識(shí)論的回歸，因?yàn)榛顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)確確實(shí)實(shí)在我們的工作中起到暗示、點(diǎn)撥的功效！

一、全等反例經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h2>

受原型“已知兩邊及一邊的對角相等的兩個(gè)三角形不一定全等”（簡稱SSA）啟發(fā)：見圖1，在△ABC與△ABD中，AD=AC、AB=AB、∠ABD=∠ABC，已經(jīng)有三對元素對應(yīng)相等了；再從角的添加入手：若能使∠BAD=∠ACB，那一定就有∠ADB=∠BAC了！從而好像有“五對元素對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形也不全等”！

但細(xì)看發(fā)現(xiàn)：由AD=AC?∠ADC=∠ACB=∠BAD?AB∥BC，出現(xiàn)矛盾！宣告嘗試失??！

二、相似特殊經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h2>

由上失敗故轉(zhuǎn)而分步使條件由少到多推進(jìn)展開探究，退回到非全等的相似模型如圖2，在Rt△ABC與Rt△ACD中，∠B=∠ACD=90°，∠BAC=∠ADC=α，此時(shí)這兩個(gè)三角形相似了，于是有三個(gè)角、一條邊（AC=AC）四個(gè)元素對應(yīng)相等了，在此基礎(chǔ)上只需再添一條邊如BC=CD就符合要求了！

先由Rt△ABC∽R(shí)t△DCA可得：

三、一般相似模型

由分析特殊相似模型得到啟發(fā)，五個(gè)相等元素中不可有三邊對應(yīng)相等的條件，故從角元素入手、邊由少到多推進(jìn)的辦法探討一般相似模型：見圖3，△ABC與△DEF中，已有三角對應(yīng)相等.

四、一般線索的本質(zhì)

從而有：∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F；AB=EF、BC=DF，但AC≠DE（m≠x）.

五、兩個(gè)注腳

綜合知：如果“五對元素（3對角元素、2對邊元素）對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形也不全等”，那么這兩個(gè)三角形必相似，并且每個(gè)三角形中較大邊是其他兩邊的比例中項(xiàng).

確實(shí)正如波利亞所言：沒有任何問題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分的探討與鉆研，我們能夠改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個(gè)解答的理解水平.當(dāng)然在這個(gè)“節(jié)省解題力量、開發(fā)解題智慧”的過程中，我以為運(yùn)用“回歸經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，調(diào)姿拓本溯源”不失為一大良策！

1.黃玉華.在數(shù)學(xué)解題中試行波利亞“怎樣解題表”的做法和體會(huì).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（初中）.2010年第1-2期.

2.陳金紅.不要放棄更初等的想法.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（初中）.2012年第1-2期.