●王伯龍 (彭陽(yáng)縣第三中學(xué) 寧夏彭陽(yáng) 756500)

題目在Rt△ABC中，已知∠C=90°，作CD⊥AB于點(diǎn)D.設(shè)O是△BCD外接圓的圓心.在△ACD內(nèi)有一圓O1分別與線(xiàn)段AD，AC切于點(diǎn)M，N，并與⊙O相切.證明：

(第12屆中國(guó)香港數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

文獻(xiàn)［1］提供的參考答案是先證明一個(gè)不易想到的引理，然后利用托勒密定理進(jìn)行解決，思路崎嶇，令人費(fèi)解.其實(shí)，雖然所證的結(jié)論中涉及的線(xiàn)段較多，但所給的圖形比較特殊，因而更容易聯(lián)想到用解直角三角形的方法證明.

證明如圖1，聯(lián)結(jié)OO1，O1N，作 O1E⊥BC，垂足為點(diǎn) E.設(shè) BC=2R，O1N=r，∠BCD=2θ(R＞r).

(1)在 Rt△BCD中，CD=2Rcos2θ，BD=2Rsin2θ，由∠ACB=90°，CD⊥AB，得

圖1

在Rt△ANO1中，由圖形的幾何性質(zhì)知，∠NAO1= θ，故 AN=rcotθ，從而化簡(jiǎn)式(3)，得關(guān)于r的一元二次方程

于是又得到如下一個(gè)結(jié)論：

結(jié)論在Rt△ABC中，已知∠C=90°，作CD⊥AB于點(diǎn)D.設(shè)O是△BCD外接圓的圓心.在△ACD內(nèi)有一圓O1分別與線(xiàn)段AD，AC切于點(diǎn)M，N，并與⊙O相切，則

(3)CM平分∠ACD;

(4)DM·AB=AM·BM;

［1］ 中等數(shù)學(xué)編輯部.2009-2010國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽題及精解［J］.中等數(shù)學(xué)2011(增刊)：25-26.