●施開明 (蘇州市第十中學(xué) 江蘇蘇州 215006)

圖1

(1)如果點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4，4)，求此時(shí)橢圓C的方程;

(2)證明：直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn).

(2012年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

本題第(2)小題考查的是橢圓的切線問題，常規(guī)的解法是求得直線PQ的方程，與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用判別式證明方程組只有一組解.若應(yīng)用橢圓的切線相關(guān)性質(zhì)，則將得到第(2)小題更簡潔的證法.同時(shí)在本題的基礎(chǔ)上，可探究出一系列的結(jié)論，介紹如下，僅供參考(為了討論方便，下面均假設(shè)相關(guān)直線的斜率存在).

證法1 解析法

顯然 P'P″過焦點(diǎn) F2，有

又F2P⊥F2Q，故點(diǎn)P與點(diǎn)P'重合，即直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn).

證法2 幾何法

因?yàn)镻F1⊥x軸，所以

于是|F2Q|=|F1H|，因此直線PQ為∠F1PF2的外角平分線.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，PQ為橢圓的切線，即直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn).

評(píng)注對(duì)橢圓的上述光學(xué)性質(zhì)簡證如下：

設(shè)F1關(guān)于直線 PQ的對(duì)稱點(diǎn)為 F'1，聯(lián)結(jié)PF'1，易得點(diǎn) F1'，P，F(xiàn)2共線，從而|F1'F2|=2a.設(shè)P'是直線PQ上異于P的任意一點(diǎn)，則

因此點(diǎn)P'不可能在橢圓C上，點(diǎn)P為直線PQ與橢圓的唯一公共點(diǎn)，即PQ為橢圓的切線.

本題中的點(diǎn)P是橢圓通徑的一個(gè)端點(diǎn)，從證法1不難看出，過程并未用到PF1⊥x軸這一條件.事實(shí)上，對(duì)橢圓上任意一點(diǎn)P，第(2)小題的結(jié)論均成立，且其逆命題亦成立，于是有

推廣1 設(shè)F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，其相應(yīng)的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P，Q分別在橢圓及準(zhǔn)線l上，則PF⊥FQ的充要條件是直線PQ為橢圓的切線.

(充分性)設(shè)P(x0，y0)，則切線PQ的方程為

式(1)正是橢圓在點(diǎn)P處的切線方程，即直線PQ為橢圓的切線.

推廣2的證明方法與推廣1類似，這里從略.顯然當(dāng)t=c時(shí)，即為推廣1的結(jié)論.

在雙曲線及拋物線中，也有類似的結(jié)論：

推廣3 設(shè)F為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，其相應(yīng)的準(zhǔn)線為 l，點(diǎn) P，Q分別在雙曲線及準(zhǔn)線 l上，則PF⊥FQ的充要條件是直線PQ為雙曲線的切線.

推廣4 設(shè)F為拋物線的一個(gè)焦點(diǎn)，其相應(yīng)的準(zhǔn)線為 l，點(diǎn) P，Q分別在拋物線及準(zhǔn)線 l上，則PF⊥FQ的充要條件是直線PQ為拋物線的切線.

推廣3的證明與推廣1相同，這里從略.下面給出推廣4的證明：

設(shè)拋物線方程為 y2=2px(p＞0)，P(x0，y0).

(充分性)切線PQ的方程為

因此 kPF·kQF=-1，即 PF⊥FQ.

式(2)即為拋物線在點(diǎn)P處的切線方程，即直線PQ為拋物線的切線.

上述4個(gè)推廣可統(tǒng)一為如下定理：

定理設(shè)F為圓錐曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，其相應(yīng)的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P，Q分別在曲線C及準(zhǔn)線l上，則PF⊥FQ的充要條件是直線PQ為曲線C的切線.