●趙忠平 (永昌縣第一高級中學(xué) 甘肅永昌 737200)

解析幾何綜合問題作為每年數(shù)學(xué)高考的壓軸題型之一，能夠有效地考查學(xué)生的思維能力和運(yùn)算能力.由于解題過程中經(jīng)常出現(xiàn)大量的參數(shù)，需要用到“設(shè)而不求”的思想方法進(jìn)行消參，許多學(xué)生感到運(yùn)算難度大、解題正確率低.本文總結(jié)解析幾何中“設(shè)而不求”的幾種常用技巧，僅供參考.

1 利用曲(直)線定義

例1 過圓外一點(diǎn)P(2，-1)引圓x2+y2=1的2條切線，求經(jīng)過2個(gè)切點(diǎn)的直線方程.

分析設(shè)2個(gè)切點(diǎn)分別為 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則切線方程為

因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)P(2，-1)，所以

可見 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都滿足方程 2x-y=1.因此，經(jīng)過2個(gè)切點(diǎn)的直線方程為2x-y=1.

例2 已知雙曲線的方程是16x2-9y2=144，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.

點(diǎn)評曲線定義中往往包含“數(shù)”與“形”的特征，巧妙運(yùn)用曲線定義可以達(dá)到在運(yùn)算中進(jìn)行“整體代換”的目的.

2 利用韋達(dá)定理

例3 已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0，問是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O.若存在，寫出l的方程;若不存在，請說明理由.

分析設(shè)存在這樣的直線 l：y=x+b，代入x2+y2-2x+4y-4=0，得

設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

由題意OA⊥OB，得

將式(1)，式(2)代入式(3)得

即b=1或b=-4.易驗(yàn)證b=1或b=-4時(shí)，Δ＞0，故直線l存在，其方程為y=x+1或y=x-4.

點(diǎn)評直線與曲線位置關(guān)系的綜合問題一般可以通過聯(lián)立方程組消去一個(gè)變量，得到關(guān)于另外一個(gè)變量的二次方程，再運(yùn)用韋達(dá)定理表示弦長、面積、弦中點(diǎn)、弦的垂直平分線方程等，在運(yùn)算中進(jìn)行“整體代換”，消去多余參數(shù).

3 利用“點(diǎn)差法”

例4 過點(diǎn)M(-2，0)的直線 l與橢圓 x2+2y2=2交于點(diǎn)P1，P2，線段P1P2的中點(diǎn)為P.設(shè)直線l的斜率為k1(k1≠0)，設(shè)直線OP的斜率為k2，則k1k2= ______.

分析設(shè) P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x0，y0)，則

兩式相減得

點(diǎn)評與“弦中點(diǎn)”有關(guān)的問題或與曲線上2個(gè)點(diǎn)斜率有關(guān)的問題通?？梢赃\(yùn)用“點(diǎn)差法”進(jìn)行“整體代換”，從而簡化運(yùn)算.

4 利用方程“整體”結(jié)構(gòu)

分析設(shè) A1(-a，0)，A2(a，0)，M(x1，y1)，N(x1，-y1)，則直線A1M的方程為

直線A2N的方程為

式(4)×式(5)，得

因?yàn)?x1，y1)在雙曲線上，所以

當(dāng)a=b時(shí)，軌跡為以原點(diǎn)為圓心、以a為半徑的圓;當(dāng)a≠b時(shí)，軌跡為橢圓.

點(diǎn)評利用方程整體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，兩式相加或相乘消去多余參數(shù)，從整體上實(shí)現(xiàn)對方程的化簡也是一種常用的“設(shè)而不求”技巧.

5 利用焦半徑公式

因此AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.

點(diǎn)評與曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)有關(guān)的問題常常利用焦半徑公式化簡，可以起到“整體代換”的作用.

6 利用“特征構(gòu)造法”

例7 ADB為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且 OD⊥AB，Q為線段 OD的中點(diǎn).已知|AB|=4，曲線C過點(diǎn)Q，動點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動且保持|PA|+|PB|的值不變.

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程;

分析(1)略.

點(diǎn)評由2個(gè)結(jié)構(gòu)特征完全相同的等式(或不等式)可以先構(gòu)造方程(或不等式)，再利用根與系數(shù)關(guān)系實(shí)現(xiàn)“設(shè)而不求”.