●陳玉蘭 吳志鵬 (德化縣第一中學(xué) 福建德化 362500)

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、極值、最值等)及其圖像的有力工具，但如果對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)理解不到位，就會(huì)在解決函數(shù)問題時(shí)出現(xiàn)不應(yīng)有的失誤，學(xué)生在解決導(dǎo)數(shù)問題時(shí)也就容易出現(xiàn)對(duì)而不全的現(xiàn)象.本文結(jié)合具體案例，對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)過程中出現(xiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行剖析，希望對(duì)讀者有幫助和啟發(fā).

1 對(duì)“過曲線上某點(diǎn)的切線”與“在曲線上某點(diǎn)處的切線”的含義認(rèn)識(shí)模糊

導(dǎo)數(shù)的幾何意義指出：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，利用導(dǎo)數(shù)求曲線在點(diǎn)x0處的切線方程，可分成以下2步：

(1)求出函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，即求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的斜率;

(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).

特別地，如果曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為x=x0.

例1 求曲線f(x)=-x3+3x過點(diǎn)A(2，-2)的切線方程.

錯(cuò)解 因?yàn)辄c(diǎn)A在曲線f(x)=-x3+3x上，且 f'(x)=-3x2+3，所以

故所求切線方程為y+2=-9(x-2)，即

正解 設(shè)在曲線上的切點(diǎn)為P(x0，y0)因?yàn)?/p>

所以在點(diǎn)P處的切線方程為

又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)A，所以

當(dāng)x0=-1時(shí)，切線經(jīng)過點(diǎn) P(-1，-2)和A(2，-2)，切線方程為y=-2;當(dāng)x0=2時(shí)，切線方程為9x+y-16=0.

分析錯(cuò)解中遺漏了y=-2這條切線，失誤的原因是把過點(diǎn)A的切線理解成在點(diǎn)A處曲線的切線.曲線在點(diǎn)A處的切線指的是切點(diǎn)在點(diǎn)A處的切線，而過點(diǎn)A的切線除了切點(diǎn)在點(diǎn)A處的切線外，還可能存在切點(diǎn)不在點(diǎn)A處而經(jīng)過點(diǎn)A的切線，兩者是有區(qū)別的.因此，解題時(shí)必須理清頭緒，分清這2個(gè)易混淆的概念.其實(shí)，“曲線在某點(diǎn)處存在切線”不是“過曲線上某點(diǎn)存在切線”的充分必要條件，而是充分不必要條件.

2 誤認(rèn)為切線斜率的取值范圍與割線斜率的取值

范圍等價(jià)

例2 已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2(a∈R)，若函數(shù)圖像y=f(x)上任意2個(gè)不同點(diǎn)的連線斜率小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

錯(cuò)解因?yàn)閒(x)=-x3+ax2(a∈R)，所以

又因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)圖像上任意2個(gè)不同點(diǎn)的連線斜率小于1，所以f'(x)＜1，即

對(duì)任意x∈R恒成立，從而

分析由拉格朗日中值定理，若函數(shù)f(x)滿足：

(1)在［a，b］連續(xù);

(2)在(a，b)可導(dǎo)，

由這個(gè)定理可知，連續(xù)函數(shù)的圖像在［a，b］上任意2個(gè)點(diǎn)的連線總與它在(a，b)上的某條切線平行，即f(x)在［a，b］上任意2個(gè)點(diǎn)的割線斜率與其在(a，b)上某點(diǎn)ζ處的切線斜率相等.由拉格朗日中值定理獲得的結(jié)論并不具有充要性，錯(cuò)解中f'(x)＜1是f(x)任意2個(gè)點(diǎn)連線斜率都小于1的充分不必要條件，即f(x)在R上任意2個(gè)點(diǎn)連線斜率的取值范圍是其導(dǎo)函數(shù)f'(x)值域的子集.也就是說，對(duì)于某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，不存在函數(shù)f(x)上2個(gè)點(diǎn)連線斜率與之相等.

例如，函數(shù)f(x)=x3，設(shè)其圖像上的任意2個(gè)點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2)，則過這 2 個(gè)點(diǎn)連線的斜率為

而f'(x)=3x2≥0，顯然切線斜率的取值范圍與割線斜率的取值范圍并不等價(jià).

正解1 (構(gòu)造函數(shù)法)

不妨設(shè) x1，x2∈R，且 x1＜x2，則

恒成立，即f(x2)-x2＜f(x1)-x1成立.令g(x)=f(x)-x=-x3+ax2-x，則

即函數(shù)g(x)為R上的減函數(shù)，故

對(duì)x∈R恒成立，即

正解2 (放縮法)

設(shè)曲線上任意 2 個(gè)點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2).由題意得

3 錯(cuò)解了“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”的邏輯關(guān)系

對(duì)于滿足 f'(x0)=0的點(diǎn) x0(稱為駐點(diǎn))，f'(x0)=0是x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的必要而非充分條件.如果把駐點(diǎn)等同于極值點(diǎn)，則容易導(dǎo)致錯(cuò)誤.

錯(cuò)解由已知得

因此當(dāng) x＜a時(shí)，g'(x)＜0，即 g(x)在(-∞，a)上單調(diào)遞減.由(a-6，2a-3)?(-∞，a)，得

故所求的取值范圍為-3＜a≤3.

分析以上解法忽略了一個(gè)小細(xì)節(jié)，解題過程中用到f'(x)=0，即x=1是f(x)的駐點(diǎn)，那x=1是不是函數(shù)的極值點(diǎn)呢?

如果a=1，那么x=1就只是函數(shù)f(x)的拐點(diǎn)而非極值點(diǎn)，而由條件知f(x)在x=1處取得極值，因此應(yīng)排除a=1.從而實(shí)數(shù)的取值范圍應(yīng)是-3＜a＜1且1＜a≤3.

一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0是在該點(diǎn)取極值的必要而非充分條件，即可導(dǎo)函數(shù)在某處取得極值，則函數(shù)在此處的導(dǎo)數(shù)值必等于0;反之，若導(dǎo)數(shù)在某處的值為0，則函數(shù)在該處不一定取得極值，還須進(jìn)一步檢驗(yàn)f'(0)在f'(x)=0的根的左右2邊的導(dǎo)數(shù)值的符號(hào).

4 誤認(rèn)為極值只能在導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)處取得

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且若對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)都有 f(x)＜f(x0)(或 f(x)＞f(x0))，則稱f(x0)為函數(shù)的一個(gè)極大(小)值，稱x0為極大(小)值點(diǎn).

求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟：

(1)求導(dǎo)數(shù)f'(x)，令f'(x)=0.

(2)求方程f'(x)=0的根.

(3)檢驗(yàn)f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右側(cè)的符號(hào).如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果在根的右側(cè)附近為正，左側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處取得極小值.

例4 求函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|的極值.錯(cuò)解 因?yàn)?/p>

令 f'(x)=0，得x=1.當(dāng) -1＜x＜1時(shí)，f'(x)＞0;當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f'(x)＜0.因此當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有極大值4.

分析在確定極值時(shí)，只討論滿足f'(x)=0的點(diǎn)x0附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況是不全面的，在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處也可能存在極值.在上述解法中，顯然忽視了討論x=-1和x=3處導(dǎo)數(shù)不存在的情況，從而產(chǎn)生了丟根的情況.正確的結(jié)果還應(yīng)包括在x=-1和x=3處函數(shù)取到極小值0.當(dāng)然，本題若直接畫出函數(shù)圖像，則一目了然了.

5 曲解了“導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)”與“函數(shù)單調(diào)性”的關(guān)系

設(shè)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若在此區(qū)間f'(x)＞0，則 f(x)在此區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);若f'(x)＜0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，除了掌握以上依據(jù)外，還應(yīng)明確以下幾點(diǎn)(現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明)：

(1)f'(x)＞0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件.如函數(shù)f(x)=x3在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增，但f'(x)≥0.

(2)f'(x)≥0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的必要不充分條件.若f(x)為增函數(shù)，則一定有f'(x)≥0，但反之不一定成立：因?yàn)閒'(x)≥0為f'(x)＞0或f'(x)=0兩者之一成立即可.當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0，則f(x)為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性.

(3)f'(x)≥0且f'(x)在定義域內(nèi)的任意子區(qū)間不恒為0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件.

例5 已知函數(shù)f(x)=ax3-x2+x在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

錯(cuò)解函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)

因此f'(x)＞0在R上恒成立，故

解不等式f'(x)＜0，可得可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;反之，若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為減函數(shù)，則f'(x)≤0在區(qū)間D上恒成立，在解題時(shí)往往易漏掉等號(hào).

總之，導(dǎo)數(shù)是解決有關(guān)問題的重要工具，若在應(yīng)用時(shí)能注意到以上的細(xì)節(jié)，則能準(zhǔn)確解題.