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        貝塞爾函數(shù)在求解變系數(shù)微分方程的應(yīng)用①

        2012-08-21 01:27:44趙忠奎曹麗霞
        關(guān)鍵詞:貝塞爾二階整數(shù)

        趙忠奎, 曹麗霞

        (東北石油大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,黑龍江大慶163318)

        1 問(wèn)題提出

        在常微分方程中,關(guān)于二階常系數(shù)線性微分方程的可解性及解的結(jié)構(gòu),有著詳盡的討論.而對(duì)于變系數(shù)的情形,除了幾種特殊類(lèi)型的方程以外,關(guān)于其解法的討論尚不多見(jiàn).現(xiàn)在,在常微分方程的研究中,雖然已經(jīng)出現(xiàn)了許多引人注目的專(zhuān)題,但對(duì)于方程的解法的探討,仍是十分重要的課題[1].

        本文給出了一類(lèi)二階變系數(shù)線性微分方程,利用未知函數(shù)的線性變換轉(zhuǎn)化虛宗量的貝塞爾方程來(lái)求解,其通解用虛宗量的貝塞爾函數(shù)表達(dá)式表示出來(lái).

        考慮如下二階變系數(shù)線性微分方程

        其中G(x)是已知可微函數(shù),n為實(shí)數(shù),λ為不等于零的實(shí)數(shù).

        2 方程求解

        來(lái)求解方程(1),經(jīng)適當(dāng)未知函數(shù)的線性變換能化為虛宗量的貝塞爾方程.事實(shí)上,作變換[2]

        將函數(shù)y換成u

        把它代入方程(1),便得到以u(píng)為未知函數(shù)二階線性微分方程

        再作變換

        并記

        則得到

        方程(4)是以v為未知函數(shù)虛宗量的貝塞爾方程[3]

        從而,得到方程(4)的通解為

        當(dāng)n不為整數(shù)時(shí),

        當(dāng)n為整數(shù)時(shí),

        這里,In(t),I-n(t)為第一類(lèi)虛宗量的貝塞爾函數(shù),Kn(t)為第二類(lèi)虛宗量的貝塞爾函數(shù)[4]

        其中

        (n=1,2,3,…γ 為歐拉常數(shù))

        由(5)(6)式可得方程(3)的通解為

        當(dāng)n不為整數(shù)時(shí)

        將(7)(8)式分別代入(2)式便得到微分方程(1)的通解為

        當(dāng)n不為整數(shù)時(shí)

        當(dāng)n為整數(shù)時(shí)

        3 舉例應(yīng)用

        下面舉兩個(gè)例子說(shuō)明這種可解類(lèi)型的應(yīng)用

        例1 解方程,

        解 將方程變形成為

        方程(10)便是方程(1)的類(lèi)型,于是作變換

        代入方程(10),得到

        則得到

        由于n=2為整數(shù),根據(jù)(5)式得到方程(13)的通解為

        由(14)式得到方程(12)的通解

        將(15)式代入(11)化簡(jiǎn)整理便得到原方程(9)的通解為

        例2 解方程

        解 將方程變形為

        方程(17)便是方程(1)的類(lèi)型,于是作變換

        代入方程(17),得到

        則得到

        其中

        由(21)式得到方程(19)的通解

        將(22)式代入(18)式化簡(jiǎn)整理后便得到原方程的通解為

        4 結(jié)束語(yǔ)

        從上面的討論和應(yīng)用可以看出,根據(jù)虛宗量的貝塞爾函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)n為半奇數(shù)時(shí),方程(1)的解為初等函數(shù);當(dāng)n不為半奇數(shù)時(shí),方程(1)的解為用虛宗量的貝塞爾函數(shù)表達(dá)式表示出來(lái)的級(jí)數(shù)形式.

        [1]王守田 關(guān)于二階變系數(shù)線性常微分方程的轉(zhuǎn)化問(wèn)題[J].齊齊哈爾師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,17(5):7-10.

        [2]姬志飛 淺析二階齊次線性變系數(shù)微分方程一個(gè)可積類(lèi)型[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)2006,20(1):125 -128.

        [3]王元明.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2004.1:130 -145.

        [4]何淑芷.數(shù)學(xué)物理方法[M].廣州:華南理式大學(xué)出版社,1994.8:251 -265.

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