田 霆 劉次華 陳家清

（國立華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院1） 泉州 362021） （華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院2） 武漢 430074）（武漢理工大學(xué)理學(xué)院3） 武漢 430063）

0 引 言

在可靠性分析中常用的壽命分布（如Weibull分布）的失效率函數(shù)或單調(diào)增加或單調(diào)減少，這些常用的壽命分布不能很好擬合有浴盆形狀失效率的壽命試驗數(shù)據(jù).因為產(chǎn)品的失效一般經(jīng)歷3個階段：失效率減少階段（早期失效期），失效率幾乎是常數(shù)階段（偶然失效期）和失效率增加階段（耗損失效期），即產(chǎn)品的失效率函數(shù)一般有浴盆形狀.為此人們提出了一些有浴盆形狀失效率的壽命分布，Chen［1］給出了一個有浴盆形狀失效率或單調(diào)增加失效率的二參數(shù)模型，并討論了有關(guān)參數(shù)的最大似然估計和區(qū)間估計.Wu等［2］討論了由Chen提出的二參數(shù)模型的最優(yōu)參數(shù)估計.本文討論了由Chen提出的一個2參數(shù)有浴盆形狀失效率的壽命分布參數(shù)的Bayes估計，這個壽命分布的分布函數(shù)為［3］

其密度函數(shù)為

設(shè)產(chǎn)品的壽命服從上述分布（1），現(xiàn)假定有n個產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗，到有r個產(chǎn)品失效時停止試驗（即定數(shù)截尾壽命試驗），其次序失效數(shù)據(jù)為

而在實際問題的處理中由于試驗手段的原因，有部分?jǐn)?shù)據(jù)未觀察到.假設(shè)前s－1個數(shù)據(jù)丟失，則此時觀察到的次序失效數(shù)據(jù)為

此即為雙邊定數(shù)截尾樣本.該種類型的截尾樣本方式在實際中有著廣泛的應(yīng)用.

已有很多文獻(xiàn)對上述類似情況作了討論，文獻(xiàn)［4］利用Lindley近似方法在定數(shù)截尾情形下獲得了2參數(shù)EW分布參數(shù)和可靠性指標(biāo)的Bayes估計.文獻(xiàn)［5］在雙邊定數(shù)截尾情形下，給出了2參數(shù)指數(shù)－威布爾分布（EW）形狀參數(shù)的Bayes估計.文獻(xiàn)［6］給出了負(fù)相伴樣本情形下線性指數(shù)分布參數(shù)的漸近最優(yōu)的經(jīng)驗Bayes估計.本文參考上述文獻(xiàn)討論了在雙邊定數(shù)截尾情形下一個2參數(shù)有浴盆形狀失效率的壽命分布參數(shù)在平方損失下基于無信息先驗下和共軛先驗信息下的Bayes估計.

1 極大似然估計

對于雙邊定數(shù)截尾樣本（4），假定參數(shù)β已知，當(dāng)產(chǎn)品來自分布（1），則此樣本的似然函數(shù)為：（記＝（xs，xs＋1，…，xr－1，xr））

由式（6）即可得參數(shù)θ的極大似然估計，記為：＾θML.

2 Bayes估計

在對分布參數(shù)作Bayes分析時，大都選取無信息先驗（均勻分布）作為未知參數(shù)的先驗分布，這在一定程度上使得估計的結(jié)果會有較大的偏差.而在實際應(yīng)用中，通過多次實驗，根據(jù)專家經(jīng)驗和歷史信息，可以獲得關(guān)于未知參數(shù)的部分先驗信息，從而選取合適的先驗分布.

1）無信息先驗下參數(shù)θ的Bayes估計 參數(shù)β給定時，用無信息先驗均分布作為θ的先驗分布，即

由式（5）和（7），可得θ的后驗分布為

在平方損失下，參數(shù)θ的Bayes估計為

記作：＾θBs.

2）共軛先驗信息先驗下參數(shù)θ的Bayes估計 參數(shù)β給定時，可用共軛先驗信息Γ（γ，δ）作為θ的先驗分布［7］，即

式中：超參數(shù)γ，δ可由歷史專家或?qū)＜医?jīng)驗給出.則由式（5）和（10），可得θ的后驗分布為

仿式（9）的方法，得

則在平方損失下，參數(shù)θ的Bayes估計為

3 Monte－Carlo模擬及結(jié)論

當(dāng)此分布參數(shù)β已知（假定β＝0.2），參數(shù)θ的真值取為θ＝0.6，為了比較參數(shù)θ的極大似然估計＾θML，和在平方損失下基于無信息先驗下和共軛先驗信息下（超參數(shù)γ＝3，δ＝3）的Bayes估計＾θBs和.為此本文作了大量的Monte－Carlo模擬實驗，其部分模擬結(jié)果見表1.

表1 部分模擬結(jié)果

由表1可見，當(dāng)樣本n較大時，r愈大，s愈小，即丟失數(shù)據(jù)的數(shù)目愈小，Γ先驗的Bayes估計與極大似然估計差不多，更接近于真值，都比無先驗的Bayes估計要好.故應(yīng)盡量避免數(shù)據(jù)丟失，而且還要充分利用歷史信息，獲得關(guān)于未知參數(shù)的部分先驗信息，從而對分布的參數(shù)作更好的估計.

［1］CHEN Z.A new two－parameter lifetime distribution with bathtub shape or increasing failure function［J］.Statistics ＆ Probability Letters，2000，49：155－161.

［2］WU J W，WU C C，TSAI M H.Optimal parameter estimation of the two－parameter bathtubshaped lifetime distribution based on a type－II right censored sample［J］.Applied Mathematics and Computation，2005，17：807－819.

［3］王炳興.一個兩參數(shù)有浴盆形狀失效率的壽命分布的參數(shù)估計［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2008，23（4）：408－414.

［4］FERNSNDEZ A J.Bayesian from type II doubly censored Rayleigh data［J］.Statistics ＆ Probability Letters，2000，48：393－399.

［5］馮 艷，師義民，周巧娟.雙邊定數(shù)截尾情形下指數(shù)－威布爾分布參數(shù)的Bayes估計［J］.系統(tǒng)工程，2006，9（24）：117－120.

［6］陳家清，彭紅偉，董 銳.負(fù)相伴樣本情形下線性指數(shù)分布參數(shù)的漸近最優(yōu)的經(jīng)驗Bayes估計［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報：交通科學(xué)與工程版，2011，35（2）：387－391.

［7］茆詩松.貝葉斯統(tǒng)計［M］.北京：中國統(tǒng)計出版社，1999.