夏加寬 彭 兵 王成元 董 婷 孫宜標(biāo) 韓桂新

（1.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院 沈陽(yáng) 110870 2.沈陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械裝備系 沈陽(yáng) 110045）

1 引言

直接驅(qū)動(dòng)的表貼式永磁同步電機(jī)通常采取近極槽方案，獲得了一些優(yōu)異的性能，如高轉(zhuǎn)矩密度、高的系統(tǒng)效率和高伺服精度[1-3]，在航空航天、機(jī)床、汽車(chē)、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域倍受青睞[4-7]。與傳統(tǒng)分布繞組永磁電機(jī)相比，近極槽永磁同步電機(jī)的磁路發(fā)生了一些變化，帶來(lái)了一些寄生影響，齒頂漏磁是其寄生影響之一。

嚴(yán)重的齒頂漏磁降低了永磁材料的利用率，降低了電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩。當(dāng)電機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)還會(huì)引起鏈過(guò)各相繞組的磁通發(fā)生周期性波動(dòng)，使電機(jī)繞組感生的反電動(dòng)勢(shì)發(fā)生波動(dòng)，產(chǎn)生紋波轉(zhuǎn)矩，影響系統(tǒng)的控制精度[8]。文獻(xiàn)[9]研究了近極槽配合表貼式永磁同步電機(jī)齒頂漏磁的有限元計(jì)算方法，得到了一些有益的結(jié)論；文獻(xiàn)[10]研究了單齒齒頂漏磁的計(jì)算方法，給出了單齒齒頂漏磁的解析表達(dá)式；文獻(xiàn)[11]研究了單齒齒頂漏磁和平均每極齒頂漏磁的計(jì)算方法，分析了平均每極齒頂漏磁的大小和電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)齒頂漏磁的影響。但是以上文獻(xiàn)均沒(méi)有分析齒頂漏磁對(duì)鏈過(guò)三相繞組主磁通的影響，沒(méi)有分析其引起的紋波轉(zhuǎn)矩和對(duì)平均電磁轉(zhuǎn)矩降低的程度。

本文以單齒齒頂漏磁為基礎(chǔ)，分析了一對(duì)極下的齒頂漏磁的規(guī)律，把齒頂漏磁和三相繞組聯(lián)系了起來(lái)。接著對(duì)齒頂漏磁函數(shù)進(jìn)行了傅里葉分解。然后分析了齒頂漏磁與反電動(dòng)勢(shì)和轉(zhuǎn)矩的關(guān)系。最后，以120槽80極外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)為例，結(jié)合Ansoft有限元仿真軟件驗(yàn)證齒頂漏磁對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)矩影響分析方法的正確性。

2 近極槽表貼式永磁電機(jī)齒頂漏磁諧波

2.1 單齒齒頂漏磁函數(shù)

假設(shè)鐵心導(dǎo)磁率為無(wú)窮大，不考慮槽口漏磁，根據(jù)文獻(xiàn)[11]可知，當(dāng)齒中線(xiàn)與鄰近的q軸重合時(shí)，該齒的齒頂漏磁最大；齒中線(xiàn)與鄰近的d軸重合時(shí)，該齒的齒頂漏磁為零，在一個(gè)齒距內(nèi)，單齒齒頂漏磁與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)角度θ 的關(guān)系如圖1所示。

圖1 單齒齒頂漏磁通圖Fig.1 Zigzag leakage flux diagram of one tooth

圖1中，z為槽數(shù)；p為極對(duì)數(shù)；bs為槽距；τ為極距；bm為永磁體寬度，bm=αpτ，αp是極弧系數(shù)；n為轉(zhuǎn)速；Φm為永磁體向外磁路提供的磁通；ΦLt為齒頂漏磁通；θ為q軸相對(duì)定子槽中線(xiàn)沿氣隙圓周的夾角。

可以看出，它是一個(gè)周期函數(shù)，其基波分量的波長(zhǎng)等于一個(gè)齒距。據(jù)圖1可寫(xiě)出單齒齒頂漏磁ΦLt的方程式

2.2 基于一對(duì)極下的齒頂漏磁

在圖 1b位置，2齒的齒頂漏磁最大，此時(shí)，2齒的齒中線(xiàn)與第 1個(gè)磁極右側(cè)的 q1軸重合。第 2p個(gè)磁極右側(cè)的的 q2p軸與 1齒的齒中線(xiàn)相差|360°/z-360°/(2p)|角度，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)|360°/z - 360°/(2p)|角度后，1齒的齒頂漏磁達(dá)到最大，如此循環(huán)，電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)一周后，齒頂漏磁周期數(shù)nL為

nL也是槽數(shù)和極數(shù)的最小公倍數(shù)，這和齒槽轉(zhuǎn)矩周期數(shù)相一致。反映到一對(duì)極下，其周期數(shù)nT為

對(duì)3槽2極單元電機(jī)，nT=6；對(duì)12槽10極單元電機(jī)，nT=12；對(duì)9槽8極單元電機(jī)，nT=18，周期數(shù)nT為相數(shù)的偶數(shù)倍。

對(duì)于近極槽三相對(duì)稱(chēng)繞組單元電機(jī)，A、B、C繞組是依次排列的，且連續(xù)幾個(gè)槽都是A相，接著是B相，然后是C相，如12槽10極單元電機(jī)的繞組排列為A-A-BBC-C-AAB-B-CC?？梢哉J(rèn)為每個(gè)齒都對(duì)應(yīng)于某相下的某個(gè)線(xiàn)圈，這樣就把齒頂漏磁和A、B、C三相繞組聯(lián)系起來(lái)了。圖2為電機(jī)轉(zhuǎn)過(guò)一對(duì)極時(shí)的全部齒頂漏磁曲線(xiàn)圖。

圖2 電機(jī)轉(zhuǎn)過(guò)一對(duì)極的全部齒頂漏磁Fig.2 Zigzag leakage flux under one pair of poles

2.3 齒頂漏磁的傅里葉分解

纏有A相繞組線(xiàn)圈齒的齒頂漏磁如圖2所示，正負(fù)半周各有z/(3|z-2p|)個(gè)三角波組成。結(jié)合圖1，得到所有A相繞組線(xiàn)圈齒的齒頂漏磁ΦLtA的傅里葉展開(kāi)式為

式中 ν——諧波次數(shù)；

ΦL0——傅里葉展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)；

ΦLaν——傅里葉展開(kāi)式余弦分量幅值；

ΦLbν——傅里葉展開(kāi)式正弦分量幅值。

由于該非正弦周期信號(hào)的波形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則ΦL0和ΦLaν為零，且不含偶次諧波分量。則式（4）化簡(jiǎn)為

為簡(jiǎn)化分析，假設(shè)極弧系數(shù)αp=1，在這里只分析z/(3|z-2p|)=1，即正負(fù)半周各只有一個(gè)三角波情況時(shí)的傅里葉展開(kāi)式

由式（6）可以看出，各次諧波的幅值與極數(shù)和槽數(shù)有關(guān)，通過(guò)調(diào)整極槽數(shù)的組合，可以削弱某些次的齒頂漏磁諧波，式（6）適合單元電機(jī)為3槽2極和3槽4極類(lèi)的電機(jī)。所有B、C相繞組線(xiàn)圈齒的齒頂漏磁形式與A相相同，只是相位相差120°。

3 齒頂漏磁的寄生影響

3.1 齒頂漏磁對(duì)反電動(dòng)勢(shì)的影響

近極槽永磁同步電機(jī)的氣隙磁通Φ 主要分成兩部分：齒頂漏磁ΦLt和鏈過(guò)電樞繞組的有效氣隙磁通Φg。有效氣隙磁通Φg可以表示為

當(dāng)轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，鏈過(guò)電樞繞組的有效氣隙磁通Φg在繞組中產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)電動(dòng)勢(shì)，也即反電動(dòng)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩。電機(jī)一旦設(shè)計(jì)完成，永磁同步電機(jī)的氣隙磁通Φ 就確定了，而齒頂漏磁ΦLt與轉(zhuǎn)子磁極和定子齒之間的相對(duì)位置有關(guān)，齒頂漏磁的周期性波動(dòng)也就引起了鏈過(guò)電樞繞組的有效氣隙磁通Φg發(fā)生了波動(dòng)。由圖1可知，在圖1b的位置，2齒的齒頂漏磁ΦLt最大，此時(shí)2齒處于交軸位置，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)π/2角度后，氣隙磁通Φ 全部進(jìn)入2齒，此時(shí)2齒處于直軸位置，則可近似認(rèn)為氣隙磁通Φ 與齒頂漏磁通ΦLt相位相差π/2。

假設(shè)氣隙磁通Φ 為所有奇次諧波組成，則

式中 θs——轉(zhuǎn)子磁極軸線(xiàn)相對(duì)定子A相繞組軸線(xiàn)沿氣隙圓周的夾角。

根據(jù)上述分析可知，θs與θ的關(guān)系為

式中 ωr——基波角頻率。

由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，當(dāng)鏈過(guò)電機(jī)繞組的磁通發(fā)生變化時(shí)，會(huì)在A相繞組中感應(yīng)反電動(dòng)勢(shì)

式中 N——每相繞組串聯(lián)匝數(shù)；

kwν——ν次諧波的繞組系數(shù)。

把式（5）、式（8）和式（9）代入式（10）得

式中 Emν——與氣隙磁通Φ 相對(duì)應(yīng)的各次反電動(dòng)勢(shì)諧波的幅值，Emν=νkwνNωrΦmν；

ELtν——與ΦLtν相對(duì)應(yīng)的各次反電動(dòng)勢(shì)諧波的幅值，Emν=νkwνNωrΦLtν。

繞組系數(shù)影響了反電動(dòng)勢(shì)諧波的幅值大小，近極槽永磁電機(jī)的繞組系數(shù)與槽數(shù)/極數(shù)比，以及繞組層數(shù)有關(guān)。表1是部分近極槽單元永磁電機(jī)的諧波繞組系數(shù)。選擇槽數(shù)與極數(shù)的配合以及繞組的層數(shù)，可以降低齒頂漏磁對(duì)反電動(dòng)勢(shì)波形的影響。

表1 部分近極槽單元永磁電機(jī)諧波繞組系數(shù)Tab.1 Harmonic winding factors of unit permanent magnet motor with similar pole and slot number

3.2 齒頂漏磁對(duì)轉(zhuǎn)矩的影響

假設(shè)磁路不飽和，忽略電樞反應(yīng)作用。若電機(jī)的定子繞組為Y型聯(lián)結(jié)，沒(méi)有中線(xiàn)，且由三相對(duì)稱(chēng)的正弦電流源供電。通過(guò)磁場(chǎng)定向控制可知，可將A相電流和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)分別寫(xiě)為[12]

式中 Im——基波電流幅值。

電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩為

式中 Ωr——轉(zhuǎn)子的機(jī)械角速度；

T0——平均電磁轉(zhuǎn)矩；

T6，T12，…——相應(yīng)次的紋波轉(zhuǎn)矩幅值。

由式（15）可知平均電磁轉(zhuǎn)矩T0隨著齒頂漏磁的增大而降低。基波電流與齒頂漏磁引起的5次、7次諧波電動(dòng)勢(shì)作用，產(chǎn)生6次紋波轉(zhuǎn)矩，與齒頂漏磁引起的13次、11次諧波電動(dòng)勢(shì)作用，產(chǎn)生12次紋波轉(zhuǎn)矩，……齒頂漏磁引起的各次紋波轉(zhuǎn)矩有些能削弱由氣隙磁場(chǎng)畸變產(chǎn)生的紋波轉(zhuǎn)矩，有些和由氣隙磁場(chǎng)畸變產(chǎn)生的紋波轉(zhuǎn)矩相疊加而進(jìn)一步增大紋波轉(zhuǎn)矩。

在近極槽永磁電機(jī)中，齒頂漏磁和由于氣隙磁場(chǎng)畸變引起的反電動(dòng)勢(shì)諧波主要是5次和7次，電機(jī)設(shè)計(jì)完畢后，齒頂漏磁和氣隙磁場(chǎng)也就固定了，其引起的6次紋波轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的幅值大小就由供電電流的幅值決定了。

3.3 案例分析

對(duì)于120槽80極單層繞組表貼式永磁電機(jī)，不考慮其他漏磁，根據(jù)式（6）和式（15），可得到平均電磁轉(zhuǎn)矩和6次紋波轉(zhuǎn)矩如下：

由式（16）可以看出，平均電磁轉(zhuǎn)矩由于齒頂漏磁而降低了17.55%，也就是說(shuō)由于齒頂漏磁而導(dǎo)致永磁材料的利用率只有82.45%。齒頂漏磁引起的7次和5次反電動(dòng)勢(shì)幅值之差為3.1%Em1，假設(shè)氣隙磁場(chǎng)是正弦的，即Em5、Em7均等于零，齒頂漏磁引起的6次紋波轉(zhuǎn)矩的峰-峰值為3ImEm1/（2Ωr）的2×3.1%。

4 有限元驗(yàn)證

本節(jié)以一臺(tái)120槽80極單層繞組不等厚永磁磁極電機(jī)為例進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真只是為了驗(yàn)證齒頂漏磁引起的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，所以沒(méi)有從實(shí)用性方面去考慮電機(jī)的設(shè)計(jì)。為了消除齒槽轉(zhuǎn)矩和由于開(kāi)槽而導(dǎo)致的氣隙磁場(chǎng)畸變的影響，電機(jī)為閉口槽。電機(jī)的相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 電機(jī)參數(shù)Tab.2 Electric machine parameters

4.1 定子繞組開(kāi)路時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩和氣隙磁場(chǎng)

為了仿真計(jì)算齒頂漏磁引起的紋波轉(zhuǎn)矩，必須消除齒槽轉(zhuǎn)矩和氣隙磁場(chǎng)畸變產(chǎn)生的6次紋波轉(zhuǎn)矩，或者先計(jì)算出齒槽轉(zhuǎn)矩和氣隙磁場(chǎng)畸變產(chǎn)生的6次紋波轉(zhuǎn)矩，然后把總的脈動(dòng)轉(zhuǎn)矩減去齒槽轉(zhuǎn)矩和氣隙磁場(chǎng)畸變產(chǎn)生的紋波轉(zhuǎn)矩后就是齒頂漏磁引起的紋波轉(zhuǎn)矩。120槽80極永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩是6次脈動(dòng)轉(zhuǎn)矩。根據(jù)電機(jī)學(xué)理論，閉口槽永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩應(yīng)該為零，但由于開(kāi)槽，還是會(huì)帶來(lái)微小的齒槽轉(zhuǎn)矩。圖3是利用Ansoft有限元軟件仿真的定子繞組開(kāi)路、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)一對(duì)極時(shí)產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩波形，其齒槽轉(zhuǎn)矩很小，峰-峰值為0.96N·m，可忽略不計(jì)。

圖4a是轉(zhuǎn)子磁極在氣隙中產(chǎn)生的氣隙磁密波形圖，圖4b是利用Matlab軟件分析的諧波含量的頻譜圖，由于對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)矩起作用的主要是 1次、5次、7次諧波，為了簡(jiǎn)化分析，這里只分析1次、5次、7次諧波。由圖4可看出，5次諧波幅值為基波的0.5%，7次諧波幅值為基波的0.3%，根據(jù)式（16）可知，它們引起的 6次紋波轉(zhuǎn)矩只有平均轉(zhuǎn)矩的0.2%?？梢?jiàn)采用不等厚磁極后，轉(zhuǎn)子在氣隙中產(chǎn)生的磁場(chǎng)波形正弦度非常好，可以忽略由于氣隙磁場(chǎng)畸變產(chǎn)生的紋波轉(zhuǎn)矩。

圖3 120槽80極永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩Fig.3 Cogging torque of 120-slot 80-pole PMSM

圖4 氣隙磁通密度與頻譜圖Fig.4 Air gap flux density and spectrogram

4.2 負(fù)載時(shí)的轉(zhuǎn)矩及齒頂漏磁引起的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)

為了排除鐵心飽和的影響，這里先利用Ansoft有限元軟件計(jì)算不同電流下的平均轉(zhuǎn)矩，接著再計(jì)算轉(zhuǎn)矩與電流（有效值）的比值（轉(zhuǎn)矩常數(shù) kT）。在不同電流下，如果kT值基本不變，可認(rèn)為在此區(qū)域內(nèi)的負(fù)載電流均不會(huì)引起鐵心的飽和。電機(jī)供給如式（12）所示的三相電流，Im分別為13.1×(2/16)A、13.1×(3/16)A、13.1×(4/16)A、13.1×(5/16)A，采用id=0控制策略，轉(zhuǎn)矩波形如圖5所示，平均轉(zhuǎn)矩T0分別為82N·m、122N·m、159N·m、195N·m，脈動(dòng)轉(zhuǎn)矩 Tr分別為 4.34N·m、6.88N·m、8.92N·m、11N·m，轉(zhuǎn)矩常數(shù) kT分別為 70.23N·m/Arms、70.81N·m/Arms、68.64N·m/Arms、67.35N·m/Arms。前三種電流供電時(shí)，由于轉(zhuǎn)矩常數(shù)kT基本相同，說(shuō)明電機(jī)基本是線(xiàn)性的。

假設(shè)沒(méi)有齒頂漏磁，根據(jù)式（16），當(dāng)電流為13.1×(4/16)A 時(shí)，則平均電磁轉(zhuǎn)矩 T0=3ImEm1/(2Ωr)=159/(1-17.55%)N·m=192.8N·m。實(shí)際上，齒頂漏磁是近極槽永磁電機(jī)不可克服的缺陷，不可能完全消除齒頂漏磁，只能通過(guò)槽數(shù)/極數(shù)的配合、極弧系數(shù)的選擇和電機(jī)氣隙直徑的選擇來(lái)盡量減小齒頂漏磁。

圖5 電磁轉(zhuǎn)矩Fig.5 Electromagnetic torque

根據(jù)電機(jī)學(xué)原理，三相對(duì)稱(chēng)繞組電機(jī)供給三相對(duì)稱(chēng)正弦電流，如果轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)正弦，則不會(huì)產(chǎn)生紋波轉(zhuǎn)矩。由前述分析可知，在供電電流小于13.1×(4/16)A時(shí)，電機(jī)工作在線(xiàn)性狀態(tài)，由于齒槽轉(zhuǎn)矩非常小，此時(shí)的脈動(dòng)轉(zhuǎn)矩基本就是由齒頂漏磁引起的。根據(jù)電機(jī)的轉(zhuǎn)速和極數(shù)，可知其供電頻率為18.667Hz，周期為 53.57ms，從圖 5可看出，一個(gè)供電周期，轉(zhuǎn)矩有六次脈動(dòng)，可見(jiàn)齒頂漏磁引起的脈動(dòng)轉(zhuǎn)矩主要是6次紋波轉(zhuǎn)矩。從圖5還可以可看出，紋波轉(zhuǎn)矩Tr基本與供電電流成正比。如果根據(jù)式（16）計(jì)算，齒頂漏磁引起的6次紋波轉(zhuǎn)矩的峰-峰值T6為平均電磁轉(zhuǎn)矩的2×3.1%倍，在上述電流下，理論上的 6次紋波轉(zhuǎn)矩的峰-峰值分別為5.08N·m、7.56N·m、9.8N·m、12.09N·m。比較圖5和圖3b可以看出，齒槽轉(zhuǎn)矩與紋波轉(zhuǎn)矩是反相位的，這是仿真值比理論值小的原因。上述仿真結(jié)果與理論分析基本一致，說(shuō)明了分析方法的正確性。

5 結(jié)論

本文分析了近極槽配合表貼式永磁同步電機(jī)一對(duì)極下齒頂漏磁的特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)一相繞組齒頂漏磁函數(shù)的傅里葉分解，得出齒頂漏磁諧波是由一系列奇次諧波組成，通過(guò)調(diào)整極數(shù)和槽數(shù)的組合可以控制某些次齒頂漏磁諧波的含量。研究了齒頂漏磁與電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)的關(guān)系，從反電動(dòng)勢(shì)的角度發(fā)現(xiàn)齒頂漏磁引起的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)主要是6次紋波脈動(dòng)轉(zhuǎn)矩。最后通過(guò)有限元仿真，準(zhǔn)確的計(jì)算出齒頂漏磁引起的6次紋波轉(zhuǎn)矩。

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