史軍，沙學(xué)軍，張欽宇,2，宋曉程，張乃通,2

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 通信技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深圳研究生院，廣東 深圳 518055)

1 引言

作為世界各國高新技術(shù)支柱產(chǎn)業(yè)，無線通信一直保持了強(qiáng)勁的發(fā)展勢頭。然而，已有的和即將推出的系統(tǒng)由于在無線資源綜合優(yōu)化利用等方面的局限性，仍然不能很好地解決有限頻譜資源與迅速增長業(yè)務(wù)需求的矛盾，由此產(chǎn)生的無線通信瓶頸問題日益突出。解決無線通信瓶頸問題的關(guān)鍵是從根本上提高無線頻譜資源利用的有效性，即在滿足服務(wù)質(zhì)量的前提下，最大限度地提高頻譜效率及資源共享系統(tǒng)容量。

傳統(tǒng)無線通信系統(tǒng)的基本信號波形是正弦波，信號分析和處理的工具是以正弦波為基函數(shù)的傅里葉變換。由于傅里葉變換存在只能提供基于單個時域或頻域信號分析與處理的固有缺陷，使得進(jìn)一步提高頻譜效率，增加系統(tǒng)容量面臨著“瓶頸效應(yīng)”的制約。此外，傳統(tǒng)無線通信體系框架主要基于時間和頻率資源獨(dú)立優(yōu)化及簡單調(diào)度使用模式，在此基礎(chǔ)上演進(jìn)和發(fā)展的技術(shù)已逐漸受到各種“邊界效應(yīng)”的制約，頻譜效率和系統(tǒng)容量很難再得到提高?；诖耍紤]到正弦信號與線性調(diào)頻信號分別為傅里葉變換和分?jǐn)?shù)傅里葉變換的基函數(shù)，且它們在頻域和分?jǐn)?shù)域上的能量積聚特性具有對偶性，提出了一種基于信號波形協(xié)同的無線通信技術(shù)。

對于正弦和線性調(diào)頻信號，從頻域來看前者能量相對聚集，頻譜呈現(xiàn)沖激特性，后者能量相對擴(kuò)散，頻譜近似為矩形譜；而在分?jǐn)?shù)域它們的能量聚集特征和分?jǐn)?shù)譜特性恰好與頻域的情況相反。因此，可以利用正弦和線性調(diào)頻信號在變換域的差異性來區(qū)分不同的用戶信息，即在傳統(tǒng)正弦信號波形上疊加與其頻譜中心完全重疊的且能量相等的線性調(diào)頻信號波形來傳輸不同的用戶信息，并通過優(yōu)化信號參數(shù)設(shè)計使它們在頻域或分?jǐn)?shù)域呈現(xiàn)出最佳的前述能量聚集的差異性，從而可以分別在頻域和分?jǐn)?shù)域利用濾波處理實(shí)現(xiàn)2類用戶信號波形的分別提取，進(jìn)而達(dá)到提高頻譜效率以及增加系統(tǒng)容量的目的。基于這一思路，本文建立了系統(tǒng)架構(gòu)模型，給出了理論分析，并進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證。研究結(jié)果表明，在傳統(tǒng)正弦載波通信體制的基礎(chǔ)上，通過信號波形協(xié)同及變換域?yàn)V波處理可以有效地提高頻譜效率，理論上能夠?qū)⑾到y(tǒng)容量提升近一倍。

2 預(yù)備知識

2.1 分?jǐn)?shù)傅里葉變換簡介

分?jǐn)?shù)傅里葉變換(FRFT, fractional Fourier transform)理論是自20世紀(jì)80年代以來在傳統(tǒng)傅里葉變換(FT,Fourier transform)理論基礎(chǔ)上迅速發(fā)展起來的一門新興學(xué)科。作為一種廣義的傅里葉變換，F(xiàn)RFT不但繼承了傳統(tǒng)FT基本性質(zhì)，而且還具有很多傳統(tǒng)FT所不具備的特性，在科學(xué)研究和工程技術(shù)應(yīng)用中受到了越來越多的關(guān)注[1～8]。

FRFT定義最早由Namias從特征值與特征函數(shù)的角度提出，之后在該定義的基礎(chǔ)上又出現(xiàn)了多種等價的定義方式[1]。FRFT可以解釋為將信號的坐標(biāo)軸在時頻平面繞原點(diǎn)作逆時針任意角度的旋轉(zhuǎn)[2]，即若FT可理解為將信號f(t)從時間軸(時域)逆時針旋轉(zhuǎn)角度π/2，變換到頻率軸(頻域)的表示，則FRFT就是將f(t)從時間軸逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度 α(α≠nπ/2)變換到分?jǐn)?shù)傅里葉域的表示。

信號f(t)∈L2(R)的FRFT定義為[1]

其中，變換核Kα(u,t)可以表示為

特別地，當(dāng)α=0和α=π/2時，F(xiàn)RFT分別退化為恒等變換和傳統(tǒng)傅里葉變換。

根據(jù)式(1)，可得FRFT標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)為[1]

表1 分?jǐn)?shù)傅里葉變換與傅里葉變換基函數(shù)特性比較

可見，α角度FRFT的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù){φα,n(t),n∈Z}實(shí)際上是由調(diào)頻斜率相同，起始頻率不同的線性調(diào)頻信號組成，其瞬時角頻率為不難看出，當(dāng)α=π/2時，φα,n(t)便退化為FT的標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)。這也進(jìn)一步說明，F(xiàn)RFT是一種廣義的傅里葉變換。表1給出了FRFT基函數(shù)與FT基函數(shù)的特性比較。

理論研究表明，F(xiàn)RFT突破了傳統(tǒng)只能基于時、頻域的信號分析方式，能夠在介乎于時域和頻域之間的分?jǐn)?shù)域上分析信號，可以展示出信號從時域逐漸變化到頻域的所有特征[1]，因此分?jǐn)?shù)域是一種新的信號表征域，可視為一種新的變換域資源。在傳統(tǒng)變換域資源劃分中，頻分多址(FDMA, frequency division multiple access)是利用頻率來區(qū)分用戶，即使用不同頻率的正弦信號波形來傳輸不同用戶的信息。同樣，具有不同分?jǐn)?shù)頻率的線性調(diào)頻信號也可以用來區(qū)分不同用戶，即用一組調(diào)頻斜率相同，起始頻率不同的線性調(diào)頻信號來調(diào)制不同用戶的信息，可使不同用戶的信號經(jīng)過適當(dāng)角度的 FRFT后，得到的分?jǐn)?shù)譜在分?jǐn)?shù)域上是彼此分離的，如圖1所示，從而實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)頻率的復(fù)用。這里將由此原理構(gòu)成的分?jǐn)?shù)域資源復(fù)用方式稱為分?jǐn)?shù)頻分多址(FrFDMA, fractional frequency division multiple access)。

圖1 調(diào)頻斜率相同而起始頻率不同的一組線性調(diào)頻信號的分?jǐn)?shù)譜

2.2 線性調(diào)頻信號與正弦信號在變換域的對偶性

將線性調(diào)頻信號 c(t)和正弦信號 s(t)的表達(dá)式分別建模為

其中，A1、k、ω0、T分別為線性調(diào)頻信號c(t)的幅度、調(diào)頻斜率、起始頻率(亦為正弦信號頻率)以及持續(xù)時間，A2是正弦信號s(t)的幅度。

首先，考察該線性調(diào)頻信號和正弦信號的頻譜特性。根據(jù)FT定義可知，式(7)中線性調(diào)頻信號c(t)頻譜C(ω)的最大幅度和頻帶范圍分別[9]為

進(jìn)而得到c(t)頻域帶寬為B=T|k|，則其時寬帶寬積 TB=T2|k|。計算表明[9]，當(dāng) TB＞10時，信號c(t)有95%的能量在式(9)所示的頻帶范圍內(nèi)，其頻譜近似為矩形譜。同理，式(8)中正弦信號s(t)頻譜S(ω)的最大幅度和頻帶(以第一過零點(diǎn)為例)范圍分別為

且S(ω)呈沖激函數(shù)特性，包絡(luò)為sinc函數(shù)。那么，可得s(t)頻域帶寬為B′=4π/T。下面進(jìn)一步考察上述線性調(diào)頻信號與正弦信號的分?jǐn)?shù)譜特性。

根據(jù) FRFT與時頻分布的關(guān)系可知[2,10]，當(dāng)FRFT旋轉(zhuǎn)角度滿足α=-arccot(k)時，式(7)所示線性調(diào)頻信號 c(t)在該角度分?jǐn)?shù)域上能量最佳聚集，可得其分?jǐn)?shù)譜為

于是，有

因此，線性調(diào)頻信號c(t)在α=-arccot(k)分?jǐn)?shù)域上分?jǐn)?shù)譜幅度的最大峰值為

進(jìn)一步地，c(t)分?jǐn)?shù)譜(以第一過零點(diǎn)為例)在α=-arccot(k)分?jǐn)?shù)域占據(jù)的范圍為

那么 ，c(t)在 α=-arccot(k)角 度分 數(shù)域帶 寬為Bu=4π|sinα|/T。

此外，根據(jù)式FRFT定義，式(8)中正弦信號s(t)的α=-arccot(k)角度分?jǐn)?shù)譜為

其中，積分上、下限分別為

利用下述菲涅爾(Fresnel)積分定義和性質(zhì)[9]：

于是，式(17)可進(jìn)一步改寫為

則正弦信號s(t)分?jǐn)?shù)譜的幅度特性為

且s(t)分?jǐn)?shù)譜在α=-arccot(k)角度分?jǐn)?shù)域上占據(jù)的范圍為

那么，s(t)在 α=-arccot(k)角度分?jǐn)?shù)域上帶寬為B′u=T|k||sinα|。根據(jù)前述線性調(diào)頻信號的頻譜特性可知，當(dāng) T Bu′＞ 1 0時，正弦信號 s(t)就有 95%的信號能量在式(25)所示的分?jǐn)?shù)域范圍內(nèi)，且其分?jǐn)?shù)譜近似矩形譜。通常 T Bu′? 1，此時 C(x1)、C(x2)、S(x1)、S(x2)的函數(shù)值在0.5附近波動。則由式(24)可知，正弦信號s(t)分?jǐn)?shù)譜的最大幅度為

圖 2給出了線性調(diào)頻信號 c(t)和正弦信號 s(t)在頻域和分?jǐn)?shù)域的對偶特性。

圖2 線性調(diào)頻信號與正弦信號分?jǐn)?shù)譜在頻域和分?jǐn)?shù)域的對偶性(sin α＞0)

基于前述分析可知，線性調(diào)頻信號和正弦信號在頻域和分?jǐn)?shù)域的對偶性體現(xiàn)為：線性調(diào)頻信號在頻域(或分?jǐn)?shù)域)的頻譜(或分?jǐn)?shù)譜)與正弦信號在分?jǐn)?shù)域(或頻域)的分?jǐn)?shù)譜(或頻譜)具有相似的分布特性。此外，線性調(diào)頻信號的頻譜(或分?jǐn)?shù)譜)帶寬參數(shù)與正弦信號的分?jǐn)?shù)譜(或頻譜)帶寬參數(shù)僅相差一個與FRFT旋轉(zhuǎn)角度α有關(guān)的因子sinα；而其頻譜(或分?jǐn)?shù)譜)幅度參數(shù)與正弦信號的分?jǐn)?shù)譜(或頻譜)幅度參數(shù)則相差一個因子，如圖2所示。

3 信號波形協(xié)同系統(tǒng)原理及參數(shù)分析

3.1 系統(tǒng)原理

前述分析表明，利用線性調(diào)頻信號與正弦信號的變換域?qū)ε夹?，可以在傳統(tǒng)正弦信號通信波形上疊加與其頻譜中心完全重疊且能量相等的線性調(diào)頻信號波形來傳輸不同用戶的信息，并通過優(yōu)化信號參數(shù)設(shè)計使兩者在變換域(頻域或分?jǐn)?shù)域)呈現(xiàn)出最佳的能量聚集差異性，從而可以分別在頻域和分?jǐn)?shù)域利用濾波處理實(shí)現(xiàn)2類用戶信號波形的提取，進(jìn)而達(dá)到提高頻譜效率以及增加系統(tǒng)容量的目的。圖3以FDMA為基礎(chǔ)給出了系統(tǒng)原理。圖中 di(t)和(t)分別表示FDMA系統(tǒng)第i個用戶發(fā)送和接收判決的信息比特?！? t)和′( t)則分別表示FrFDMA系統(tǒng)第i個用戶發(fā)送和接收判決的信息比特，i=1,2,…,M。結(jié)合圖3所示，系統(tǒng)信號參數(shù)滿足以下3個條件。

1) FDMA系統(tǒng)第i個用戶信號(正弦信號)的頻率與FrFDMA系統(tǒng)第i個用戶信號(線性調(diào)頻信號)的中心頻率相同，且兩系統(tǒng)的用戶信息具有相同的帶寬，i=1,2,…,M。

2) FrFDMA系統(tǒng)第i個用戶信號與FDMA系統(tǒng)第i+1個用戶信號的頻譜不存在混疊，i=1,2,…,M。

3) 對于 FDMA系統(tǒng)而言，F(xiàn)rFDMA系統(tǒng)第 i個用戶信號在FDMA系統(tǒng)第i個用戶信號頻帶內(nèi)的能量足夠小，能夠保證利用頻域?yàn)V波可以有效提取出 FDMA系統(tǒng)用戶信號，而有效地抑制 FrFDMA系統(tǒng)用戶信號，i=1,2,…,M。

可見，圖3所示信號波形協(xié)同通信系統(tǒng)的發(fā)送信號為M路正弦調(diào)制信號與M路線性調(diào)頻調(diào)制信號的疊加，且兩者分別攜帶著不同用戶的信息。圖3(b)給出了系統(tǒng)接收端的結(jié)構(gòu)。

在接收端，首先對接收信號進(jìn)行混頻，得到正弦調(diào)制信號(即FDMA系統(tǒng)用戶信號)和線性調(diào)頻調(diào)制信號(即FrFDMA系統(tǒng)用戶信號)的混合信號。然后將該混合信號分別在頻域和分?jǐn)?shù)域進(jìn)行濾波處理，提取出搭載不同用戶數(shù)據(jù)信息的正弦調(diào)制信號與線性調(diào)頻調(diào)制信號，如圖3(b)所示。最后對提取出的正弦調(diào)制信號與線性調(diào)頻調(diào)制信號分別進(jìn)行解調(diào)從而恢復(fù)出用戶數(shù)據(jù)信息。

圖3 信號波形協(xié)同通信系統(tǒng)

3.2 系統(tǒng)參數(shù)分析

正弦信號與線性調(diào)頻信號在頻域和分?jǐn)?shù)域的對偶性表明，基于頻域和分?jǐn)?shù)域分析得到的系統(tǒng)參數(shù)是一致的，因此下面不妨以分?jǐn)?shù)域?yàn)槔o出系統(tǒng)參數(shù)分析的理論結(jié)果。根據(jù)前述分析，并結(jié)合圖3(a)可得信號波形協(xié)同通信系統(tǒng)信號的分?jǐn)?shù)譜特性如圖1所示。

在發(fā)送端，發(fā)送信號是FDMA與FrFDMA系統(tǒng)用戶信號的疊加，且FDMA系統(tǒng)第i個用戶信號與FrFDMA系統(tǒng)第i (i=1,2,…,M)個用戶信號具有相同的分?jǐn)?shù)譜中心。在FDMA系統(tǒng)中，為避免系統(tǒng)用戶之間的干擾，各個用戶信號的子載頻之間通常設(shè)置一定的保護(hù)間隔，記為ωd。設(shè)FrFDMA系統(tǒng)第i與i+1個用戶子載波(線性調(diào)頻信號)的中心頻率分別為ωi和ωi+1(0＜ωi＜ωi+1)，不妨以 sinα≥0為例，由式 (16)可得這2個用戶信號所占分?jǐn)?shù)域區(qū)間分別為

那么，F(xiàn)rFDMA系統(tǒng)各用戶信號在分?jǐn)?shù)域彼此分離的理論條件為

進(jìn)一步地，有

其中，ud為FrFDMA系統(tǒng)相鄰2個用戶分?jǐn)?shù)譜之間的保護(hù)間隔。此外，在FDMA系統(tǒng)中，第i與i+1個用戶子載波(正弦信號)不存在干擾的條件為

比較式(29)和式(31)可知，只要取ud=ωdsinα可以同時保證FrFDMA與FDMA系統(tǒng)各自用戶之間不會存在干擾。

此外，由于發(fā)送信號是FDMA與FrFDMA系統(tǒng)用戶信號的疊加，且FDMA系統(tǒng)第i個用戶信號與FrFDMA系統(tǒng)第i (i=1,2,…,M)個用戶信號具有相同的分?jǐn)?shù)譜中心。因此在接收端不可能將這2個系統(tǒng)用戶信號完全分離。但由于 FDMA與 FrFDMA系統(tǒng)用戶信號在分?jǐn)?shù)域能量分布特性截然相反，前者擴(kuò)散，后者聚集，可以優(yōu)化參數(shù)設(shè)計，通過分?jǐn)?shù)域?yàn)V波盡可能降低兩系統(tǒng)用戶之間的干擾。在分?jǐn)?shù)域?yàn)V波處理過程中，把關(guān)心提取的FrFDMA系統(tǒng)用戶信號(線性調(diào)頻信號)視為期望信號，而將 FDMA系統(tǒng)用戶信號(正弦信號)視為干擾。此時，分?jǐn)?shù)域波處理后的信干比則成為衡量分?jǐn)?shù)域?yàn)V波性能的主要指標(biāo)。

設(shè)濾波前 FrFDMA系統(tǒng)第 i個用戶信號與FDMA系統(tǒng)第i個用戶信號的能量分別為Pc、Ps，經(jīng)過分?jǐn)?shù)域?yàn)V波后，F(xiàn)rFDMA系統(tǒng)用戶信號的能量被完全保留，而FDMA系統(tǒng)用戶信號的能量則被大部分濾除，如圖4(a)和圖4(b)所示。根據(jù)前述分析，F(xiàn)DMA系統(tǒng)用戶信號的能量在分?jǐn)?shù)域分布在一個較大的范圍內(nèi)，分?jǐn)?shù)譜近似矩形譜，如圖5所示。由式 (16)和式(25)可得殘留在FrFDMA系統(tǒng)第i個用戶信號(期望信號)分?jǐn)?shù)譜帶寬范圍內(nèi)的FDMA系統(tǒng)第i個用戶信號(干擾)的能量為

其中，B=T2|k|為 FrFDMA 系統(tǒng)用戶信號的頻域帶寬。那么，分?jǐn)?shù)域?yàn)V波前后的信干比(SIR)分別為

根據(jù)前述分析，顯然有

結(jié)合圖3(b)中的分?jǐn)?shù)域?yàn)V波模塊，經(jīng)過分?jǐn)?shù)域?yàn)V波后，F(xiàn)rFDMA系統(tǒng)用戶信號的能量被完全保留，而FDMA系統(tǒng)用戶信號的能量則被大部分濾除，如圖 4(a)和圖4(b)所示。圖4(c)則給出了輸入信干比ηin=0dB時分?jǐn)?shù)域?yàn)V波后輸出信干比ηout隨FrFDMA系統(tǒng)用戶信號時寬帶寬積TB變化的情況。由于分?jǐn)?shù)域?yàn)V波器濾除的是信號帶外噪聲，當(dāng)TB≤4π時，干擾全部留在信號帶寬內(nèi)，輸出信干比等于輸入信干比；而當(dāng)TB繼續(xù)展寬大于4π時，由于帶外噪聲被濾除，輸出信干比將逐漸提高，見式(34)。

圖4 分?jǐn)?shù)域?yàn)V波示意圖及濾波后信干比隨FrFDMA系統(tǒng)用戶信號時寬帶寬積的變化曲線

圖4(c)表明，分?jǐn)?shù)域?yàn)V波的性能與FrFDMA系統(tǒng)用戶信號的時寬帶寬積TB有關(guān)，TB越大，分?jǐn)?shù)域?yàn)V波性能越好，即對FDMA系統(tǒng)用戶信號的抑制越好。但為了保證FDMA系統(tǒng)第i個用戶信號不影響FrFDMA系統(tǒng)第i+1個用戶信號，如圖5所示，就需要對FrFDMA系統(tǒng)用戶信號的TB加以限制。

以 sinα≥0為例，由式(16)和式(26)可得，F(xiàn)DMA系統(tǒng)第i個用戶信號與FrFDMA系統(tǒng)第i+1個用戶信號的分?jǐn)?shù)譜在分?jǐn)?shù)域占據(jù)的區(qū)間分別為

此外，結(jié)合圖5可得FDMA系統(tǒng)第i個用戶信號與FrFDMA系統(tǒng)第i+1個用戶信號不發(fā)生干擾的理論條件為

進(jìn)一步地，則有

再由式(34)和式(38)可得

該結(jié)果表明，只要FrFDMA系統(tǒng)用戶信號的時寬帶寬積 TB滿足式(39)便可確保分?jǐn)?shù)域?yàn)V波能夠?qū)崿F(xiàn)對FDMA系統(tǒng)用戶信號的抑制；同時，F(xiàn)DMA系統(tǒng)第i個用戶信號不會對FrFDMA系統(tǒng)第i+1個用戶信號造成干擾，i=1,2,…,M。

3.3 仿真驗(yàn)證

根據(jù)前述正弦信號與線性調(diào)頻信號在頻域與分?jǐn)?shù)域的對偶性可知，基于頻域或分?jǐn)?shù)域的系統(tǒng)性能分析結(jié)果是一致的。由于FrFDMA系統(tǒng)用戶信號與FDMA系統(tǒng)用戶信號相互疊加，互為干擾，為了驗(yàn)證這2類用戶信號之間的干擾對整個系統(tǒng)性能的影響，下面不妨以圖3中的頻域提取支路為例，并按照圖6所示功能模塊對信號波形協(xié)同通信系統(tǒng)的誤碼性能進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

圖5 信號波形協(xié)同通信系統(tǒng)的信號分?jǐn)?shù)譜特性

圖6 系統(tǒng)仿真

設(shè)用戶信息碼元寬度為 T，則信息帶寬為Bd=2π/T，取FDMA系統(tǒng)子載頻之間的保護(hù)間隔為ωd=Bd/3。根據(jù)式(39)可得FrFDMA系統(tǒng)用戶信號時寬帶寬積TB=16π/3。經(jīng)過頻域?yàn)V波后，F(xiàn)DMA系統(tǒng)用戶信號與殘留在其帶內(nèi)的 FrFDMA系統(tǒng)用戶信號功率之比(即信干比 SIR)為 1.25dB。仿真中的參數(shù)設(shè)置為：碼元寬度 T=1μs，用戶數(shù)量 M=10，第一個用戶的載波頻率為10MHz，子載頻之間的保護(hù)間隔為1/3MHz，信號帶寬為1MHz，線性調(diào)頻信號調(diào)頻斜率為 16π/3。在此參數(shù)條件下，信號波形協(xié)同通信系統(tǒng)的誤碼特性曲線如圖7所示?？梢钥闯觯谛旁氡葹?10dB情況下，系統(tǒng)誤碼率達(dá)到 10-3～10-4數(shù)量級，能夠滿足實(shí)際應(yīng)用的需求。因此，在傳統(tǒng)正弦載波通信體制的基礎(chǔ)上，通過信號波形協(xié)同及變換域?yàn)V波處理可以有效地提高頻譜利用效率，理論上能夠?qū)⑾到y(tǒng)容量提升近一倍。

圖7 信號波形協(xié)同通信系統(tǒng)誤碼率曲線

4 結(jié)束語

針對有限頻譜資源與迅速增長業(yè)務(wù)需求的矛盾，利用正弦信號和線性調(diào)頻信號在頻域和分?jǐn)?shù)域上能量積聚特性的對偶關(guān)系，提出了一種基于信號波形協(xié)同的無線通信技術(shù)。建立了系統(tǒng)模型，給出了理論分析，并進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證。研究結(jié)果表明，在傳統(tǒng)正弦載波通信體制的基礎(chǔ)上，通過信號波形協(xié)同及變換域?yàn)V波處理可以有效地提高頻譜效率，理論上能夠?qū)⑾到y(tǒng)容量提升近一倍，從而為頻譜資源利用日趨緊張的問題提供了一種解決思路。

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