潘建偉

（武威職業(yè)學(xué)院，甘肅 武威 733000）

0 引言

本征值問(wèn)題是微波技術(shù)中最基本的問(wèn)題之一。對(duì)于亥姆霍茲方程的求解,除少數(shù)規(guī)則波導(dǎo)可用分離變量法求得其解析解外,絕大多數(shù)都采用近似方法求解。有限元法剖分靈活,邊界條件易處理,便于處理復(fù)雜媒質(zhì),而且程序通用性強(qiáng),已是數(shù)值計(jì)算中應(yīng)用最廣泛的一種方法。但目前廣泛用的是三角形上的三節(jié)點(diǎn)線(xiàn)性插值函數(shù)的簡(jiǎn)單插值方法,只有剖分密度極大時(shí)才能滿(mǎn)足某些工程的需要，但是消耗了大量的計(jì)算機(jī)內(nèi)存，于是高次插值函數(shù)應(yīng)運(yùn)而生，它可用較少的單元來(lái)獲得較高的精度。由于對(duì)背脊波導(dǎo)的數(shù)值計(jì)算至盡還未有報(bào)道，特別是常用于介質(zhì)加載移相器的波導(dǎo)，因?yàn)樗募虞d結(jié)構(gòu)，使得差相移增大，插入損耗降低，優(yōu)值大大提高，體積減小，重量減輕，目前已在S、C、X波段廣泛應(yīng)用，功率承受能力也得到了一定程度的提高。因此文中在綜合介紹二次有限元基本原理的基礎(chǔ)上，用二次FEM實(shí)例計(jì)算了矩形波導(dǎo)，背脊波導(dǎo)。

1 二次單元的有限元分析

1.1 二次三角形單元及插值函數(shù)

一個(gè)二次三角形單元有6個(gè)節(jié)點(diǎn)，3個(gè)頂點(diǎn)和3個(gè)邊中間點(diǎn)各一個(gè)，如圖1所示。設(shè)三角形單元內(nèi)某點(diǎn)的場(chǎng)是6個(gè)節(jié)點(diǎn)上場(chǎng)的二次插值：

在6個(gè)節(jié)點(diǎn)上強(qiáng)加式（1），即可確定上式中的6個(gè)系數(shù) ae, be, ce, de, ee, fe，將它們代回到式（1），得到：

假設(shè)節(jié)點(diǎn)的編碼如圖1所示，則上式中的插值函數(shù)為：

二階三角形單元的單元矩陣則是66×的矩陣，其元素如下：

列向量eb的元素為：

如果在每個(gè)單元內(nèi)的系數(shù)xα，yα，β和源f均為常數(shù)，并分別用表示，那么，應(yīng)用式，可以解析求式（6）和式（7）中的積分，得到：

圖1 二次元上節(jié)點(diǎn)配置

1.2 有限元方程

波在金屬波導(dǎo)中傳播時(shí)，場(chǎng)的縱向分量φ(Ez或Hz)應(yīng)滿(mǎn)足Helmholtz方程[5]即：

等價(jià)泛函為：

根據(jù)1.1節(jié)中的基本式，其中單元et產(chǎn)生的局部Ket、Bet系數(shù)可通過(guò)以下兩個(gè)積分進(jìn)行計(jì)算：

上述的積分在自然坐標(biāo)下可以直接解出,無(wú)需使用數(shù)值積分法。局部系數(shù)等于：

式中：

1.3 邊界條件處理

式中，M表示在金屬邊界l上的節(jié)點(diǎn)數(shù),這些節(jié)點(diǎn)的編號(hào)分別為 h1,h2,…,hM。式(12)結(jié)合式(18)把變分問(wèn)題式(11)最終離散化為廣義代數(shù)本征值問(wèn)題：

求解式(19)即可獲得本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)。由于這兩類(lèi)波導(dǎo)的基模都是 TE模，在實(shí)際工作中，一般都應(yīng)用在基模，所以在這里只討論了TE的計(jì)算。

2 計(jì)算實(shí)例

背脊波導(dǎo)如圖2所示。

圖2 背脊波導(dǎo)

2.1 截止波長(zhǎng)

首先為了驗(yàn)證程序的正確性，計(jì)算了矩形波導(dǎo)（23 cm×10 cm）的特征值。一次有限元?jiǎng)澐謺r(shí)，單元數(shù)為96，節(jié)點(diǎn)數(shù)為63，二次有限元?jiǎng)澐质菃卧獢?shù)為24，節(jié)點(diǎn)數(shù)也為63。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1所示。

由表1的數(shù)據(jù)表明，二次FEM方法較傳統(tǒng)的有限元方法，在相同的節(jié)點(diǎn)數(shù)下，單元數(shù)少，而且具有較高的精度。為了驗(yàn)證二次有限元法計(jì)算背脊波導(dǎo)程序的正確性，表2列出了b1/a1=0.45時(shí)雙脊背脊波導(dǎo)的截止波長(zhǎng)，根據(jù)文獻(xiàn)[6]，表明該方法具有較高的精度。

表1 矩形波導(dǎo)的特征值

表2 b1/a1=0.45時(shí)雙脊背脊波導(dǎo)的截止波長(zhǎng)

將表3與表2經(jīng)過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)單脊背脊波導(dǎo)的截止波長(zhǎng)與雙脊背脊波導(dǎo)的截止波長(zhǎng)幾乎相等。從而也證實(shí)了文獻(xiàn)[6]的理論分析。

表3 b1/a1=0.45時(shí)單脊背脊波導(dǎo)截止波長(zhǎng)

b2/a1=0.45時(shí)，b2/b1，a2/a1，取不同的歸一化尺寸的λc/a1曲線(xiàn)如圖3所示。

2.2 單模帶寬

單模帶寬定義為主模截止波長(zhǎng)與鄰近高次模波長(zhǎng)的比值，根據(jù)特征值進(jìn)行求解單模帶寬，如圖 4和圖5所示。

2.3 場(chǎng)結(jié)構(gòu)

當(dāng)b2/b1=0.3,a2/a1=0.3時(shí)，雙脊背脊波導(dǎo)主模的磁場(chǎng)分布如圖6所示；當(dāng)b2/b1=0.5,a2/a1=0.3時(shí)，單脊背脊波導(dǎo)主模的磁場(chǎng)分布如圖7所示。

2.4 計(jì)算結(jié)果分析

文中提出用二次 FEM 方法計(jì)算波導(dǎo)本征值問(wèn)題,為波導(dǎo)本征值問(wèn)題提供一種新的、具有較高計(jì)算精度的新型算法。

用二次 FEM 方法計(jì)算波導(dǎo)本征值問(wèn)題,尤其是計(jì)算 TE波，不用考慮邊界條件，又能用統(tǒng)一的格式計(jì)算各種形狀的波導(dǎo)本征值問(wèn)題。

用二次 FEM 方法計(jì)算波導(dǎo)本征值問(wèn)題,編程簡(jiǎn)單,計(jì)算量小,程序通用性強(qiáng),一般微機(jī)就能計(jì)算實(shí)際工程問(wèn)題，所用計(jì)算機(jī)內(nèi)存小，適合大尺寸的問(wèn)題。

從圖4看出，在雙脊背脊波導(dǎo)中，隨著a2/a1從0.1逐漸增大到0.9，b2/b1=0.1～0.3時(shí)，單模帶寬在a2/a1=0.3時(shí)最小，然后又逐漸增大，單模帶寬在a2/a1=0.9時(shí)達(dá)到最大，單模帶寬在b2/b1=0.1，0.2時(shí)具有最大值2。在b2/b1=0.4～0.9，a2/a1=0.9時(shí)，單模帶寬具有相同的值1.834 0。在b2/b1=0.4～0.7時(shí)，單模帶寬在a2/a1=0.4時(shí)最小，然后隨著a2/a1逐漸增大而增大。當(dāng)b2/b1=0.8，0.9，單模帶寬在a2/a1=0.5時(shí)達(dá)到最小值。

從圖5看出，在單脊背脊波導(dǎo)中，隨著a2/a1從0.1逐漸增大到0.4單模帶寬逐漸減小，然后有逐漸增大，單模帶寬在a2/a1=0.3時(shí)達(dá)到最小。a2/a1最大只能取到0.4。

圖4 雙脊背脊波導(dǎo)單模帶寬

圖5 單脊背脊波導(dǎo)單模帶寬

圖6 b2/b1=0.3,a2/a1=0.3時(shí)，雙脊背脊波導(dǎo)主模的磁場(chǎng)分布

圖7 b2/b1=0.5,a2/a1=0.3時(shí)，單脊背脊波導(dǎo)主模的磁場(chǎng)分布

3 結(jié)語(yǔ)

背脊波導(dǎo)主模截止波長(zhǎng)可以通過(guò)改變脊寬而改變，以前的文獻(xiàn)只給出了理論分析，而文中用二次FEM方法分析了波導(dǎo)，編制的程序驗(yàn)證了理論分析的正確性，而且在理論分析的基礎(chǔ)上計(jì)算了波導(dǎo)的截止波長(zhǎng)和單模帶寬，分析了隨著脊位置的變化截止波長(zhǎng)和單模帶寬的變化規(guī)律，為背脊波導(dǎo)的設(shè)計(jì)提供了理論數(shù)據(jù)。由于程序和方法的局限性，文中還不能計(jì)算出背脊波導(dǎo)的阻抗，希望在以后的研究中能進(jìn)一步解決這個(gè)問(wèn)題。

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