蘭海洋，林曉煥

（西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院，陜西 西安 710048）

0 引言

19世紀(jì)20年代，法國(guó)工程師傅里葉（Fourier）指出：任意一個(gè)周期函數(shù)都可以分解為無(wú)窮多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)的和，這即是傅里葉級(jí)數(shù)[1]，求解傅里葉系數(shù)的過(guò)程就是傅里葉變換。傅里葉變換的應(yīng)用非常廣泛，主要的領(lǐng)域有：物理學(xué)、電子類學(xué)科、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等[2]。快速傅里葉變換（FFT）是離散傅里葉變換（DFT）的一種快速算法。一般采用 ROM 的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)FFT，其速度不能滿足實(shí)時(shí)性的要求[3]，這里采用移位存儲(chǔ)器的方法來(lái)存儲(chǔ)旋轉(zhuǎn)因子，大大地提高了FFT的運(yùn)算速度。

1 算法原理

設(shè)長(zhǎng)度為N的有限序列x(n)的DFT為：

設(shè)序列x(n)的長(zhǎng)度N(N=2M,M為任意整數(shù))按N的奇偶性把x(n)分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的子序列：

則x(n)的N點(diǎn)DFT為：

由于

所以

式中，G(k)和H(k)分別為 g(m)和 h(m)的 N/2點(diǎn) DFT，表達(dá)式如下：

由于G(k)和H(k)均以N/2為周期，考慮到對(duì)稱性，有,X(k)就可表達(dá)式為：

這樣就將N點(diǎn)的DFT分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT以及上面兩式的運(yùn)算，使DFT運(yùn)算量減少，將每個(gè)N/2點(diǎn)的DFT分解為兩個(gè)N/4點(diǎn)的DFT，由于N是2 的正整數(shù)次冪，還可以繼續(xù)分下去，直到分解為2點(diǎn)的DFT為止，這種運(yùn)算可用圖1的流圖表示，稱為蝶形運(yùn)算符。當(dāng)N=8時(shí)[5]，整個(gè)信號(hào)的流圖如圖2所示。

圖1 蝶形運(yùn)算符

圖2 8點(diǎn)FFT蝶形運(yùn)算示意

2 電路過(guò)程原理

2.1 FFT的總體設(shè)計(jì)

FFT設(shè)計(jì)主要由以下部分組成：蝶形運(yùn)算單元，地址產(chǎn)生單元，功能切換單元，存儲(chǔ)單元，浮點(diǎn)單元和時(shí)序控制元。各模塊功能如下：

蝶形運(yùn)算單元采用DIT方式完成FFT的蝶形運(yùn)算，雙口RAM1和 RAM2作為存儲(chǔ)器，從RAM1中讀出數(shù)據(jù)存入RAM2中，或從RAM2中讀出數(shù)據(jù)存入RAM1中。ROM作為預(yù)置旋轉(zhuǎn)因子的存儲(chǔ)單元，功能切換單元用來(lái)完成RAM1與RAM2間數(shù)據(jù)讀寫功能的切換；地址產(chǎn)生單元用于產(chǎn)生 RAM 的讀、寫地址和 ROM 的讀地址；浮點(diǎn)單元用于記錄蝶算單元輸出數(shù)據(jù)的位信息并完成蝶算單元輸入數(shù)據(jù)的截位；時(shí)序控制單元：產(chǎn)生各模塊的使能信號(hào)、控制信號(hào)，使整個(gè)流程正常有序的工作。

2.2 蝶形單元的設(shè)計(jì)

由以上分析可知，蝶形運(yùn)算單元是FFT算法最核心的的部分。因此要實(shí)現(xiàn)FFT算法電路，首先是設(shè)計(jì)蝶形運(yùn)算單元，然后利用蝶形模塊及其他幾個(gè)模塊的配合實(shí)現(xiàn)FFT。

由圖1可知，蝶形模塊的輸出為A+BC和A-BC。這里涉及加法、減法、和乘法的相互運(yùn)算，即蝶形運(yùn)算單元的電路主要由加法器、減法器和乘法器構(gòu)成[5]。

1）N為加法器。多為加法器的構(gòu)成有兩種方式：串行進(jìn)位和并行進(jìn)位。串行進(jìn)位方式是將全加器級(jí)聯(lián)構(gòu)成多為加法器。并行進(jìn)位加法設(shè)有并行進(jìn)位產(chǎn)生邏輯，運(yùn)算速度快；并行進(jìn)位加法器通常比串行級(jí)聯(lián)加法器占用的資源多。隨著位數(shù)的增加相同位數(shù)的并行加法器與串行加法器的資源占用快速增大。蝶形運(yùn)算模塊中采用并行進(jìn)位的實(shí)現(xiàn)方式[6]。

2）N位乘法器。N位乘法器的運(yùn)算方法和手工算法一樣，是由N位加法器構(gòu)成的以時(shí)序邏輯方式設(shè)計(jì)的N×N位乘法器方案，其原理是：若被乘數(shù)某位為 1，則乘數(shù)左移幾位，若為 0則不進(jìn)行運(yùn)算，然后逐次相加，直至被乘數(shù)的最高位[7-8]。

3）N位減法器。其設(shè)計(jì)方法和原理和加法器相同。

以輸入信號(hào)為8為二進(jìn)制數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)FFT設(shè)計(jì)，具體說(shuō)明如何利用Verilog HDL語(yǔ)言完成蝶形運(yùn)算單元的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。圖3為蝶形運(yùn)算單元的核心電路圖，蝶形運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)由乘法器、加法器和減法器和控制輸出使能模塊相互運(yùn)算完成的。

圖3 蝶形運(yùn)算單元的核心電路

其中X1_r，X1_im，X2_r，X2_im分別為X1，X2的實(shí)部與虛部，c,d分別代表復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部；y1_r,y2_r,y1_im,y2_im分別代表輸出y1,y2的實(shí)部與虛部，他們分辨對(duì)應(yīng)于A+BC和A-BC的實(shí)部與虛部。圖4為蝶形運(yùn)算單元模塊。

圖4 蝶形運(yùn)算單元模塊

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在XILinxA公司的FPGA上進(jìn)行驗(yàn)證，目標(biāo)芯片采用Virtex系列的XCV300，編寫軟件為ISE 10.1。

Virtex是Xilinx FPGA中的高端產(chǎn)品，內(nèi)部有豐富的資源，包括RAM，乘法器，IOB，可編程互聯(lián)線，數(shù)字時(shí)鐘管理器 DCM 和可編程邏輯陣列CLB，這一系列產(chǎn)品不斷的升級(jí)和更新，性能也越來(lái)越卓越。 FFT的仿真圖如圖5所示。由波形圖5中可以看出，當(dāng)Start為低電平時(shí)，F(xiàn)FT開(kāi)始運(yùn)算，給輸入端順序送入8個(gè)數(shù)據(jù)，計(jì)算結(jié)束后，數(shù)據(jù)從輸出端順序輸出。大大提高了運(yùn)算速度。

圖5 FFT運(yùn)算仿真波形

4 結(jié)語(yǔ)

文中采用Verilog語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)FFT算法，利用ISE進(jìn)行仿真，在分析快速傅里葉變換（FFT）算法的基礎(chǔ)上[9-10]，采用移位存儲(chǔ)器存儲(chǔ)算子的方法，提高了運(yùn)算速度，滿足了實(shí)時(shí)性的要求。采用FPGA實(shí)現(xiàn)高速數(shù)字信號(hào)處理的算法具有可行性和優(yōu)越性，由于FPGA的并行性特點(diǎn)使得算法的實(shí)現(xiàn)速度具有很大的提升，因此越來(lái)越得到電子工程師們的青睞，但由于文中采用256點(diǎn)基2FFT算法，使數(shù)據(jù)和性能方面存在缺陷，可以采用1024點(diǎn)FFT提高性能和數(shù)據(jù)精度。

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