古 強(qiáng)，許小東

（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子工程與信息科學(xué)系，安徽 合肥 230027）

0 引言

當(dāng)收發(fā)雙方完全已知信道狀態(tài)信息（CSI）時，發(fā)送端預(yù)編碼技術(shù)可以顯著提升多輸入多輸出系統(tǒng)（MIMO）的頻譜效率和鏈路質(zhì)量[1]，已經(jīng)成為近年來寬帶無線和移動通信領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[2-3]。其中，針對MIMO頻率平坦衰落信道環(huán)境，預(yù)編碼技術(shù)的研究發(fā)展日臻成熟。而針對MIMO頻率選擇性衰落信道環(huán)境，已有研究主要采用正交頻分復(fù)用（OFDM）技術(shù)[4]將MIMO頻率選擇性衰落信道轉(zhuǎn)變?yōu)槿舾深l率平坦衰落子信道，然后在各子信道中發(fā)展有效的預(yù)編碼方法[5-6]。

值得指出的是，OFDM 信號存在的固有缺點(diǎn)[7]導(dǎo)致在某些場合（如LTE系統(tǒng)的上行鏈路）單載波仍然是物理層傳輸?shù)淖罴堰x擇[8]。在單載波系統(tǒng)中，一類常見的預(yù)編碼方法是通過在數(shù)據(jù)塊之間填零（Zero Padding）[9-11]或者加循環(huán)前綴（Cyclic Prefixing）[10]把MIMO頻率選擇性衰落信道轉(zhuǎn)變?yōu)镸IMO塊衰落信道，可統(tǒng)稱為“塊預(yù)編碼方法”。分析可知，這類方法的缺點(diǎn)在于：一方面冗余信息的加入會降低系統(tǒng)的頻譜效率；另一方面預(yù)編碼矩陣的大小與數(shù)據(jù)塊長度有關(guān)，當(dāng)數(shù)據(jù)塊的長度很大時預(yù)編碼器的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度很高，系統(tǒng)延時較長。

與塊預(yù)編碼方法不同，有限沖擊響應(yīng)（FIR）預(yù)編碼器可在寬頻帶內(nèi)利用FIR濾波器結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對輸入序列連續(xù)處理，避免添加冗余數(shù)據(jù)，因此受到廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[12]通過對MIMO頻率選擇性衰落信道結(jié)構(gòu)的先驗(yàn)假設(shè)，獲得一種基于迫零準(zhǔn)則的預(yù)編碼器。顯然，基于迫零準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的預(yù)編碼器必然會導(dǎo)致一定的信道容量損失。文獻(xiàn)[10,13]分別獨(dú)立提出將均勻信道分解（UCD）算法擴(kuò)展到MIMO頻率選擇性衰落信道的新算法，稱為擴(kuò)展均勻信道分解（EUCD）算法。該算法通過收發(fā)信機(jī)聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)，利用無記憶的酉陣預(yù)編碼器把MIMO頻率選擇性衰落信道分解成若干均方誤差（MSE）相同的子信道。然而由于缺乏適合空、頻域的有效功率分配策略，該算法也無法獲得最大的信道容量。

在發(fā)射功率約束條件下，以最大化信道容量為目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)適合 MIMO頻率選擇性衰落信道的FIR預(yù)編碼方法。該方法在FIR預(yù)編碼器基礎(chǔ)上構(gòu)建基于最大信道容量準(zhǔn)則的約束優(yōu)化問題，然后利用矩陣秩松弛將原問題轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問題（SDP），結(jié)合特征值分解（EVD）求解原問題的近似最優(yōu)解，設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)預(yù)編碼器。

1 系統(tǒng)模型和問題描述

考慮一個包含ν條路徑的MIMO頻率選擇性衰落信道，t時刻基帶接收向量ty可以寫成：

利用D變換可將（1）改寫為：

式中，最后一個等號由帕什瓦爾等式得到，Tr()·代表矩陣的跡。

在MIMO頻率選擇性衰落信道環(huán)境中，我們的優(yōu)化問題可以建模為基于發(fā)送功率約束的最大信道容量優(yōu)化問題，即：

為了便于數(shù)值計(jì)算，若以N點(diǎn)累加（N足夠大）代替積分，則問題（7）可以寫成：

文中致力于設(shè)計(jì)基于FIR結(jié)構(gòu)的預(yù)編碼器，事實(shí)上，如果選擇預(yù)編碼器的階數(shù)L N=，則最優(yōu)的FIR預(yù)編碼器可以看作式（9）的時域?qū)崿F(xiàn)形式，可以完全達(dá)到理論信道容量。然而由于N通常很大，實(shí)現(xiàn)如此高階的FIR濾波器必然導(dǎo)致運(yùn)算復(fù)雜度大幅增加，不利于工程應(yīng)用。因此主要研究低階（通常L為滿足LN?的任意值）FIR預(yù)編碼器的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2 FIR預(yù)編碼器設(shè)計(jì)

2.1 基于FIR預(yù)編碼器的問題等效

令預(yù)編碼器 ()DP 是一個L階的FIR濾波器，即：

單位為比特/秒/赫茲(bps/Hz)。功率約束可以表示為：

則優(yōu)化問題（8）可以等效為：

分析可知，在已知CSI的情況下，對于任意給定的FIR階數(shù)L，只需求解優(yōu)化問題（17）就能得到FIR預(yù)編碼器的系數(shù)。由此可見，文中提出的FIR預(yù)編碼器與數(shù)據(jù)塊長度無關(guān)，對數(shù)據(jù)塊的結(jié)構(gòu)也無任何要求。然而求解上述優(yōu)化問題的困難在于，由于秩約束Rank()tM≤Q的存在，一般而言該問題是非凸優(yōu)化問題且屬于非確定性多項(xiàng)式難題（NP-hard），對于此類問題尚無通用的高效求解方法。

2.2 算法設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)

考慮放松矩陣秩約束，將原問題（17）松弛為一個凸優(yōu)化問題：優(yōu)化問題（18）是一個半正定規(guī)劃問題[15]，因此可以由內(nèi)點(diǎn)法（Interior-point Method）[16]等算法在多項(xiàng)式時間內(nèi)求解，且它的最優(yōu)目標(biāo)值是的一個上界。

由此，文中提出一種簡單高效的算法。該算法思想是對 Q*進(jìn)行EVD分解，并從 Q*中抽取最大的 Mt個特征值及其對應(yīng)的特征向量，再將其投影到原問題（17）的可行集合中去。算法細(xì)節(jié)可依如下描述：

1）利用內(nèi)點(diǎn)法求SDP問題（18）的最優(yōu)解 Q*。

2）對 Q*作EVD分解 Q*=UΣU?，其中Σ的對角元素按絕對值的降序排列。

3）抽取絕對值最大的 Mt個特征值及其對應(yīng)的特征向量組成矩陣Ξ：

綜上述，影響該算法性能的主要因素有兩個：①SDP問題（18）的最優(yōu)目標(biāo)值相對于理論信道容量的逼近程度；②由上述算法得到的原問題近似最優(yōu)目標(biāo)值相對于的逼近程度。事實(shí)上，上述兩個因素均與FIR預(yù)編碼器的階數(shù)L有關(guān)，因此合理確定FIR預(yù)編碼器的有效階數(shù)，既關(guān)系到該算法的運(yùn)算復(fù)雜度，也關(guān)系到該算法的實(shí)際性能。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

這里利用蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)文中提出的FIR預(yù)編碼方法的有效性及其對MIMO頻率選擇性衰落信道容量的改善程度。在各次實(shí)驗(yàn)中，相關(guān)的仿真參數(shù)設(shè)置為：收發(fā)天線數(shù) Mr= Mt=2，MIMO頻率選擇性衰落信道徑數(shù)4ν=，并假設(shè)每徑相互獨(dú)立且服從瑞利衰落，計(jì)算信道容量時的累加次數(shù)設(shè)為 128N=，蒙特卡洛仿真次數(shù)為5 000次。

實(shí)驗(yàn)2 FIR預(yù)編碼器性能與濾波器階數(shù)L的關(guān)系：圖2描繪了不同階數(shù)的FIR預(yù)編碼器性能，并與EUCD算法及理論信道容量進(jìn)行對比。由該仿真曲線可知，由于無記憶的酉陣預(yù)編碼器的固有缺陷，EUCD算法與理論信道容量存在一定差距，而文中提出的FIR預(yù)編碼算法相對EUCD算法有顯著改善，特別是在中低信噪比區(qū)域（如SNR=1 dB），其性能增益最多可達(dá)3 dB。同時，圖2也表明，F(xiàn)IR預(yù)編碼器的性能與其階數(shù)L密切相關(guān)，特別是當(dāng) L =ν=4時，整體性能最好，與信道容量的理論值非常接近；然而若繼續(xù)增大預(yù)編碼器的階數(shù)，反而令整體性能下降。可能的原因在于：一方面，當(dāng)L=ν時，就與理論信道容量相當(dāng)接近，繼續(xù)增大L對的影響不大；另一方面，相比而言L越大，則文中算法抽取矩陣最大的 Mt個特征值時可能造成的能量損失也越大，導(dǎo)致相對于上界的逼近誤差越大，最終使得預(yù)編碼器性能下降。由此可見，只需令預(yù)編碼器的階數(shù)等于MIMO頻率選擇性衰落信道的徑數(shù)，文中提出的FIR預(yù)編算法就可以近似達(dá)到理論信道容量，同時保證較低的運(yùn)算復(fù)雜度。

圖1 SDP問題最優(yōu)目標(biāo)值與濾波器階數(shù)的關(guān)系

圖2 FIR預(yù)編碼器關(guān)于濾波器階數(shù)的性能比較

4 結(jié)語

文中以最大化信道容量為目標(biāo)，提出一種適用于MIMO頻率選擇性衰落信道的FIR預(yù)編碼方法。該方法把預(yù)編碼器建模為一個低階FIR濾波器，將原容量最大化非凸優(yōu)化問題松弛為一個可在多項(xiàng)式時間內(nèi)求解的SDP優(yōu)化問題，并結(jié)合特征值分解獲得原問題的近似最優(yōu)解。仿真實(shí)驗(yàn)和分析證明，與已有算法相比，文中算法可以顯著提升系統(tǒng)的信道容量，尤其當(dāng)預(yù)編碼器階數(shù)等于信道徑數(shù)時，文中方法可近似達(dá)到理論信道容量。同時，該算法對數(shù)據(jù)塊的結(jié)構(gòu)無特定要求，因此具有較低的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度和一定工程應(yīng)用價值，不僅適用于單載波系統(tǒng)，也同樣適用于MIMO-OFDM系統(tǒng)。

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