周凌宇，賀桂超

(中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

經(jīng)典薄壁箱梁彎扭理論是建立在周邊不變形和忽略剪應(yīng)力對變形影響的基礎(chǔ)上［1］，但是箱梁在偏心荷載作用下將產(chǎn)生縱向彎曲、扭轉(zhuǎn)、畸變和橫向撓曲［2］。組合箱梁中混凝土板與鋼箱梁連接件剛度有限，在交界面處存在一定的水平滑移和掀起。對于完全剪力連接和部分剪力連接組合梁，必須考慮界面滑移對撓度的影響，同時組合箱梁橋跨度大、壁薄質(zhì)小、恒載占荷載比例大、活載偏心所引起的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力不能忽略，同時組合箱梁截面寬、肋距大，由“剪力滯效應(yīng)”引起的剪切變形大，不能忽略［3－4］。

文獻［5－6］提出了板桁框架法分析正交箱梁，文獻［7］提出了桁梁梁段有限元分析空間桁架，文獻［8－9］采用整體位移與局部位移疊加的方法，建立分析正交箱梁的梁段有限元法，文獻［10－11］采用斜交坐標(biāo)系，建立由板段組成的梁段的空間位移模型。以上分析均是建立在單一材料箱梁的基礎(chǔ)上，而組合箱梁由于剪力連接度的影響，在界面處存在滑移，將明顯影響組合箱梁的受力性能，而目前考慮界面滑移對組合箱梁受力性能影響的研究還不多見。

本文在以上箱梁空間分析的基礎(chǔ)上，放棄周邊不變形假定，考慮板件局部變形和組合箱梁界面滑移效應(yīng)，建立組合箱梁梁段空間位移模型，并考慮幾何非線性和材料非線性，利用勢能駐值原理推導(dǎo)組合箱梁的“梁段有限元法”。在此基礎(chǔ)上，編制相應(yīng)的組合箱梁非線性空間有限元程序CBAP1.0，并與試驗結(jié)果進行比較，計算結(jié)果表明組合箱梁梁段有限元法物理概念明確，計算精度高，收斂速度快，并可適用多種截面形式。

1 組合箱梁的界面滑移變分解法

圖1所示的組合箱梁，鋼箱梁與混凝土在界面上產(chǎn)生相對滑移，各自保持均勻的平截面伸縮。鋼箱梁和混凝土板的縱向滑移應(yīng)變可以表示為:

圖1 組合箱梁滑移模型Fig.1 Slip model for composite box beam

根據(jù)梁的撓曲線近似微分方程，梁的彎曲應(yīng)變可表示為:

y為箱梁質(zhì)點到中和軸的距離，將式(1)和(2)應(yīng)變疊加，可以得到組合箱梁應(yīng)變?yōu)?

應(yīng)用變分原理，得到箱梁滑移效應(yīng)的位移函數(shù)控制微分方程［4］:

式中:Ms(x)=E3I3ζ＇。Ms(x)稱為滑移效應(yīng)的附加彎矩，它與滑移位移ζ(x)的一階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，且與E3I3成正比。從式(6)可知:考慮滑移效應(yīng)，梁的曲率與彎矩已不再是經(jīng)典梁理論中的關(guān)系，而是增加了附加彎矩Ms(x)修正項，滑移將增大結(jié)構(gòu)曲率，降低構(gòu)件剛度。

2 考慮滑移影響的梁段單元分析

2.1 基本假定

組合箱梁位移模型是構(gòu)件組合箱梁梁段單元的關(guān)鍵，其關(guān)鍵步驟為:(1)將箱梁沿梁縱向離散為若干梁段單元，根據(jù)經(jīng)典空間梁元理論和周邊不變形假定計算箱梁內(nèi)各質(zhì)點在荷載作用下所產(chǎn)生的整體位移。(2)在各梁段單元內(nèi)，沿梁軸線截取單位厚度箱梁空腹框架。并假設(shè)箱梁節(jié)點為剛節(jié)點。以剛節(jié)點之間桿件為基本單元，對箱梁空腹框架進行離散，根據(jù)箱梁橫截面框架的變形特征，即將空腹框架離散成以下7種板件作為子單元:①頂板、底板單元;②斜腹板或;③豎直腹板;④懸臂板;⑤橫隔板;⑥端橫梁，計算各板件局部位移。(3)沿頂板、底板寬度設(shè)置與梁縱向位移協(xié)調(diào)的二次函數(shù)表示的縱向位移函數(shù)來考慮滑移位移。(4)疊加組合箱梁各質(zhì)點位移整體位移、局部位移和滑移位移，形成組合梁段總體自由度，由此構(gòu)成“組合箱梁板段單元”，計算箱梁梁段任意點的總位移。

分析時采用如下基本假定:(1)多室薄壁箱形梁頂板、底板與腹板的連接點為剛性節(jié)點。(2)鋼箱梁翼板與混凝土之間栓釘層簡化為一符合Goodman假設(shè)的夾層。該夾層不占據(jù)空間，剪力連接件用連續(xù)的等效的彈性介質(zhì)代替;鋼梁與混凝土產(chǎn)生相對滑移，各自保持均勻的平截面伸縮。(3)忽略各板的扭矩作用，薄壁箱梁頂板、底板、腹板的面外位移符合Kirchhoff假定。(4)僅考慮箱梁頂板和底板的剪力滯后。(5)忽略腹板與頂板、底板相交節(jié)點在橫向的局部位移。

本文計算中箱梁部分用梁段單元離散來考慮箱梁局部變形，為簡化計算，假定形心與扭心重合，如圖2所示，箱梁變形前后的坐標(biāo)均取為正交笛卡爾坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點位于截面形心。圖3所示為部分箱梁位移模型和局部位移模型(不含剪力滯后最大剪切轉(zhuǎn)角)。圖中“*”表示組合箱梁的縱向截面滑移。

圖2 梁段部分整體位移參數(shù)Fig.2 Overall displacement parameters of beam section

圖3 梁段部分局部位移參數(shù)Fig.3 Local displacement parameters of beam section

2.2 組合箱梁整體位移計算

2.2.1 剪力滯后

梁彎矩經(jīng)典理論的基本假定是變形的平截面假定，即彎曲正應(yīng)力和位移沿梁寬方向均勻分布。這對于肋距不大的箱梁無疑是可以接受的。但是對于肋距大的組合梁，由于翼板中剪切變形沿寬度方向不均勻，引起遠(yuǎn)離腹板的頂板和底板縱向位移和應(yīng)力較大的不均勻，即在近肋處翼板中產(chǎn)生應(yīng)力和位移高峰，而遠(yuǎn)離腹板的產(chǎn)生縱向位移和應(yīng)力的低谷。對于剪力滯后問題，本文在箱梁頂、底板的整體位移上疊加1個按二次多項式插值函數(shù)表示的縱向位移。采用如下方式描述［12］:

式中:uk為剪力滯后引起箱梁在頂、底板的非均勻縱向位移;ψ(x)為頂、底板剪切轉(zhuǎn)角的最大差值;y0為頂、底板的中面距箱梁形心軸豎向距離;ζk為剪力滯位移函數(shù)。

2.2.2 扭轉(zhuǎn)分析

伏拉勃夫和烏曼斯基在其提出的基于周邊不變形的閉口截面剛性扭轉(zhuǎn)第二理論中認(rèn)為，表示翹曲程度的函數(shù)β含在σ和τ中，通過建立相關(guān)公式，求解β而得解。該理論得到廣泛應(yīng)用。該理論中認(rèn)為，由扭轉(zhuǎn)引起的截面縱向位移為［13］:

2.2.3 剪切變形的考慮

組合箱梁往往設(shè)計成薄壁大跨重載結(jié)構(gòu)，組合箱梁內(nèi)橫向剪力所產(chǎn)生的剪切變形將引起梁的附加撓度，剪切變形影響不可忽略。經(jīng)典梁理論中梁轉(zhuǎn)角是梁變位的導(dǎo)數(shù)，沒有考慮剪力產(chǎn)生的變位。梁變位后截面轉(zhuǎn)角為θ，變形前垂直中心線的截面，變形后不一定保持垂直，轉(zhuǎn)角與梁撓曲線的斜率之間并不存在簡單的聯(lián)系。與彎矩相對應(yīng)的廣義應(yīng)變時相鄰兩截面的相對轉(zhuǎn)角κ，它不是撓曲線的曲率，不過習(xí)慣上仍稱為曲率。與剪力Q相對應(yīng)的廣義位移是剪切角γ，其相應(yīng)關(guān)系為［14］:

2.2.4 整體位移計算

根據(jù)經(jīng)典梁理論模型，在縱向位移上疊加滑移位移和扭轉(zhuǎn)位移，忽略截面轉(zhuǎn)角對質(zhì)點位移貢獻的二階微量，箱梁截面任一點整體位移為:

箱梁截面上任意點的位移可用該點所在截面的廣義位移表示。如圖4所示，其端點為單元的兩節(jié)點，單元節(jié)點位移分量為:

式中:ui，vi，wi，θxi，θyi和θzi為節(jié)點 i沿 x，y和z方向的位移和轉(zhuǎn)角，ζi和ζ＇i為節(jié)點i沿梁縱向的界面滑移和滑移應(yīng)變，β為翹曲函數(shù)。圖中用雙箭頭表示轉(zhuǎn)角，用“*”表示界面滑移。

圖4 空間梁單元節(jié)點位移Fig.4 Nodal displacements of space beam element

2.3 薄壁箱梁各板件局部位移計算

2.3.1 頂板和底板梁段單元局部位移

取組合箱梁橫截面框架腹板之間的頂板(底板同)為基本單元，沿梁縱向取頂板微段，如圖5所示。在頂板法線方向根據(jù)節(jié)點i和j處局部位移Δi，Δj，θi和 θj，頂板梁段面外局部位移取 Hermite插值函數(shù)得:

根據(jù)Kirchhoff假定，視翼板為Kirchhoff薄板，豎向局部位移引起翼板局部完全而在s軸方向產(chǎn)生位移，n為頂、底板豎向坐標(biāo)，可得面內(nèi)橫向局部位移為:

頂板面內(nèi)縱向局部位移為:

以上各式左端上標(biāo)R表示局部位移，為了方便，i和j改為表示各板件梁段節(jié)點號，組合箱梁梁元節(jié)點號用m和n表示。

圖5 頂板局部位移示意圖Fig.5 Partial displacement of wing

2.3.2 斜腹板梁段單元局部位移為

斜腹板局部位移示意圖如圖6所示?？紤]梁內(nèi)縱向纖維之間存在擠壓現(xiàn)象放棄在全截面內(nèi)的平截面假定，而采用各板塊在各自面內(nèi)的縱向位移保持為平截面。根據(jù)前述分析模型，斜腹板的局部位移為:

其中θ為斜腹板與箱梁截面坐標(biāo)軸夾角。當(dāng)θ=90°時，即可得到豎直腹板的局部位移。

圖6 斜腹板局部位移示意圖Fig.6 Partial displacement of oblique webs

2.3.3 懸臂板梁段單元局部位移

圖7所示為懸臂板梁段局部位移示意圖。

以上各式針對左懸臂板推導(dǎo)。對于右懸臂板，只需將式(16)中的s用l－s替換，即可得到右懸臂板的局部位移。

圖7 懸臂板局部位移示意圖Fig.7 Partial displacement of cantilever plate

2.3.4 橫隔板梁段單元局部位移

采用考慮橫隔板節(jié)點轉(zhuǎn)角的位移模型［10］，同時忽略橫隔板的平面外剛度。圖8所示為考慮橫隔板節(jié)點轉(zhuǎn)角的局部位移示意圖，忽略橫隔板的面外彎曲。ij邊到mn邊采用線性插值描述質(zhì)點面內(nèi)位移沿y方向的變化。in邊至jm邊采用線性插值函數(shù)描述質(zhì)點面內(nèi)位移沿z方向的變化。同時保持邊界上的位移與頂板、底板、腹板協(xié)調(diào)，得橫隔板單元局部位移表達(dá)式為:

式中:P1，P2，P3，P4，Q2和 Q4表達(dá)式見文獻［4］。

圖8 橫隔板局部位移示意圖Fig.8 Partial displacement of diaphragm

2.4 梁段廣義位移參數(shù)

箱梁是由頂、底板、腹板和懸臂板等單元組成，假設(shè)梁段節(jié)點號為m和n，圖2示出了單室組合箱梁部分整體位移參數(shù)，各板件交點為 i，j，k，l，p 和q，如圖3所示。根據(jù)前述基本思路和的基本假定，描述該梁段單元上所有節(jié)點位移需要廣義整體位移、局部位移和滑移。根據(jù)以上梁段各板件廣義位移參數(shù)的分析，可以得出梁段的廣義位移參數(shù)。本文建立的“組合梁段單元”共有74個自由度，每個節(jié)點37個自由度，如下式所示:

雙下標(biāo)的第一個下標(biāo)表示交點號;第二個下標(biāo)表示梁段單元節(jié)點號;三下標(biāo)的前2個下標(biāo)表示板段元件;第三個下標(biāo)表示梁段單元節(jié)點號。

3 梁段單元剛度矩陣及求解

3.1 應(yīng)變計算及虛功增量方程

將上述各板件的整體位移、滑移位移和局部位移疊加后即可得到箱梁梁段任一點的總體位移，根據(jù)文獻［4］可得到各板件增量位移－應(yīng)變關(guān)系，其應(yīng)變非為線性部分和非線性部分。

根據(jù)U.L.列式虛功方程，可得頂、底板、腹板和懸臂板的虛功增量方程為:

3.2 單元荷載勢能

3.3 平衡方程

集合以上各板件的應(yīng)變能可得結(jié)構(gòu)總勢能為:

式中:N為梁單元個數(shù);Πe為梁單元應(yīng)變能;為梁單元滑移應(yīng)變能;V為外荷載勢能。

以上為單元剛度矩陣和荷載列陣的推導(dǎo)，可編制有限元程序?qū)Χ喾N截面形式的空間桿系結(jié)構(gòu)進行分析計算。與通用有限元程序計算組合箱梁相比有如下優(yōu)點:(1)前處理時，直接按簡單梁單元方法進行離散，后處理時，可直接得到滑移、畸變、剪切變形等各位移量，前后處理簡單;(2)本文方法適合不同邊界條件的組合箱梁計算;(3)本文計算程序可以在一般桿系有限元計算程序的基礎(chǔ)上簡單改進而得。模型單元數(shù)量少，建模簡單方便，前后處理工作簡便，收斂迅速，計算時間短，并可方便計算多種截面形式。(4)改變頂、底板材料性質(zhì)，該組合箱梁單元也可計算鋼箱梁、混凝土箱梁。

4 算例驗算

一簡支鋼－混凝土組合箱梁，跨度L=4.0 m，截面特性如圖9所示［4］，混凝土彈性模量為3.25×104MPa，泊松比0.2;鋼材彈性模量為2×105MPa，泊松比0.3，跨中作用集中荷載。根據(jù)本文提出的組合箱梁梁段有限元法理論編制的CBAP1.0有限元程序，將該梁單元劃分為8個兩節(jié)點空間梁段單元進行計算。

圖9 截面尺寸(單位:mm)Fig.9 Dimensions of cross section(unit:mm)

圖10和圖11所示為考慮界面滑移效應(yīng)和材料及幾何非線性的荷載－撓度曲線和荷載－滑移曲線的本文算法計算值和實測結(jié)果。從圖中可看出，本文計算結(jié)果與實測值較吻合，驗證了本文算法和程序的正確性。

圖10 荷載－撓度曲線Fig.10 Load － deflection curves

圖11 荷載－滑移曲線Fig.11 Load － slip curves

5 結(jié)論

(1)根據(jù)組合箱梁滑移模型，建立了組合箱梁考慮滑移與剪切的空間梁元及其整體位移參數(shù)，根據(jù)周邊不變形假設(shè)推導(dǎo)了組合箱梁整體位移與滑移位移。

(2)將組合箱梁整體位移、滑移位移與周邊變形的局部位移疊加，推導(dǎo)了組合箱梁總體位移。

(3)根據(jù)各板件總體位移推導(dǎo)了各子單元的線性應(yīng)變與非線性應(yīng)變，根據(jù)最小勢能原理推導(dǎo)了組合箱梁梁段單元剛度矩陣和荷載列陣。

(4)編制了組合箱梁非線性空間有限元程序，并與試驗結(jié)果進行比較，結(jié)果表明組合箱梁梁段有限元法物理概念明確，計算精度高，收斂速度快。

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