胡帥帥 李俊林

（太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024）

文獻［1－3]研究了各向同性復(fù)合材料中所含垂直裂紋尖端的一系列問題.文獻［1]中采用mellin變換法研究垂直裂紋問題，得出裂紋接觸界面后，應(yīng)力的性態(tài)指數(shù)與材料常數(shù)及裂紋集合形狀有關(guān).文獻［2]中用liyong mellin變換方法，將垂直裂紋問題歸結(jié)為求解Cauchy型奇異積分方程組，得到半無限長裂紋受集中力作用時，接觸點奇性應(yīng)力場，并對其分布函數(shù)進行了數(shù)值求解.文獻［3]介紹了裂紋垂直于一個非理想雙材料界面的情形.

本文利用傅里葉積分變換巧妙地構(gòu)造出了裂紋尖端的位移場，通過適當(dāng)?shù)倪吔邕B續(xù)條件將邊值問題轉(zhuǎn)換成帶有Cauchy核的奇異積分方程，并給出了應(yīng)力強度因子的表達式，當(dāng)兩種材料相同時得出與文獻［4]一致的結(jié)論.

1 力學(xué)模型

如圖1所示，a≤x≤b，y＝0為垂直界面裂紋，其中心距雙材料界面距離為c，x＝0為材料粘結(jié)面.x＞0部分是第1種正交異性材料，其材料工程常數(shù)為E11、E12、v11、v12和μ1，而x＜0部分是第2種正交異性材料，其材料工程常數(shù)為E21、E22、v21、v22和μ2.由于靠近裂紋尖端奇異場的影響，在裂紋表面施加一個純剪切載荷，也就是

圖1 含有垂于正交各向異性雙材料界面的II型裂紋

2 基本方程

由彈性力學(xué)可知在不考慮體力的情況下，控制方程為

物理方程為

這里j＝1，2分別對應(yīng)于正交異性材料1與材料2.u（j）和v（j）分別代表x和y方向的位移，也就是u（j）＝u（j）（x，y），v（j）＝v（j）（x，y），c（j）ik為無量綱參數(shù).

控制方程要在如下邊界連續(xù)條件下求解：

2.1 求解

由于問題的對稱性，只需考慮y≥0的情況就可以了，如文獻［5－6]中的討論，通過傅里葉積分變換構(gòu)造方程（2）～（3）的解為

其中

r2j（j＝3，4）是如下方程的正實根

把方程（12a）～（12d）帶入物理方程（4）～（6）中可得

上面的表達式顯然滿足式（2）～式（6），下面通過適當(dāng)?shù)倪B續(xù)邊界條件得到裂紋尖端的彈性場.找出未知函數(shù)由邊界連續(xù)條件式（7）～式（11）可以得到

（s）＝0，對式（20）、式（22）化簡可以得到

其中

根據(jù)方程（19），（21），（25），（26），未知函數(shù)可以用關(guān)于χ1，χ2的表達式來表示，即

此處，關(guān)于Mj（s）、Nj（s），j＝（1，2，3，4）的表達式省略.

由邊界條件u（1）（x，0）＝0；0＜x＜a，b＜x＜∞可以得到

由σ（1）xy（x，0）＝－τ0，a＜x＜b把式（29）代入式（17a）～（17f）可得

其中

2.2 求解奇異積分方程

發(fā)現(xiàn)方程（31）很難求解，可以把其化成帶有柯西核的奇異積分方程，然后通過數(shù)值計算得出結(jié)果.為此，定義輔助位錯密度函數(shù)g（x）

這里面的系數(shù)是為了后面的計算方便而取得的，由

可得

又由于u（1）（a，0）＝u（1）（b，0）＝0，則位錯密度函數(shù)g（x）滿足單值約束條件.

對方程（34）進行傅里葉積分逆變換，可以得到

把方程（36）代入方程（31），則方程可以轉(zhuǎn)化成

其中

從上面分析可以看出奇異項被提出且核k（ζ，x）變得連續(xù).而方程（37）的求解相當(dāng)困難，除非核k（ζ，x）對于特殊的情況具有非常簡單的表達式.對于一般情況，引入無量綱變量如下

可以把方程（37）寫為

此處

另外，從物理學(xué)的觀點根據(jù)裂紋尖端的奇異反平方根，很容易地選取函數(shù)且

接下來用切比雪夫配置方法把方程（40）離散成一個線性代數(shù)方程組

這里

另外單值約束條件可以寫為

一旦線性方程組（42）、（43）的解確定了，就很容易得到裂紋尖端應(yīng)力場.

3 應(yīng)力強度因子

從斷裂力學(xué)的觀點來看，應(yīng)力強度因子是一個關(guān)于裂紋尖端應(yīng)力場非常重要的參數(shù)表征.

根據(jù)目前的研究定義裂紋尖端左右端的應(yīng)力強度因子如下

由式（41）可以得到

現(xiàn)在來看一種特殊的情形，即當(dāng)正交異性材料1與正交異性材料2為同一種材料時.即

此時，經(jīng)過計算可以得到：k（ξ，x）＝0而且奇異積分方程（37）可以被表示為

由式（45）很容易計算出在裂紋尖端左右端的應(yīng)力強度因子為與已知結(jié)果文獻［5]中保持一致.

此文中的應(yīng)力強度因子除了自身的材料性質(zhì)影響之外，由式子（39）～（41）、（45）可以看出：裂紋長度的大小2a0即（b－a）、以及裂紋中心距雙材料界面的距離c即都會對應(yīng)力強度因子產(chǎn)生影響.

4 結(jié) 論

1）構(gòu)造出正交異性雙材料界面端新的力學(xué)模型.

2）通過傅里葉積分變換很巧妙地構(gòu)造出了裂紋尖端的位移場，并推導(dǎo)出相應(yīng)的裂紋尖端應(yīng)力場.

3）給出了文章中所提模型中裂紋的應(yīng)力強度因子表達式，并當(dāng)兩種材料完全相同時得出與已知文獻一致的結(jié)論.

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［4]Fan T Y.Foundation of Fracture Mechanics［M].Jiangsu Sci－Tech，Nangjing（in Chinese），1978.

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［6]周振功，王 彪.位于兩不同正交各向異性半平面間張開型界面裂紋的性能分析［J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2004，25 （7）：887－1000.