吳文慧

(山西省交通科學(xué)研究院，山西太原 030006)

0 引言

外包鋼—混凝土U形組合梁是在由薄壁冷彎型鋼與厚鋼板焊接而成的U形鋼槽內(nèi)澆灌混凝土，并采取適當(dāng)?shù)臉?gòu)造措施(完全剪切連接或超過(guò)完全剪切連接)，使兩者能夠有效共同工作的一種新型的鋼與混凝土組合結(jié)構(gòu)。較一般鋼—混凝土組合梁而言，此類(lèi)構(gòu)件具有受力性能高、施工工序優(yōu)化、防火性能改善和綜合經(jīng)濟(jì)指標(biāo)高等諸多優(yōu)點(diǎn)。

本文針對(duì)外包鋼—混凝土組合梁的受力特點(diǎn)進(jìn)行了研究分析，針對(duì)外包鋼—混凝土組合梁的正截面受彎承載力計(jì)算公式以及構(gòu)造約束的多變量問(wèn)題，建立起以總造價(jià)為目標(biāo)函數(shù)的外包鋼—混凝土簡(jiǎn)支梁截面的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。利用MATLAB優(yōu)化工具箱[1]，采用序列二次規(guī)劃算法。

通過(guò)編制相應(yīng)的程序進(jìn)行求解，以快速、準(zhǔn)確地設(shè)計(jì)出最佳截面。并通過(guò)對(duì)一外包鋼—混凝土組合梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)表明，計(jì)算所得數(shù)據(jù)的結(jié)果此種優(yōu)化方法正確，算法有效。并且分析所得數(shù)據(jù)，提出了外包鋼—混凝土組合梁截面初步設(shè)計(jì)時(shí)需要注意的問(wèn)題。

1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

目前，大多數(shù)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程是先假定截面尺寸，再對(duì)其進(jìn)行結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析和構(gòu)件截面驗(yàn)算，如不滿足則需要重新設(shè)計(jì)，此過(guò)程較為被動(dòng)。然而結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)則是按照某一優(yōu)化的方法使設(shè)計(jì)方案達(dá)到最佳的設(shè)計(jì)目標(biāo)，是主動(dòng)的、有規(guī)律的搜索過(guò)程。大體可分為三個(gè)具體步驟:

1)建立數(shù)學(xué)模型;

2)根據(jù)優(yōu)化目標(biāo);

3)借助相關(guān)的編程軟件，按某種優(yōu)化理論迭代運(yùn)算，達(dá)到優(yōu)化目的[2]。

1.1 設(shè)計(jì)變量

外包鋼—混凝土組合梁的截面尺寸如圖1所示。結(jié)合工程中的常用形式，建立冷彎型鋼上翼緣內(nèi)翻梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。設(shè)控制外包鋼—混凝土整個(gè)截面變化的設(shè)計(jì)變量為xi(i=1，2，3，…，12)，寫(xiě)成矢量形式為:

x=[x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12]。

1.2 目標(biāo)函數(shù)

外包鋼—混凝土組合梁的優(yōu)化目的是在滿足約束條件下達(dá)到總造價(jià)最小，故取目標(biāo)函數(shù)為外包鋼—混凝土組合梁的總造價(jià)，在這里只是考慮混凝土、鋼筋、型鋼的購(gòu)買(mǎi)價(jià)格，其中型鋼也可兼作模板，故不考慮模板等的費(fèi)用，目標(biāo)函數(shù)為:

Z(x)=CcAc+CsAs+CaAa=Cc(x1x2+x3x4)+

Cs(x9+x10+x11+x12)+Ca[x7(2x5+2x6+2x2)+x1x8]。

其中，Ac，As，Aa分別為混凝土、鋼筋和型鋼的面積;Cc，Cs，Ca分別為單位長(zhǎng)度梁截面混凝土、鋼筋和型鋼的市場(chǎng)價(jià)格。

1.3 約束條件

為了簡(jiǎn)化計(jì)算和保證計(jì)算結(jié)果的收斂性，對(duì)于完全剪切連接的外包鋼—混凝土組合梁的計(jì)算需要做如下的假定:

1)在荷載的作用下梁的截面仍然符合平截面的假定;

2)型鋼、鋼筋和混凝土的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系可按GB 50010-2002混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[3]取用;

3)混凝土壓應(yīng)力在極限狀態(tài)下呈矩形分布，忽略受拉區(qū)的混凝土作用;

4)計(jì)算截面極限彎矩時(shí)，鋼板(鋼筋)無(wú)論拉、壓均取0.9fy，不考慮鋼板的局部屈曲;

5)外包鋼和混凝土都具有相同的曲率，并且不考慮滑移和掀起對(duì)抗彎承載力的影響。

圖1 外包鋼—混凝土組合梁的截面尺寸示意圖

1.3.1 強(qiáng)度約束

受彎構(gòu)件中強(qiáng)度控制是最主要因素，根據(jù)GB 50010-2002混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[3]取受拉及受壓鋼筋的混凝土保護(hù)層as=as'=35 mm，h0表示的是自縱向受拉鋼筋的合力點(diǎn)到混凝土受壓邊緣的距離。

根據(jù)中和軸位置的不同，可以建立外包鋼—混凝土組合梁的正截面抗彎承載力計(jì)算公式，并按如下兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算:

1)塑性中和軸位于混凝土翼緣內(nèi)，即Asbfsby+Aswfswy≤behc1fc時(shí):

式中:fc——混凝土抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值;

fswy——型鋼腹板強(qiáng)度設(shè)計(jì)值;

fsby——型鋼底板強(qiáng)度設(shè)計(jì)值;

Asb——型鋼底板面積;

Asw——型鋼腹板面積;

y1——型鋼底板截面合力作用點(diǎn)至混凝土受壓區(qū)截面應(yīng)力合力點(diǎn)的距離;

y2——型鋼腹板截面合力作用點(diǎn)至混凝土受壓區(qū)截面應(yīng)力合力點(diǎn)之間的距離。

2)塑性中和軸位于鋼梁內(nèi)，即Asbfsby+Aswfswy＞behc1fc時(shí):

其中，Aswt為型鋼腹板的受拉面積;y3為型鋼腹板受壓面積應(yīng)力的合力作用點(diǎn)到型鋼底板形心軸的距離;y4為型鋼腹板受拉面積應(yīng)力合力的作用點(diǎn)到型鋼底板形心軸的距離。

除此之外，為了保證型鋼的梁底板能夠屈服發(fā)生在外包鋼—混凝土組合梁發(fā)生彎曲破壞之前，使其充分發(fā)揮性能，混凝土的受壓區(qū)高度還應(yīng)滿足下式要求:

x≤xb= ξbh0=0.8(h － tsb/2)/[1+fsby/(Esεcu)] (3)

其中，x為混凝土的受壓區(qū)高度;xb為混凝土的界限受壓區(qū)高度。

1.3.2 變形(撓度)約束

應(yīng)按彈性理論計(jì)算完全抗剪連接的外包鋼—混凝土組合梁的變形數(shù)值，對(duì)于荷載短期效應(yīng)的組合，可將截面中的內(nèi)部填充混凝土和混凝土翼板計(jì)算寬度除以鋼材與混凝土的彈性模量比值αE進(jìn)行換算，形成組合鋼截面;對(duì)于荷載長(zhǎng)期效應(yīng)的組合，則可以除以2αE以換算為鋼截面。

由于粘結(jié)滑移效應(yīng)會(huì)使構(gòu)件破壞強(qiáng)度降低，所以在實(shí)際工程中通常是通過(guò)U型鋼和混凝土之間粘結(jié)、抗剪插筋和抗剪栓釘以保證型鋼和混凝土兩者之間完全連接，達(dá)到忽略滑移效應(yīng)對(duì)外包鋼—混凝土組合梁變形影響的目的。

根據(jù)《型鋼規(guī)程》[2]表4.2.8 要求，當(dāng) l0＜7 m 時(shí)，梁的撓度限值[v]=l0/200。變形的約束條件是:

v(x)≤v。

1.3.3 幾何條件

目前針對(duì)外包鋼—混凝土的設(shè)計(jì)，還沒(méi)有完整具體的相關(guān)規(guī)范，但是可以參照J(rèn)GJ 138-2001型鋼混凝土組合結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程[4]和GB 50010-2002混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[3]的要求選取幾何約束條件。

1)U形鋼板的厚要求不宜小于6 mm，故約束條件為:x7≥6，x8≥6;

2)《規(guī)程》[4]5.4.1 要求梁截面寬度不宜小于 300 mm，截面的高寬比不宜大于4，故約束條件為:x1≥300，x2/x1＜4;

3)《規(guī)程》[4]5.4.2 要求梁受拉鋼筋的配筋率宜大于 0.3% 且小于1.5%，故約束條件為:0.3%＜x11/(x1h0)＜1.5%;

4) 縱向受力鋼筋的構(gòu)造要求:16≤ds≤25;s≥60;ns≥2;ρs≥0.8%;

5)箍筋的構(gòu)造要求:dsv≥max{6，ds/4};ssv≤min{400，b，15ds};ρsv≥0.4%;

6)翼緣板的厚度要求:x4≥70。

其優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為多約束條件下求解最小值，調(diào)用MATLAB優(yōu)化工具箱[1]的約束最優(yōu)化求解函數(shù)來(lái)求解。

2 實(shí)例計(jì)算

采用文獻(xiàn)[5]給出的算例，一根跨長(zhǎng)為8.1 m的外包鋼—混凝土組合梁，梁承受120 kN的集中荷載，采用三分點(diǎn)對(duì)稱(chēng)加載的方式，求該梁的最優(yōu)截面配置。

材料屬性:混凝土強(qiáng)度等級(jí)C25，型鋼采用Q235，縱向鋼筋采用HRB335，箍筋采用HPB235。材料的力學(xué)性能指標(biāo)均按現(xiàn)行規(guī)范選用。

各材料單價(jià)為:Cc=350.00 元/m3×1.0 m=3.50 ×10－4元/mm2;Ca=2.74 ×10－2元/mm2;Cs=3 200.00 元/t×7.80 ×103kg/m3=2.51 ×10－2元/mm2。

經(jīng)過(guò)276次函數(shù)調(diào)用，得到如下最終優(yōu)化結(jié)果:

x=[402，472，1 350，100，55，65，4，14，341，202，1 120，285]。Z(x)=fval=1 175.64 元。

3 結(jié)果分析

1)對(duì)比參考文獻(xiàn)[5]給出的算例，采取同樣的荷載作用。文獻(xiàn)的變量取為:

x=[500，550，1 450，100，75，75，4，16，402，804，1 527，302]。

總造價(jià)為:

Z(x)=1 918.82 元。

可見(jiàn)通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)，梁的造價(jià)只是初始設(shè)計(jì)的61.26%，優(yōu)化作用比較明顯。

2)由數(shù)據(jù)結(jié)果可見(jiàn)，受壓區(qū)所用鋼筋與受拉區(qū)所用鋼筋相比用量很小，說(shuō)明受壓區(qū)的壓力主要由混凝土承擔(dān)，這也是外包鋼—混凝土組合梁與普通鋼筋混凝土梁的區(qū)別。即在實(shí)際設(shè)計(jì)中受壓區(qū)的鋼筋按構(gòu)造配筋即可。

3)本文選用Q235-B鋼，對(duì)于用Q345鋼的U形梁，以及相應(yīng)的采用不同型號(hào)的混凝土及鋼筋，只需改動(dòng)相關(guān)變量中的參數(shù)數(shù)據(jù)，調(diào)用MATLAB優(yōu)化工具箱[1]的約束最優(yōu)化求解函數(shù)，就可以快速得到準(zhǔn)確、經(jīng)濟(jì)、安全的截面設(shè)計(jì)。

[1] 王 湛，黃冀卓，龔明袖.MATLAB優(yōu)化工具箱在鋼結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化中的應(yīng)用[J].工業(yè)建筑，2003，32(8):72-73.

[2] 劉齊茂，李 微，張 鵬.鋼—混凝土組合梁的截面優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，32(3):115-118.

[3] GB 50010-2002，混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[S].

[4] JGJ 138-2001/J 130-2001，型鋼混凝土組合結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程[S].

[5] 杜德潤(rùn)，李?lèi)?ài)群.新型外包鋼—混凝土組合簡(jiǎn)支梁的設(shè)計(jì)[J].特種結(jié)構(gòu)，2007，24(4):19-24.