李補(bǔ)喜，蔚曉嬌

(1.山西大學(xué)工商管理研究所，太原030006;2.山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原030006)

供應(yīng)商，是指可以為企業(yè)提供原材料、設(shè)備及其他資源的企業(yè)。它可以是生產(chǎn)企業(yè)，也可以是流通企業(yè)。供應(yīng)商對(duì)企業(yè)的生產(chǎn)和發(fā)展起著非常重要的作用。供應(yīng)商選擇是供應(yīng)鏈及其風(fēng)險(xiǎn)管理中的一個(gè)經(jīng)典決策問題。企業(yè)在選擇供應(yīng)商時(shí)不僅考慮各個(gè)供應(yīng)商提供的產(chǎn)品的質(zhì)量、價(jià)格、送貨的及時(shí)性，同時(shí)，在面對(duì)各種不確定的情況下，還要考慮采購(gòu)過程可能碰到的各種風(fēng)險(xiǎn)，如，因地震、自然災(zāi)害等造成供應(yīng)商不能及時(shí)送貨從而導(dǎo)致企業(yè)生產(chǎn)中斷，不能按時(shí)滿足顧客需求，由此產(chǎn)生企業(yè)違約，給企業(yè)帶來損失[1-3]。此外，為了降低風(fēng)險(xiǎn)，企業(yè)在全面考慮各種因素的基礎(chǔ)上，通常選擇從多個(gè)供應(yīng)商采購(gòu)不同數(shù)量的貨物。因此，在有不確定性的情況下，進(jìn)行供應(yīng)商選擇決策時(shí)，需要比較各種可能情形下的成本，通常選擇成本或風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VAR或CVAR[4-5])最低的供應(yīng)商組合。然而，實(shí)際中，供應(yīng)商選擇中面臨的不確定的情況復(fù)雜，供應(yīng)商的不同采購(gòu)組合情景數(shù)量很大，如10個(gè)供應(yīng)商，每個(gè)供應(yīng)商的不確定因素有10種可能，這時(shí)供應(yīng)商的所有可能組合有100億種。要對(duì)如此龐大的組合比較相應(yīng)的成本，進(jìn)而選擇出成本最低的供應(yīng)商組合，其計(jì)算工作量巨大。因此如何處理供應(yīng)商選擇過程中碰到的數(shù)據(jù)量大、可能情景多，即如何減少計(jì)算工作量，是一個(gè)十分重要的問題。本文的目的在于考慮具有離散指數(shù)分布延遲風(fēng)險(xiǎn)的供應(yīng)商選擇問題。許多文獻(xiàn)考慮了供應(yīng)商選擇模型，或者是單周期模型，或者是多周期模型[6-9]。還有文獻(xiàn)考慮了供應(yīng)商選擇評(píng)價(jià)指標(biāo)體系[10]。而本文目的既不在于建立供應(yīng)商選擇模型，也不在于對(duì)供應(yīng)商選擇進(jìn)行評(píng)價(jià)，而是利用數(shù)學(xué)模型將數(shù)量龐大的情景轉(zhuǎn)化為數(shù)量較少的另一種情景。

2 取值組合的重新劃分

首先給出一個(gè)定義:

定義 若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，Y為離散型隨機(jī)變量。如果對(duì)于任何整數(shù)k，Y的概率分布滿足:P(Y=k)=P(k≤X＜k+1)

則稱Y為連續(xù)型隨機(jī)變量X的離散化隨機(jī)變量。

假設(shè)一個(gè)生產(chǎn)商為顧客不同訂單組裝生產(chǎn)多種類型的產(chǎn)品，生產(chǎn)使用的零部件是向多個(gè)供應(yīng)商采購(gòu)的。每個(gè)供應(yīng)商能為生產(chǎn)商提供所需的定制部件。然而，供應(yīng)商的供應(yīng)能力不同，并且提供零部件的價(jià)格，質(zhì)量以及按時(shí)交貨的可能性方面不同。設(shè)I={1，2，…，m}為m個(gè)供應(yīng)商的集合，每個(gè)供應(yīng)商單位周期(如天)單位產(chǎn)品的延遲懲罰成本不同，假設(shè)供應(yīng)商i的單位周期單位產(chǎn)品的延遲成本為ei.同時(shí)，假設(shè)不同供應(yīng)商的延遲周期相互獨(dú)立，且供應(yīng)商i的延遲周期數(shù)Yi是指數(shù)分布的離散化隨機(jī)變量，其最大延遲周期為ni，對(duì)應(yīng)的指數(shù)分布為Xi.則，對(duì)于任何非負(fù)整數(shù)k＜ni，有:

且P(Yi=ni)=P(ni≤Xi)

在具有延遲風(fēng)險(xiǎn)的供應(yīng)商選擇決策中，從不同供應(yīng)商訂購(gòu)不同數(shù)量零部件(設(shè)從供應(yīng)商i訂購(gòu)的數(shù)量為zi，(z1，z2，L，zm)是決策變量)的延遲成本為:

顯然，由于Yi為隨機(jī)變量，若要選擇供應(yīng)商，需要窮盡所有可能的供應(yīng)商的延遲組合(Y1，Y2，L，Ym)，并計(jì)算不同供應(yīng)商組合下的延遲成本(1)并進(jìn)行比較。若供應(yīng)商的數(shù)量較大(如m=10)，且每一供應(yīng)商的可能延遲周期數(shù)較大(如ni=10)，那么，供應(yīng)商的延遲組合(Y1，Y2，L，Ym)數(shù)量為 1110。顯然，這會(huì)導(dǎo)致供應(yīng)商選擇模型的計(jì)算工作量很大。

為了解決上述組合數(shù)量龐大所導(dǎo)致的計(jì)算量問題，需要將大量的原始組合從不同視角進(jìn)行重新分組，劃分為組合數(shù)量較少的情形。為此，考慮所有供應(yīng)商總延遲的離散化隨機(jī)變量，記為Y，定義如下:

在這種情況下，如果m=10且ni=10，那么，可能的情形只有101種，由此降低供應(yīng)商延遲的可能情形的數(shù)量。這時(shí)，用Y估計(jì)的每一可能情形下的延遲成本。

需要指出，Y與不同，二者之間的差異及其對(duì)延遲成本的影響，還有待研究。本文著重強(qiáng)調(diào)大樣本問題轉(zhuǎn)化為小樣本問題的簡(jiǎn)化方法。

2 延遲成本的估計(jì)

定理1 設(shè)隨機(jī)變量Xi(i=1，2，…，m)服從參數(shù)為 λi(i=1，2，…，m)的指數(shù)分布，且Xi(i=1，2，…，m)相互獨(dú)立。

(1)若λ1=λ2=… =λm=λ，則服從Ga(m，λ)，其密度函數(shù)為:

(2)若 λi(i=1，2，…，m)互不相同，則X=的密度函數(shù)為:

證明 (1)的證明利用卷積公式容易得到，下面給出(2)的證明過程。

利用數(shù)學(xué)歸納法證明。

當(dāng)m=2時(shí)，易證結(jié)論成立。

假設(shè)當(dāng)m=k-1時(shí)，結(jié)論成立，即的密度函數(shù)為:

當(dāng)m=k時(shí)，的密度函數(shù)為:

故結(jié)論成立。

因此，當(dāng)λ1=λ2=…=λm=λ時(shí)，

當(dāng) λi(i=1，2，…，m)互不相同時(shí)，

上述定理將不同供應(yīng)商的延遲周期轉(zhuǎn)化為所有供應(yīng)商的總延遲周期。這意味著，不同供應(yīng)商延遲周期的組合，將以總和的形式加以表現(xiàn)。因此，這為不同供應(yīng)商延遲周期的所有可能情形(組合數(shù)量為)轉(zhuǎn)化為所有供應(yīng)商總的延遲周期的可能情形(組合數(shù)量為()提供了基礎(chǔ)，顯然，可能情形的數(shù)量大大降低。

同時(shí)，上述定理也為所有供應(yīng)商總的延遲周期的每一取值出現(xiàn)的概率提供了計(jì)算基礎(chǔ)。

定理2 設(shè)供應(yīng)商i(i=1，2，…，m)的延遲周期為非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量Xi(i=1，2，…，m)的離散化隨機(jī)變量Yi(i=1，2，…，m)，其最大延遲周期為ni(i=1，2，…，m)。且假定，Xi(i=1，2，…，m)相互獨(dú)立。若zi為從供應(yīng)商i訂購(gòu)的產(chǎn)品數(shù)量，ei為供應(yīng)商i的單位周期單位產(chǎn)品的延遲成本。則對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)，在的情形下，從全部供應(yīng)商訂購(gòu)零部件總平均延遲成本為:

證明 對(duì)于供應(yīng)商i，Yi是供應(yīng)商i的隨機(jī)延遲周期，由于Xi，i=1，2，…，m相互獨(dú)立，則Yi，i=1，2，…，m，相互獨(dú)立。設(shè)ki是Yi的可能取值，ni是Yi的最大可能取值。當(dāng)時(shí)，供應(yīng)商i延遲周期為的ki概率為

由條件期望的定義[11]可知:

由于Yi，i=1，2，…，m為非負(fù)隨機(jī)變量，且ni是Yi的最大可能取值。因此，當(dāng)ki＞k或ki＜時(shí)，

(1)若ni≤k，則當(dāng)時(shí)，從供應(yīng)商i訂購(gòu)零部件的平均延遲成本:

(2)若ni＞k，則當(dāng)時(shí)，從供應(yīng)商i訂購(gòu)零部件的平均延遲成本:

顯然，定理2給出了所有供應(yīng)商的總延遲周期在不同取值情形下相應(yīng)的延遲成本，這為供應(yīng)商選擇決策中比較不同方案的成本提供了可能。由式(4)可以看出，在計(jì)算從供應(yīng)商訂購(gòu)零部件的平均延遲成本時(shí)需要計(jì)算，定理1為計(jì)算指數(shù)分布和的離散化情形奠定了基礎(chǔ)。

3 算法

為了計(jì)算所有供應(yīng)商總延遲周期在不同取值情形下的總延遲成本，利用定理1與定理2，我們給出如下算法:

算法

1 對(duì)i=1，2，…，m執(zhí)行:

1.1 對(duì)于ki=0，1，…，ni利用指數(shù)分布的密度函數(shù)計(jì)算P(Yi=ki):當(dāng)ki＜ni時(shí)，P(Yi=ki)=P(ki≤Xi＜ki+1)當(dāng)ki=ni時(shí)，P(Yi=ki)=P(ni≤Xi)

1.2 對(duì)于j=0，1，…

2 對(duì)k=0，1，…執(zhí)行:

2.1 令i=1;Sum=0;

2.2 令ki=max();sum=0.

2.3利用第1步的結(jié)果計(jì)算

2.4 令ki=ki+1，

如果ki≤ min(ni，k)，返回 2.3 步;

否則，退出循環(huán)。

2.5 計(jì)算 Sum=Sum+sum.

2.6 令i=i+1，

如果i≤m，返回第2.2 步;

否則，退出循環(huán)。

3輸出Sum

當(dāng)所有供應(yīng)商的延遲隨機(jī)變量獨(dú)立同分布時(shí)，上述算法可以簡(jiǎn)化。這是由于對(duì)于i=1，2，…，m，Yi同分布也同分布。

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