樂(lè)江源 謝運(yùn)祥 冀玉丕 張志

(1．華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣東廣州510640;2．贛南師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，江西贛州341000)

以微分幾何為基礎(chǔ)的非線性控制理論近20年來(lái)得到了迅速發(fā)展，其中提出的狀態(tài)反饋精確線性化的非線性控制設(shè)計(jì)方法引起了大量研究者的關(guān)注．該方法的核心思想是通過(guò)適當(dāng)?shù)姆蔷€性狀態(tài)和坐標(biāo)變換，使非線性系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)或輸入/輸出的精確線性化，從而將復(fù)雜的非線性綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)的綜合問(wèn)題．它與傳統(tǒng)的利用泰勒展開(kāi)式進(jìn)行局部線性化近似方法不同，在線性化過(guò)程中沒(méi)有忽略掉任何高階非線性項(xiàng)，因此這種線性化不僅是精確的，而且是整體的，即線性化對(duì)變換有定義的整個(gè)區(qū)域都適用［1-4］．該方法已經(jīng)被成功地用于解決一些實(shí)際控制問(wèn)題［5-10］．文獻(xiàn)［7-10］中將該方法應(yīng)用于DC/DC開(kāi)關(guān)變換器的控制，取得了明顯優(yōu)于PI控制的效果，這也為該方法在更復(fù)雜電力電子系統(tǒng)中的應(yīng)用提供了可能．

就目前研究現(xiàn)狀來(lái)看，基于微分幾何理論的反饋線性化非線性控制方法在電力電子中的應(yīng)用是建立在非線性系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型假設(shè)的基礎(chǔ)上的，未考慮實(shí)際系統(tǒng)的不確定性，因此魯棒性不強(qiáng)，在實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用中有很大的局限性．而滑模變結(jié)構(gòu)控制以其對(duì)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)以及外界干擾特有的強(qiáng)魯棒性深受重視，近20多年來(lái)在非線性領(lǐng)域也取得了突破性的進(jìn)展［4］．由于電力電子變換器固有的開(kāi)關(guān)特性，滑模變結(jié)構(gòu)控制在各類電力電子變換器中也得到了廣泛應(yīng)用［11-20］．但目前的滑模變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)大多采用控制變量與參考量的誤差為切換函數(shù)，無(wú)法對(duì)滑動(dòng)模態(tài)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)進(jìn)行優(yōu)化控制．理論上說(shuō)，考慮系統(tǒng)的非線性特性，選取的切換函數(shù)也應(yīng)該是非線性的．

基于以上原因，文中以CCM Buck變換器為研究對(duì)象，嘗試將精確反饋線性化與滑模變結(jié)構(gòu)控制相結(jié)合，提出了Buck變換器精確反饋線性化滑模變結(jié)構(gòu)控制策略．該方法結(jié)合了精確反饋線性化非線性控制與滑模變結(jié)構(gòu)控制的優(yōu)點(diǎn)，一方面可以利用滑動(dòng)模態(tài)對(duì)于不確定性與干擾的不變性，減弱精確反饋線性化方法對(duì)精確數(shù)學(xué)模型的依賴性，提高整個(gè)控制系統(tǒng)的魯棒性;另一方面精確反饋線性化有助于建立線性滑模函數(shù)，線性滑動(dòng)模態(tài)可以利用線性理論改善其動(dòng)態(tài)性能．文中還利用仿真工具，將該方法與無(wú)源性滑模變結(jié)構(gòu)控制方法相比較，驗(yàn)證了該方法的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性和強(qiáng)魯棒性．

1CCM Buck變換器仿射非線性系統(tǒng)模型

CCM Buck變換器工作原理如圖1所示．

圖1 Buck變換器原理圖Fig．1 Working principle of Buck converter

DC-DC變換器是一種典型的雙線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其工作狀態(tài)隨開(kāi)關(guān)管的通斷在不同模態(tài)間切換．可定義以下開(kāi)關(guān)函數(shù)s:式中，T為開(kāi)關(guān)周期，d為占空比函數(shù);n、n+1分別表示第n、n+1個(gè)開(kāi)關(guān)周期．狀態(tài)變量可根據(jù)儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)確定，選取電感電流iL和輸出電容電壓uo為狀態(tài)變量，利用開(kāi)關(guān)函數(shù)可建立如下?tīng)顟B(tài)方程:

開(kāi)關(guān)頻率足夠高時(shí)，采用狀態(tài)空間平均法，可將狀態(tài)空間平均模型表示為

式中，u(t)為占空比隨時(shí)間變化的函數(shù)．令x1=iL，x2=uo，由于實(shí)際系統(tǒng)中的Uin是輸入電壓量，不具有可控性，因此不能作為系統(tǒng)的控制變量．只能選取占空比函數(shù)u(t)作為控制變量，且令u(t)=u．因此可得到單輸入單輸出仿射非線性系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式如下:

2CCM Buck變換器狀態(tài)反饋精確線性化

經(jīng)過(guò)上述變換，得到了適合微分幾何方法的仿射非線性模型，該模型的特點(diǎn)是:對(duì)于狀態(tài)變量可能是非線性的，對(duì)于控制變量則是線性的．下面在上述模型的基礎(chǔ)上，應(yīng)用微分幾何方法對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行反饋精確線性化．首先驗(yàn)證是否滿足精確反饋線性化條件，為此計(jì)算李括號(hào)Lfg(X):

再考察系統(tǒng)給定的原輸出函數(shù)能否直接作為坐標(biāo)變換進(jìn)行線性化，為此計(jì)算原輸出函數(shù)對(duì)應(yīng)的關(guān)系度:

由式(6)可知，狀態(tài)方程(4)定義的輸出函數(shù)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)相對(duì)階為2，等于系統(tǒng)的維數(shù)．因此可得到坐標(biāo)變換為

在坐標(biāo)變換Z=Φ(X)條件下，原非線性系統(tǒng)可變換成線性系統(tǒng)布魯洛夫斯基標(biāo)準(zhǔn)型:

式中:Z為變換后線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量，Z=(z1，z2);v為新的控制變量，它與原非線性系統(tǒng)控制變量u有如下關(guān)系:

為此計(jì)算式(9)中的李導(dǎo)數(shù)L2fh(X)和LgLfh(X):

3 基于狀態(tài)反饋精確線性化的滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

經(jīng)過(guò)上述精確反饋線性化后，原非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成了能控線性系統(tǒng)．由于微分同胚的映射關(guān)系，可以在線性系統(tǒng)上設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的控制功能．考察Buck變換器的控制目標(biāo)是使輸出電壓uo跟蹤參考電壓uoref．當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，可計(jì)算出電感電流iL參考值iLref為

根據(jù)坐標(biāo)變換關(guān)系式(7)，可得到線性系統(tǒng)(8)的狀態(tài)變量的參考值為

式中，z1ref、z2ref分別表示坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量z1和z2的參考值．至此，原非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)的跟蹤控制問(wèn)題．為了進(jìn)一步將跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化成系統(tǒng)在原點(diǎn)(0，0)的鎮(zhèn)定問(wèn)題，定義以下誤差變量:

將其代入式(8)可得到以誤差變量E為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程:

則可得到滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程:

可取線性切換函數(shù)為

因此只要保證c1＞0，即可保證滑動(dòng)模態(tài)在原點(diǎn)(0，0)上漸進(jìn)穩(wěn)定，調(diào)節(jié)c1的取值，可調(diào)節(jié)滑動(dòng)模態(tài)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)．

利用坐標(biāo)反變換，可得原非線性系統(tǒng)的切換流形s(X)及相應(yīng)的等效控制ueq(X):

由此可知，系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)經(jīng)過(guò)趨近運(yùn)動(dòng)到達(dá)切換流形，然后在等效控制下沿切換流形向平衡點(diǎn)滑動(dòng)．但由于實(shí)際控制量u是受限的，并不是切換流形上的每個(gè)點(diǎn)都能引起滑模運(yùn)動(dòng)．根據(jù)實(shí)際控制量的取值范圍可確定滑動(dòng)模態(tài)區(qū)為

下面求取變結(jié)構(gòu)控制u±(X)，使到達(dá)條件得到滿足．依據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)控制的一般規(guī)律，系統(tǒng)能夠在有限的時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換流形，但滑模變結(jié)構(gòu)控制固有的抖振現(xiàn)象將使電力電子變換器表現(xiàn)為開(kāi)關(guān)紋波較大．一般而言，根據(jù)特定的趨近律來(lái)設(shè)計(jì)變結(jié)構(gòu)控制是一種既可保持變結(jié)構(gòu)的魯棒性又能減小抖振的方法．下面采用指數(shù)趨近律進(jìn)行u±(X)的設(shè)計(jì)．令

可得

轉(zhuǎn)換成x1、x2坐標(biāo)空間的變結(jié)構(gòu)控制為

4 數(shù)值仿真及實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證所提出的控制策略的性能，采用Matlab仿真軟件對(duì)基于狀態(tài)反饋精確線性化滑模變結(jié)構(gòu)控制的系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真系統(tǒng)電路結(jié)構(gòu)如圖1所示．仿真系統(tǒng)基本參數(shù)為:輸入電壓Uin=12V，輸出電壓Uoref=5V，負(fù)載電阻R=5Ω，開(kāi)關(guān)頻率fs=100kHz，輸入電感L=1mH，輸出濾波電容C=100μF．

為了說(shuō)明所提出的新型控制策略具有良好的動(dòng)靜態(tài)性能，分別在啟動(dòng)過(guò)程、負(fù)載電阻周期性擾動(dòng)和輸入電壓周期擾動(dòng)3種情形下，與文獻(xiàn)［18］中所提出的無(wú)源性控制策略進(jìn)行了對(duì)比分析．為保證對(duì)比的有效性，無(wú)源性控制策略的注入阻尼R1在較大范圍內(nèi)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)置，分別研究了注入阻尼R1取0．01、0．10和 1．00 Ω 時(shí)的系統(tǒng)啟動(dòng)過(guò)程．基于狀態(tài)反饋精確線性化滑模變結(jié)構(gòu)控制策略的控制參數(shù)選取為:c1=1000，ε =5 ×105，k=8 ×104．

4．1 啟動(dòng)響應(yīng)特性對(duì)比

圖2給出了系統(tǒng)在兩種不同控制策略下的啟動(dòng)特性曲線．其中圖2(a)、圖2(b)和圖2(c)分別為注入阻尼 R1取 0．01、0．10 和 1．00 Ω 時(shí)無(wú)源性控制策略下的啟動(dòng)特性曲線，圖2(d)為基于狀態(tài)反饋精確線性化滑模變結(jié)構(gòu)控制策略的啟動(dòng)特性曲線．由圖可知:無(wú)源性控制策略在不同注入阻尼的情況下，啟動(dòng)過(guò)程中電感電流和輸出電壓都存在超調(diào)現(xiàn)象和振蕩過(guò)程，隨著注入阻尼的增大，超調(diào)有所減小，但振蕩過(guò)程加長(zhǎng)，增加了系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的過(guò)渡時(shí)間．而基于狀態(tài)反饋精確線性化滑模變結(jié)構(gòu)控制策略的系統(tǒng)啟動(dòng)過(guò)程，跟無(wú)源性控制策略比較，具有無(wú)超調(diào)、無(wú)振蕩過(guò)渡過(guò)程的特點(diǎn)，系統(tǒng)很快達(dá)到穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)時(shí)間短，說(shuō)明新型非線性復(fù)合控制策略具有更優(yōu)越的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性．另外，從系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的波形對(duì)比分析也可看出:新型非線性復(fù)合控制策略的電感電流和輸出電壓的波動(dòng)小，紋波少，說(shuō)明其具有更優(yōu)越的穩(wěn)態(tài)特性．

圖2 兩種控制方法的電感電流和輸出電壓?jiǎn)?dòng)波形Fig．2 Starting waveforms of inductor current and output voltage when using two controllers

4．2 負(fù)載突變時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性對(duì)比

圖3為負(fù)載電阻由5．0Ω跳變到2．5 Ω時(shí)兩種控制策略的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線，其中圖3(a)為新型非線性復(fù)合控制策略在負(fù)載電阻突變時(shí)電感電流和輸出電壓的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線．由圖可看出:電感電流在負(fù)載電阻突變時(shí)能迅速響應(yīng)，并穩(wěn)定在新的穩(wěn)態(tài)值，且無(wú)超調(diào)、無(wú)振蕩過(guò)渡過(guò)程;而輸出電壓在負(fù)載電阻突變的瞬間存在一定的超調(diào)(約0．5 V左右)，但能很快恢復(fù)到設(shè)定的參考電壓，無(wú)振蕩過(guò)渡過(guò)程．圖3(b)為無(wú)源性控制策略在負(fù)載電阻突變時(shí)電感電流和輸出電壓的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線．由圖3可看出:電感電流在負(fù)載電阻突變時(shí)存在較大的超調(diào)，并伴隨著約一個(gè)周期的振蕩過(guò)渡過(guò)程;而輸出電壓在負(fù)載電阻突變的瞬間也存在較大的超調(diào)(約2 V左右)，同樣存在一個(gè)周期的振蕩過(guò)渡過(guò)程．對(duì)比分析可知:在負(fù)載擾動(dòng)的情況下，新型非線性復(fù)合控制策略比無(wú)源性控制策略具有更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，響應(yīng)速度快，超調(diào)量小，說(shuō)明采用新型非線性復(fù)合控制策略的系統(tǒng)具有更強(qiáng)的魯棒性及帶負(fù)載能力．

圖3 兩種控制方法在負(fù)載擾動(dòng)下的輸出電壓和電感電流動(dòng)態(tài)響應(yīng)波形Fig．3 Dynamic response waveforms of output voltage and inductor current when using two controllers with load disturbance

4．3 輸入電壓動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性對(duì)比

圖4為輸入電壓由12 V跳變到18 V時(shí)兩種控制策略的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線．其中圖4(a)為新型非線性復(fù)合控制策略在輸入電壓突變時(shí)電感電流和輸出電壓的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線，由圖可看出:電感電流和輸出電壓基本上不受輸入電壓擾動(dòng)的影響．圖4(b)為無(wú)源性控制策略在輸入電壓突變時(shí)電感電流和輸出電壓的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線，由圖可看出:電感電流和輸出電壓在輸入電壓突變瞬間都存在超調(diào)和振蕩，并存在一定的穩(wěn)態(tài)靜差．對(duì)比分析可知:新型非線性復(fù)合控制策略對(duì)輸入電壓的擾動(dòng)表現(xiàn)出非常強(qiáng)的魯棒性，這點(diǎn)可以從控制律(22)得到理論解釋，因?yàn)榭刂坡傻姆帜笧檩斎腚妷篣in，當(dāng)輸入電壓存在擾動(dòng)時(shí)，直接調(diào)節(jié)占空比，可迅速維持輸出電壓的穩(wěn)定．因此，采用新型非線性復(fù)合控制策略的系統(tǒng)具有更寬的輸入電壓適用范圍．

圖4 兩種控制方法在輸入電壓擾動(dòng)下的輸出電壓和電感電流動(dòng)態(tài)響應(yīng)波形Fig．4 Dynamic response waveforms of output voltage and inductor current when using two controllers with input voltage disturbance

4．4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出的新型非線性控制方法的正確性，基于TMS320F2812設(shè)計(jì)了控制系統(tǒng)，進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究．相關(guān)電路參數(shù)及控制系統(tǒng)參數(shù)與仿真時(shí)一致．

圖5為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)的輸出電壓和電感電流波形．由圖5可知:電感電流按照開(kāi)關(guān)頻率周期性波動(dòng)，輸出電壓波形穩(wěn)定，紋波小，與理論分析和仿真波形一致．輸出電壓與設(shè)定值有一定的靜態(tài)誤差，分析可知是由于輸入電感的電阻及MOS管的導(dǎo)通壓降造成的．

圖6為周期性投切附加負(fù)載時(shí)，輸出電壓和電感電流的動(dòng)態(tài)響應(yīng)波形．從波形可以看出:輸出電壓在負(fù)載突變時(shí)，有較小的超調(diào)，但很快過(guò)渡到電壓穩(wěn)定值;而電感電流迅速調(diào)節(jié)到新的穩(wěn)定值，無(wú)振蕩，無(wú)超調(diào)．說(shuō)明所提出的控制方法同樣具有良好的動(dòng)態(tài)性能．

圖5 新型非線性控制方法下輸出電壓和電感電流的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)波形Fig．5 Steady-state response waveforms of output voltage and inductor current with novel nonlinear control method

圖6 負(fù)載擾動(dòng)下輸出電壓和電感電流的動(dòng)態(tài)響應(yīng)波形Fig．6 Dynamic response waveforms of output voltage and inductor current with load disturbance

5 結(jié)語(yǔ)

文中提出了一種基于精確反饋線性化的Buck變換器滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，先通過(guò)精確反饋線性化方法將原非線性系統(tǒng)映射成簡(jiǎn)單的線性系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了原非線性系統(tǒng)的解耦控制，再采用線性切換函數(shù)和指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)了滑模變結(jié)構(gòu)控制器．仿真比較及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明，文中所提出的控制方法具有以下優(yōu)點(diǎn):

(1)由于采用了精確反饋線性化，實(shí)現(xiàn)了原非線性系統(tǒng)的解耦控制，因此系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度提高，穩(wěn)態(tài)精度得到改善．

(2)由于結(jié)合了滑模變結(jié)構(gòu)控制技術(shù)，因此所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)具有強(qiáng)魯棒性，減弱了精確反饋線性化控制方法對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的強(qiáng)依賴性，為精確反饋線性化先進(jìn)控制方法的工程應(yīng)用提供了理論途徑．

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