孫文軍，芮國(guó)勝，張 嵩，張 洋

(1.海軍航空工程學(xué)院研究生管理大隊(duì)，山東煙臺(tái)264001;

2.海軍航空工程學(xué)院信號(hào)與信息處理山東省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東煙臺(tái)264001)

0 引言

強(qiáng)噪聲背景下微弱信號(hào)的檢測(cè)廣泛應(yīng)用于工業(yè)故障診斷及通信信號(hào)接收等領(lǐng)域，對(duì)新技術(shù)研究及相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展具有重要的意義［1－2］。噪聲對(duì)弱信號(hào)檢測(cè)實(shí)現(xiàn)的影響是該領(lǐng)域中的一個(gè)重要課題。文獻(xiàn)［3］討論了高斯白噪聲對(duì)弱信號(hào)混沌檢測(cè)的影響，文獻(xiàn)［4］主要研究了色噪聲背景下微弱正弦信號(hào)的混沌檢測(cè)方法，文獻(xiàn)［5］研究了基于混沌相平面變化的微弱信號(hào)檢測(cè)算法，實(shí)現(xiàn)了信噪比為－48 dB條件下微弱信號(hào)的檢測(cè)。

應(yīng)用混沌相平面檢測(cè)算法對(duì)各種噪聲條件下系統(tǒng)的檢測(cè)性能進(jìn)行了研究，對(duì)基于Duffing方程的混沌系統(tǒng)在白噪聲、色噪聲及脈沖噪聲等各種噪聲背景下的免疫性進(jìn)行了仿真分析，為進(jìn)一步探究混沌系統(tǒng)優(yōu)良抗噪性能的機(jī)理，降低強(qiáng)噪聲背景下可檢測(cè)信號(hào)的信噪比門(mén)限提供了一定的依據(jù)和借鑒。

1 基于Duffing振子的正弦信號(hào)檢測(cè)

混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)主要有Duffing模型和Lorenz模型和Vanderpol模型等，其中Duffing方程研究的比較充分，在微弱信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［6］。Holmes型Duffing方程標(biāo)準(zhǔn)形式如下:

式中，γcos(ωt)為系統(tǒng)內(nèi)置周期策動(dòng)力，k為阻尼比，－x+x3為非線性恢復(fù)力。

基于Duffing方程構(gòu)成的混沌系統(tǒng)對(duì)周期策動(dòng)力的強(qiáng)度γ有強(qiáng)烈的敏感性，在阻尼比固定的情況下，隨著周期性策動(dòng)力的強(qiáng)度變化，系統(tǒng)將歷經(jīng)同宿軌道、分叉軌跡、混沌狀態(tài)、臨界狀態(tài)以及大尺度周期狀態(tài)等，表現(xiàn)出豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特性［7］。其中，系統(tǒng)在混沌態(tài)對(duì)應(yīng)的相圖為一定區(qū)域內(nèi)永不封閉的軌跡，在大尺度周期態(tài)對(duì)應(yīng)的相圖為封閉曲線，二者截然不同，因此，常將系統(tǒng)由混沌狀態(tài)到大尺度周期狀態(tài)的轉(zhuǎn)變作為微弱信號(hào)檢測(cè)的依據(jù)，如圖1所示(圖2均略去了過(guò)渡狀態(tài)點(diǎn))。

弱信號(hào)檢測(cè)原理:將待測(cè)信號(hào)作為作為Duffing方程周期策動(dòng)力的攝動(dòng)，當(dāng)系統(tǒng)周期策動(dòng)力γ=γd時(shí)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。但是此時(shí)若有滿足特定條件的信號(hào)加入到系統(tǒng)中，即使信號(hào)的幅值極小，系統(tǒng)也將發(fā)生相變由混沌狀態(tài)進(jìn)入大尺度周期狀態(tài)，然后根據(jù)系統(tǒng)是否發(fā)生相變來(lái)判定信號(hào)的存在與否及被測(cè)信號(hào)幅度、頻率等物理量。

2 噪聲影響分析

如果在微弱信號(hào)檢測(cè)中不考慮噪聲的影響，系統(tǒng)在混沌態(tài)和大尺度周期態(tài)下的相平面軌道都是平滑的。但是，事實(shí)上在任何信號(hào)檢測(cè)過(guò)程中，檢測(cè)過(guò)程中的噪聲都是不可避免的。

假設(shè)n(t)為檢測(cè)過(guò)程中的噪聲，添加噪聲n(t)后，系統(tǒng)檢測(cè)方程為:

分析表明，Duffing系統(tǒng)在外加周期驅(qū)動(dòng)力時(shí)的平衡態(tài)為雙曲平衡態(tài)。假設(shè)系統(tǒng)檢測(cè)方程在臨界狀態(tài)下的解為x，用Δx(t)表示噪聲對(duì)系統(tǒng)檢測(cè)輸出x(t)的微小擾動(dòng)，其中，假設(shè)噪聲的均值為0，方差為σ2，經(jīng)整理得出噪聲存在的情況下系統(tǒng)的隨機(jī)微分方程形式［8］:

相比系統(tǒng)檢測(cè)輸出x(t)，Δx(t)的值很小，所以略去Δx(t)的高階量，得到式(3)的矢量微分方程形式:

其中，主要矢量分別表示為:

該矢量微分方程存在一個(gè)滿足某個(gè)初始條件的唯一的解，可以表示為:

式中，Φ為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣。由于主要對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)的性能進(jìn)行分析，而式(10)第1項(xiàng)為暫態(tài)解，將很快衰減為0，對(duì)于第2項(xiàng)，考慮其統(tǒng)計(jì)特性，有:

其中，

ΓYY(u，v)，ΓXX(t，s)分別表示輸入噪聲在時(shí)刻u和v，輸出噪聲在時(shí)刻t和s的相關(guān)函數(shù)矩陣。在式(11)中，令 u=v，t=s，t0= － ∞，可以得到噪聲在某時(shí)刻的均方值:

由上可以得出結(jié)論:噪聲并沒(méi)有對(duì)系統(tǒng)原軌跡產(chǎn)生根本的影響，只是使系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡變得不再光滑，在理想軌跡附近有波動(dòng)，即噪聲使系統(tǒng)輸出相軌道上布滿了“毛刺”，其粗糙程度的大小由方差決定，但總體均值為零。另外，由于上述推導(dǎo)過(guò)程中對(duì)噪聲分布的問(wèn)題并沒(méi)有進(jìn)行限定，因而理論上，對(duì)于任意分布的平穩(wěn)隨機(jī)噪聲，基于Duffing方程的混沌系統(tǒng)都具有良好的免疫性能。

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

(1)實(shí)驗(yàn)1 混有白噪聲的正弦信號(hào)檢測(cè)

調(diào)整系統(tǒng)的內(nèi)置周期策動(dòng)力強(qiáng)度為γ=0.80，使系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，加入高斯白噪聲并逐漸增加噪聲強(qiáng)度，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)仍將處于混沌狀態(tài)，如圖2(a)所示;加入混有高斯白噪聲的正弦信號(hào)，待測(cè)信號(hào)強(qiáng)度為0.01 V，系統(tǒng)將躍變到大尺度周期狀態(tài)，如圖2(b)所示;由于噪聲方差較小，系統(tǒng)相軌跡比較平滑，“毛刺”幾乎看不到;繼續(xù)增大白噪聲強(qiáng)度，系統(tǒng)軌道將變粗，“毛刺”增多，如圖2(c)所示;當(dāng)噪聲增加到一定強(qiáng)度時(shí)，噪聲干擾將占據(jù)主導(dǎo)地位，由系統(tǒng)相圖將無(wú)法判別系統(tǒng)是否發(fā)生相變進(jìn)入了大尺度周期狀態(tài)，如圖2(d)所示。

圖2 不同信噪比下系統(tǒng)檢測(cè)相圖

系統(tǒng)可檢測(cè)信號(hào)的信噪比為:

其中，圖2(b)，圖2(c)，圖2(d)的信噪比分別為:－26 dB，－36 dB和 －46 dB。進(jìn)一步的仿真實(shí)驗(yàn)表明，基于Duffing方程的混沌檢測(cè)系統(tǒng)的檢測(cè)門(mén)限可達(dá)－42 dB。

(2)實(shí)驗(yàn)2 混有色噪聲的正弦信號(hào)檢測(cè)

采用高斯白噪聲通過(guò)低通濾波器的方法產(chǎn)生色噪聲，其中濾波器為四階低通濾波器。系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:

其中，通過(guò)調(diào)節(jié)濾波器參數(shù)k，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲功率的控制。歸一化的通帶截止頻率為 ωp=0.15 Hz，阻帶起始頻率為 ωs=0.2 Hz，調(diào)整濾波器參數(shù) k，使得噪聲功率變?yōu)?.115×10－4W，待測(cè)正弦信號(hào)強(qiáng)度為0.01 V，加入正弦信號(hào)后系統(tǒng)的相軌跡躍變到大尺度周期狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)檢測(cè)信號(hào)的信噪比為SNR= －29.633 0 dB。

(3)實(shí)驗(yàn)3 混有脈沖噪聲的正弦信號(hào)檢測(cè)

該節(jié)對(duì)混有脈沖噪聲的正弦信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)實(shí)驗(yàn)，噪聲的脈沖峰值分別為 Vp=0.4，0.6，0.8，1.0，1.2，1.4，對(duì)受到不同強(qiáng)度噪聲污染的正弦信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)實(shí)驗(yàn)，待測(cè)信號(hào)強(qiáng)度為B=0.01 V。檢測(cè)結(jié)果表明，Vp=1.0時(shí)，系統(tǒng)相軌跡仍然非常平滑，Vp=1.2時(shí)，系統(tǒng)相軌跡在脈沖噪聲峰值處有相應(yīng)的大幅度沖擊相應(yīng)。故系統(tǒng)可檢測(cè)信號(hào)的最大信噪比表示為:

(4)實(shí)驗(yàn)4 混有復(fù)雜噪聲的正弦信號(hào)檢測(cè)

對(duì)復(fù)雜噪聲條件下混沌檢測(cè)系統(tǒng)的抗噪性能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。這種噪聲在低振幅部分具有高斯特性，在高振幅部分具有近似于指數(shù)正態(tài)分布特性，總體可以表示為背景高斯白噪聲和脈沖噪聲的疊加，噪聲模型為:

定義偏差Vd為:

通過(guò)控制Vd的大小來(lái)模擬噪聲成分的變化。Vd較小時(shí)，噪聲中的脈沖成分所占的比例較小，噪聲主要表現(xiàn)高斯特性;而當(dāng)Vd的值增大時(shí)，噪聲中的脈沖成分所占的比例也會(huì)隨之變大，此時(shí)，脈沖成分集中了噪聲的大部分能量，將對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)的性能產(chǎn)生顯著的影響。

Vd=2和Vd=10時(shí)的噪聲分布分別如圖3和圖4所示，由仿真可以明顯地看出2種情況下噪聲分布的差別(仿真實(shí)驗(yàn)中固定常量A=1)。

圖3 Vd=2時(shí)噪聲分布示意圖

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Vd較小時(shí)(Vd=2)，噪聲主要表現(xiàn)高斯特性，只有極少脈沖成分。采用式(15)的信噪比計(jì)算公式，系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)的信號(hào)檢測(cè)門(mén)限為SNR= －41.693 3 dB;Vd較大時(shí)(Vd=4.5)，噪聲中的脈沖成分將繼續(xù)增加，系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)的信號(hào)檢測(cè)門(mén)限為 －39.385 1 dB;繼續(xù)增大 Vd值(Vd=7)，噪聲中的脈沖成分增加，系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)的信號(hào)檢測(cè)門(mén)限為－25.342 2 dB;

Vd非常大時(shí)(Vd=10)，噪聲將以脈沖成分為主，系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)的信號(hào)檢測(cè)門(mén)限為－17.605 5 dB。

圖4 Vd=10時(shí)噪聲分布示意圖

4 結(jié)束語(yǔ)

研究了基于Duffing方程的微弱信號(hào)檢測(cè)方法，采用混沌相平面檢測(cè)算法對(duì)不同噪聲條件下算法的抗噪性能進(jìn)行了分析，理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)均表明基于Duffing方程的混沌檢測(cè)算法對(duì)白噪聲、色噪聲、脈沖噪聲及混疊噪聲等都具有較強(qiáng)的免疫性和較低的信噪比工作下限，相對(duì)于傳統(tǒng)的時(shí)域信號(hào)處理方法具有很大的優(yōu)勢(shì)。對(duì)基于Duffing方程的微弱信號(hào)檢測(cè)方法的抗噪性能進(jìn)行分析，為進(jìn)一步探究混沌系統(tǒng)優(yōu)良抗噪性能的機(jī)理，降低強(qiáng)噪聲背景可檢測(cè)信號(hào)的信噪比門(mén)限提供了一定的理論依據(jù)和借鑒?；煦鐧z測(cè)方法優(yōu)異的抗噪性能，使得它在弱信號(hào)檢測(cè)及相關(guān)領(lǐng)域極具發(fā)展前景。

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