鄭 鵬，王澤眾，劉 鋒，陶 然

(1.海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系，山東煙臺(tái)264001;2.北京理工大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，北京100081)

0 引言

MSK信號(hào)是調(diào)制指數(shù)為0.5的連續(xù)相位頻移鍵控信號(hào)，其相位連續(xù)、振幅恒定，且功率譜在主瓣以外衰減較快，具有帶寬窄、頻譜主瓣能量集中及頻帶利用率高等優(yōu)點(diǎn)，是現(xiàn)代數(shù)字調(diào)制技術(shù)發(fā)展方向之一，在通信、遙測(cè)等領(lǐng)域被廣泛采用［3］。對(duì)MSK信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)等處理，過(guò)去一般將其建模為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，這種方法并沒(méi)有充分利用MSK信號(hào)特點(diǎn)，實(shí)際上MSK信號(hào)具有典型循環(huán)平穩(wěn)性［4］，因此更適合于將其建模為循環(huán)平穩(wěn)過(guò)程，從而利用循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)的特征來(lái)對(duì)其進(jìn)行分析。文獻(xiàn)［5］推導(dǎo)了MSK信號(hào)循環(huán)譜，分析了其循環(huán)譜特點(diǎn);文獻(xiàn)［6－8］利用MSK信號(hào)的循環(huán)譜密度研究了對(duì)載頻和碼元速率進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的算法，其原理是對(duì)有限采集數(shù)據(jù)計(jì)算譜頻率f=0切面上的循環(huán)譜，利用其循環(huán)譜包絡(luò)峰值來(lái)實(shí)現(xiàn)MSK信號(hào)的參數(shù)估計(jì)。但這種算法在低信噪比或者數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較短時(shí)對(duì)載頻和碼元速率參數(shù)的估計(jì)效果并不理想，要想提高其估計(jì)性能往往需要增加數(shù)據(jù)長(zhǎng)度和采樣時(shí)間。在已有文獻(xiàn)基礎(chǔ)上提出一種基于循環(huán)譜的MSK信號(hào)載頻、碼元速率改進(jìn)估計(jì)算法，該算法能夠有效地抑制噪聲影響，對(duì)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度要求低，在有限數(shù)據(jù)長(zhǎng)度條件下，可以實(shí)現(xiàn)低信噪比下MSK信號(hào)的載頻和碼元速率的參數(shù)估計(jì)。

1 基于循環(huán)譜的MSK信號(hào)參數(shù)估計(jì)

MSK信號(hào)可以表示為:

式中，fc為載波頻率，φ0為初始相位，c(t)、d(t)分別為:

式中，cn和dn都是二進(jìn)制序列，t0是初始時(shí)間，Ts是碼元時(shí)寬，q(t)是成形脈沖，即:

可以推導(dǎo)出x(t)的循環(huán)譜密度為:

Q(f)是q(t)的傅里葉變換:

其中:

由施瓦茨不等式可得如下表達(dá)式:

對(duì)式(9)繼續(xù)使用施瓦茨不等式進(jìn)行分解，可得到以下結(jié)論，MSK信號(hào)循環(huán)譜幅度在f=0處α截面上，當(dāng)α=±2fc±fs/2處取得較大非零值，即循環(huán)譜密度在f=0處α截面上的幾個(gè)較大值分別存在于α1=2fc+fs/2，α2=2fc－fs/2，α3=－2fc+fs/2，α4=－2fc－fs/2處。所以有如下2式成立:

由于平穩(wěn)噪聲的循環(huán)譜密度集中在零循環(huán)頻率處，造成零循環(huán)頻率上受噪聲影響嚴(yán)重，故在估計(jì)中都排除了零循環(huán)頻率。這樣可以減少噪聲影響，提高精度，有利于低信噪比下信號(hào)參數(shù)估計(jì)。又因?yàn)檠h(huán)譜密度正負(fù)頻率處包含信息相同，故在實(shí)際參數(shù)估計(jì)中只選取正的循環(huán)頻率軸，這樣可以減小一半運(yùn)算量和存儲(chǔ)量。因此可以通過(guò)搜索循環(huán)譜密度在f=0處α截面正半軸上的最大值和次大值，利用上述2式來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)載頻和碼元寬度的參數(shù)估計(jì)。

2 算法原理及數(shù)字實(shí)現(xiàn)

改進(jìn)算法核心思想是分段處理和重疊保留:將輸入信號(hào)采樣值進(jìn)行重疊數(shù)據(jù)分段，重疊系數(shù)選為50%，對(duì)每段數(shù)據(jù)進(jìn)行非矩形窗加窗處理，以減小數(shù)據(jù)之間相關(guān)性，然后對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)段進(jìn)行譜相關(guān)運(yùn)算，得到循環(huán)譜密度，最后對(duì)每段結(jié)果做平均處理，得到信號(hào)循環(huán)譜密度估計(jì)。

對(duì)于有限時(shí)間長(zhǎng)度接收數(shù)據(jù)，要得到循環(huán)譜的可靠估計(jì)，減小譜泄露，必須對(duì)循環(huán)周期圖進(jìn)行平滑處理。平滑分為時(shí)域平滑和頻域平滑2種，其中時(shí)域平滑因具有較高計(jì)算效率和較小計(jì)算量而在工程中被廣泛采用。在這里采用時(shí)域平滑循環(huán)周期圖來(lái)估計(jì)信號(hào)的循環(huán)譜密度。以FAM算法為例，其循環(huán)譜密度的時(shí)域平滑估計(jì)可以表示為:式中，XT(r，f)稱為復(fù)解調(diào)，又被稱為循環(huán)周期圖，a(n)為數(shù)據(jù)衰減窗，gc(n)為平滑窗。其中q=－P/2，…，P/2－1，L為抽取因子，滿足L ＜ N'，當(dāng)L=N'/4時(shí)效果最好。N為總的采樣數(shù)，LP=N。

由此得到估計(jì)算法的數(shù)字實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下:

①將有限時(shí)間T內(nèi)的接收信號(hào)以Ts采樣，共得到N點(diǎn)數(shù)據(jù)，將所得的數(shù)據(jù)分為K段，每段M點(diǎn)，N=KM;

文獻(xiàn)增長(zhǎng)規(guī)律的研究，一般以文獻(xiàn)累積數(shù)據(jù)為依據(jù)[1]，根據(jù)美國(guó)科學(xué)史學(xué)家普賴斯所涉及的理論[2]，我們將創(chuàng)業(yè)研究近60年發(fā)表的文獻(xiàn)各年分布和累積情況繪制如圖1所示。由圖可見(jiàn)，近60年創(chuàng)業(yè)研究發(fā)文呈一條平滑的上揚(yáng)曲線，與指數(shù)增長(zhǎng)規(guī)律高度吻合，擬合方程為y = 6.749e0.116x，說(shuō)明創(chuàng)業(yè)研究還處于知識(shí)積累階段。普賴斯按文獻(xiàn)量增長(zhǎng)變化情況將科學(xué)文獻(xiàn)增長(zhǎng)劃分為四個(gè)階段判斷，創(chuàng)業(yè)研究發(fā)文目前正處于發(fā)展時(shí)期。

②采用50%重疊保留法對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行重新分組，得到L=2K個(gè)數(shù)據(jù)段，其中數(shù)據(jù)不足部分采用補(bǔ)零操作，每段數(shù)據(jù)仍為M點(diǎn);

③對(duì)L個(gè)數(shù)據(jù)段分別利用非矩形窗進(jìn)行加窗處理，得到新數(shù)據(jù);

⑥在實(shí)數(shù)序列中搜索最大值和次大值，并記下其對(duì)應(yīng)的位置序號(hào)i1和i2，由位置序號(hào)可計(jì)算出載頻估計(jì)值:

3 算法性能分析

理想情況下，即數(shù)據(jù)采集時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，平穩(wěn)噪聲在非零循環(huán)頻率上的循環(huán)譜密度應(yīng)為Δ，但是由于實(shí)際采集時(shí)間有限，所以噪聲循環(huán)譜密度在非零循環(huán)頻率并非恒為零，這會(huì)對(duì)參數(shù)估計(jì)產(chǎn)生影響，在信噪比較低時(shí)，這種影響更加明顯。若輸入信噪比與信干比較高，采集時(shí)間△t足夠大，則會(huì)有如下不等式:

此時(shí)噪聲循環(huán)譜密度的瞬時(shí)均值為零，噪聲對(duì)載頻和碼片速率的估計(jì)影響很小。

由文獻(xiàn)［9］可知，噪聲循環(huán)譜密度和信號(hào)循環(huán)譜密度由如下近似比例式:

Sn(f)、Sx(f)分別為噪聲和信號(hào)的功率譜，Cα

因此，當(dāng)輸入信噪比下降時(shí)，采集時(shí)間必須相應(yīng)增加，方能使式(14)成立，使噪聲不對(duì)參數(shù)估計(jì)造成很大影響。

對(duì)于改進(jìn)算法來(lái)說(shuō)，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度保持不變，分段處理后式(15)變?yōu)?

因此，式(17)變?yōu)?

因此相同數(shù)據(jù)長(zhǎng)度下，改進(jìn)算法將式(17)提高K倍，噪聲對(duì)參數(shù)估計(jì)影響會(huì)降低很多，提高了信噪比門限。同樣若達(dá)到相同參數(shù)估計(jì)效果，所需數(shù)據(jù)長(zhǎng)度可大大減少。由上式也可看出，增大分段次數(shù)可以提高改進(jìn)算法性能。

由于在實(shí)際應(yīng)用中，樣本長(zhǎng)度N有限，所以用周期圖法估計(jì)的循環(huán)譜是時(shí)變的。要得到循環(huán)譜的可靠估計(jì)，使譜相關(guān)密度函數(shù)的估計(jì)與時(shí)間幾乎不相關(guān)，需滿足可靠性條件:

由上式可見(jiàn)要實(shí)現(xiàn)可靠估計(jì)，循環(huán)頻率分辨率Δα必須比頻率分辨率Δf高得多。時(shí)域平滑循環(huán)譜的頻率分辨率為Δf=fs/N'，循環(huán)頻率分辨率為Δα=1/Δt=fs/N，即有M=N/N'＞＞1。對(duì)于改進(jìn)算法來(lái)說(shuō)，分段結(jié)果使得每段數(shù)據(jù)長(zhǎng)度減小，循環(huán)頻率分辨率減小K倍，對(duì)于每段循環(huán)譜估計(jì)ΔtΔf也會(huì)減小，這會(huì)造成循環(huán)譜估計(jì)可靠性下降，結(jié)果就是使循環(huán)譜泄露變得嚴(yán)重，產(chǎn)生錯(cuò)誤峰值，這時(shí)參數(shù)估計(jì)精度反而會(huì)降低。因此實(shí)際應(yīng)用中，要選擇合適分段次數(shù)，而不是越大越好。

4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

采用式(1)所示信號(hào)，噪聲為高斯白噪聲。仿真中參數(shù)設(shè)置如下:采樣頻率fs=8 192 Hz，載頻f0=2 048 Hz，碼片速率為fc=512 Hz，信號(hào)的初始時(shí)間和初始相位均為0，所采用循環(huán)譜估計(jì)方法是FAM。

圖1為算法改進(jìn)前后f=0處MSK信號(hào)的循環(huán)譜密度包絡(luò)，實(shí)驗(yàn)信噪比為－5 dB。由圖可以看出，改進(jìn)算法對(duì)噪聲有明顯的抑制效果，改進(jìn)算法所得到循環(huán)譜包絡(luò)變得平坦，減少了錯(cuò)誤的噪聲峰值，峰值比原算法更加明顯，更易提取，這有利于低信噪比下的參數(shù)估計(jì)。

圖1 采用不同算法得到的f=0處循環(huán)譜密度包絡(luò)

圖2和圖3是在相同條件下算法改進(jìn)前后MSK信號(hào)載頻與碼元速率估計(jì)的歸一化均方根誤差，各實(shí)驗(yàn)都是重復(fù)進(jìn)行1 000次。由圖可以看出，隨著信噪比的提高，2種估計(jì)算法的估計(jì)誤差都會(huì)減小，估計(jì)性能均得到改善，但改進(jìn)算法要比原算法優(yōu)越得多，在低信噪比時(shí)仍有著良好的估計(jì)性能，估計(jì)的均方根誤差比原算法小得多，參數(shù)估計(jì)門限要比原算法提高了大約2 dB。

圖2 MSK信號(hào)載頻估計(jì)歸一化均方根誤差

圖3 MSK信號(hào)碼片速率估計(jì)歸一化均方根誤差

5 結(jié)束語(yǔ)

有限數(shù)據(jù)條件下，為了實(shí)現(xiàn)更低信噪比下MSK信號(hào)的載頻和碼元速率參數(shù)估計(jì)，提出了一種基于數(shù)據(jù)分段和重疊保留處理的改進(jìn)算法，改進(jìn)算法繼承了原有算法優(yōu)點(diǎn)，不需要信號(hào)先驗(yàn)知識(shí)，通過(guò)一維搜索分別實(shí)現(xiàn)載頻和碼元速率的參數(shù)估計(jì)，計(jì)算量小，但在相同數(shù)據(jù)條件下，改進(jìn)算法比已有算法能夠更有效地克服噪聲影響，參數(shù)估計(jì)門限提高了約2 dB。仿真結(jié)果和理論推導(dǎo)均表明，所提出方法在低信噪比下對(duì)MSK信號(hào)有著良好的參數(shù)估計(jì)性能。

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