周繼宇，張雅奇，徐伯慶

(上海理工大學光電信息與計算機工程學院，上海200093)

0 引言

Turbo譯碼器中主要采用最大后驗概率(MAP)和軟輸出Viterbi(SOVA)2類軟譯碼算法。其中，MAP算法因?qū)鸥駡D中的所有路徑進行雙向比較來獲取信號的后驗概率，故具有較高的譯碼精度。MAP算法早在1974年就已經(jīng)由Bahl等人提出，由于該算法中存在大量指數(shù)運算，不利于硬件實現(xiàn)。后來Robertson及Erfanian等人提出Log-MAP算法作為改進，將指數(shù)運算轉(zhuǎn)化為求最大值和校正函數(shù)的運算，得到的糾錯性能與MAP算法等價。若忽略Log-MAP算法中的校正函數(shù)，即為Max-Log-MAP算法，它大大簡化了計算，但是譯碼精度較Log-MAP算法要低0.3～0.5 dB，通信容量降低7% ～10%。

目前，實際應用中都是用查表來計算Log-MAP算法中的校正函數(shù)，即將校正函數(shù)所有的可能值存放在一個額外的外存儲單元中。這樣做，譯碼性能很好，卻很大程度地增加了Turbo譯碼器的成本。因此，這里采用非均勻量化的方法來對校正函數(shù)做區(qū)域近似，以期望在減小成本開銷的同時，盡量獲得較好的譯碼性能。

1 Log-MAP算法原理

圖1為一個MAP軟譯碼器單元，它的輸入有外信息Le(uk)，系統(tǒng)信息和校驗信息的復用序列(即=(y1，y2，…yk，…yN)，其中 yk=(，))，輸出為對數(shù)似然比信息L(u)。k

圖1 MAP譯碼單元框圖

MAP譯碼器的任務就是求解L(uk)，然后通過硬判決，得到原信息uk的最大似然估計u^k:

那么首先就需要計算原信息uk的對數(shù)似然比:

根據(jù)Bayes規(guī)則和BCJR算法推導式(2)可得:

至此，只要賦予前向度量和后向度量的初始值，便可遞推出任意時刻k的ak(s)和βk(s)的值，從而實現(xiàn)式(3)的求解。以上為標準的MAP算法求解過程，Log-MAP算法為了簡化計算，令:

代入式(3)可得:

又存在 Jacobian函數(shù)［6］:

再將式(5)代入到式(4)的分子、分母中即可完成簡化計算的目的，fc(·)就是校正函數(shù)，也是Log-MAP算法計算的重點。

2 校正函數(shù)的非均勻量化

2.1 確定校正函數(shù)的量化區(qū)域

表1 柵格路徑的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(編碼器寄存器個數(shù)為3)

從表1中可以看到，在時刻k，對于所有的8個寄存器狀態(tài)，超過半數(shù)的柵格路徑的x值大于4，即Turbo迭代譯碼中，絕大多數(shù)x＞4。因此，選取自變量 x的量化范圍為［0 4］，當 x ＞4時，fc(·)＜ 2 ×10－2，在計算時，可以作零值處理。

2.2 非均勻量化過程

首先，將縱坐標y在0和0.693之間均勻地劃分為 N個區(qū)間，得到的分段點分別為 y1，y2，…，yN－1。又因為 y=fc(x)=ln(1+e－x)，可求得yi(i=1，2，…，N－1)對應的橫坐標分段點xi(i=1，2，…，N － 1)。

然后，分別在量化區(qū)間［0 x1］、［x2x3］、…、［xN－14］上使用拉格朗日中值定理:

可以求得在［xi－1xi］段上，fc(x)的量化函數(shù)。當然要對式(6)中的f(x)直接求積c分，很難實現(xiàn)，所以可以先利用麥克勞林公式:

將校正函數(shù)展開，得到一個可積函數(shù)后，再代入式(6)。綜合考慮了計算復雜度和算法精度之后，這里采用五階的展開式:

下面就以兩電平和五電平量化為例，得到的各個區(qū)間上的量化，f函(數(shù)x)(［精0度0都.8取81 06.］0 00 1)。兩電平量化時c在區(qū)間 上近似為0.504 5，在區(qū)間［0.8816 4］近似為0.115 3;五電平量化時，fc(x)在［0 0.299 9］上近似為0.621 9，在［0.299 9 0.662 5］上 近 似 為 0.482 5， 在［0.662 5 1.141 2］上 近 似 為 0.342 6， 在［1.141 2 1.906 1］上 近 似 為 0.200 8， 在［1.9061 4］上近似為0.059 8。

2.3 量化函數(shù)與校正函數(shù)的近似度比較

兩電平和五電平非均勻量化函數(shù)分別與原校正函數(shù)的近似度比較如圖2和圖3所示。

圖2 兩電平量化

圖3 五電平量化

3 仿真結(jié)果

基于上述對校正函數(shù)的非均勻量化分析，將兩電平和五電平量化得到的近似函數(shù)用于Log-MAP算法，來實現(xiàn)Turbo碼的迭代軟譯碼。這里主要為編程實現(xiàn)對基于Log-MAP、近似Log-MAP和Max-Log-MAP算法的Turbo譯碼器仿真，并比較分析它們的譯碼性能。

這次仿真嚴格按照3GPP制定的LTE標準Release 9版本進行編程實現(xiàn)［5］，采用編碼速率為1/3的 Turbo編碼器。數(shù)據(jù)成幀發(fā)送，幀長為1 024 bit，信道為AWGN信道。圖4為仿真得到的4種譯碼算法的誤比特率曲線。

圖4 AWGN信道Turbo譯碼器的BER性能比較(迭代3次)

4種譯碼算法的復雜度比較如表2所示。

表2 算法復雜度

4 結(jié)束語

采用非均勻量化的方法分別對Log-MAP算法中的校正函數(shù)進行兩電平和五電平近似，并應用到LTE Turbo譯碼器中進行BER性能仿真。仿真結(jié)果表明:2種量化后的譯碼算法的糾錯性能明顯要優(yōu)于Max-Log-MAP算法，而略遜于Log-MAP算法。然而在算法復雜度上，采用非均勻量化的近似Log-MAP算法卻大大減少了Log-MAP算法的加法和查表次數(shù)，節(jié)省了硬件實現(xiàn)時，額外的存儲開銷。在降低Turbo譯碼器成本的同時，也獲得了較好的譯碼性能。

［1］LIU Bin-bin，BAI Dong，MEI Shunliang.Variable nonuniform quantized belief propagation algorithm for LDPC decoding［J］.Journal of Electronics，2008，4：539 －543.

［2］ROBERTSONP，VILLEBRUNE，HOEHER P.A comparison of optimal and sub-optimal MAP decoding algorithms operating in the log domain［C］∥ proc of ICC’95，1995，3：1009 －1013.

［3］ERFANIANJ J A ，PASUPATHY S，GULAK G.Reduced complexity symbol detectors with parallel structures for it’s channels［J］.IEEE Transcations on Communications，1994，42：1661 －1671.

［4］LEE G，HYUN S，PARK S.Evaluation of the MAP Decoder for the Turbo coders of IMT-2000［C］∥IEEEVTS Fall 2000，2000，3：1266 －1269.

［5］Channel coding，multiplexing and interleaving［S］.3GPP TS36.212 V9.3.0，Release 9，2010 －09.

［6］SEIGO A.Algorithms for computations in Jacobian group of Cab curve and their application to discrete-log based public key cryptosystems［J］.IEICE Transpart，1999，8：1291－1299.

［7］張琳，劉星成.用于Turbo迭代譯碼的近似Log-MAP算法研究［J］.電路與系統(tǒng)學報，2006，3：70 －74.

［8］王新梅，肖國鎮(zhèn).糾錯碼-原理與方法［M］.西安：西安電子科技大學出版社，1991.